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【全国百强校】吉林省东北师范大学附属中学2013届高考数学第二轮复习导学案:第17讲 圆锥曲线的方程和性质


2013 高考数学 28 讲

第 17 讲
一、复习目标

圆锥曲线的方程和性质

1、能根据条件熟练地求出曲线的方程。 2、进一步掌握圆和三种圆锥曲线的定义、方程和简单的几何性质。 3、理解圆和椭圆的参数方程。

二、课前热身 1.若 ? ? R ,则方程 x 2 ? 4 y 2 sin

? ? 1所表示的曲线必定不是(
(A)直线
2 2

(B)圆

(C)双曲线

) (D)抛物线

x y ? ? 1 的中心为焦点,右准线为准线的抛物线与椭圆的左准线交于 A、B 25 16 两点,则 AB 的值是( )
2.以椭圆

50 50 3 25 3 (C) (D) 3 3 3 2 2 3.动点 P 在椭圆 x ? a( y ? 1) ? a(0 ? a ? 1) 上运动,线段 OP 长度的最大值是(
(A)

5 6 6

(B)



(A)1

(B)2

(C) 2 a

(D) 1 ? a 2

4.已知双曲线中心在原点且一个焦点为 F ( 7 ,0) ,直线 y ? x ? 1 与其相交于 M、N 两点

2 ,则此双曲线方程是 3 5.点 A 的坐标为 (2,1) ,F 为抛物线 y 2 ? 2 x 的焦点,P 在抛物线上移动,若 PA ? PF
MN 的中点的横坐标为 ? 取最小值,则点 P 的坐标为

三、例题探究
8 x2 y2 ? ? 1 上的点, F2 是右焦点且 AF2 ? BF2 ? a ,AB 2 9 2 5 a a 25 3 的中点 N 到左准线的距离等于 ,求此椭圆的方程。 2
例 1.已知 A、B 是椭圆

例2.已知双曲线

x2 y2 ? ? 1 ( a ? 0, b ? 0 )的右准线 L 2 与一条渐近线 L 交于点 P, a2 b2
5 ,求双曲线的方程; 4

F 是双曲线的右焦点: (1)求证: PF ? L ; (2)若 PF ? 3 且双曲线的离心率 e ?

(3)延长 FP 交双曲线左准线 L1 和左支分别为 M、N,若 M 为 PN 的中点,求双曲线的 离心率
第 1 页

2013 高考数学 28 讲

例3(选讲).抛物线有光学性质:由其焦点射出的光线经抛物线反射后,沿平行于抛物线 对称轴的方向射出。今有抛物线 y 2 ? 2Px ( P ? 0 ) ,一光源在点 M(

41 ,4 )处,由其 4

发出的光线沿平行于抛物线的对称轴方向射向抛物线上的点 P, 反射后又射向抛物线上的 点 Q,再反射后又沿平行于抛物线的对称轴的方向射出,途中遇到直线 L : 2 x ? 4 y ? 17 ? 0 上的点 N,再反射后又射回到点 M (1) 设 P、Q 两点的坐标分别为 ( x1 , y1 ) , ( x2 , y 2 ) ,证明: y1 y2 ? ? P 2 ; (2) 求抛物线的方程; (3) 试判断在抛物线上是否存在一点 R 使该点与点 M 关于 PN 所在直线对称?若存在 请求出此点的坐标;若不存在,请说明理由。

y

P

M L

O Q N

x

四、方法点拨
1. 例 1 运用了椭圆的两种定义来解决,椭圆两定义都是椭圆上任意一点 P 到焦点的距离来描述的,这 两种定义能够对一些距离进行相关的转化、简化解题过程。因此在解答时遇到涉及曲线上点到焦点 的距离时应该考虑是否能够使用椭圆的定义求解。 2. 例 2 用待定系数法求双曲线的标准方程, 一定要抓住题设所给的独立条件建立 a、b、c 之 间的等量关系,再利用 a 3.

? b 2 ? c 2 运用方程的思想来求解。 2 例3设 PQ 是过抛物线 y ? 2Px( P ? 0) 焦点 F 的一条弦,若 P( x1 , y1 ) ,Q ( x2 , y 2 )
2

P2 且 PQ 的 倾 斜 角 为 ? (? ? 0) 则 有 以 下 结 论 : ① x1 x 2 ? 4 2P 1 1 2 ④ ? ? PQ ? x1 ? x2 ? P ③ PQ ? 2 sin ? PF QF P



y1 y2 ? ?P 2



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2013 高考数学 28 讲

冲 刺 强 化 训 练 (17)
班级 1.方程 2 y ? A.圆 姓名
2

学号 ) C.双曲线的一支 B.椭圆上半部分

日期





4 ? x 所表示的曲线是(

D.抛物线

x2 y2 2. 椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的两焦点为 F 1 、 F2 ,以 F1 F2 为边作正三角形,若椭圆 a b
恰好平分正三角形的另两边,则椭圆的离心率为( A. 3 ? 1 B. ) C.

1 3 D. 2 3 3. 椭圆的一个焦点是(2,1) ,相应准线方程是 x ? y ? 1 ? 0 ,椭圆的短轴长为 4 2 ,

3 2

则椭圆的另一个焦点为( A.(4 2 ? 2,4 2 ? 1)

) D. (6,5)

B. ( 2 ? 4 2,1 ? 4 2 )C.(2 ? 4 2,1 ? 4 2 )

4.焦点在 x 轴上,以 y 轴为准线,且到点 A(5,0) 最近距离为 2 3 的一个抛物线的方程 是( ) A. y 2 ? 2( x ? 1) 5 . F1、F2 是 双 曲 线 B. y 2 ? 4( x ? 1) C. y 2 ? 18( x ? 9) D. y 2 ? 36( x ? 9)

x2 y2 ? ? 1 ( a ? 0 )的两个焦点,P 为双曲线上一点, 4a 2 a 2 ?F1 PF2 ? 90? 且 ?F1 PF2 的面积为 1,则 a 的值是

x2 y2 2 ? ? 1 上运动,Q、R 分别在两圆 (x ? 1 ) ? y 2 ? 1, ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1 4 3 运动,则 PQ ? PR 的最大值为 ,最小值为
6.P 在椭圆 7.抛物线的顶点在原点,焦点在 x 轴上,它的准线过双曲线的一个焦点,且与双曲线实 轴垂直,已知抛物线与双曲线的交点为(

3 , 6) ,求抛物线与双曲线的方程。 2

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8.已知抛物线 C: y 2 ? 4 x 的顶点为 O,过点( ? 1,0 )且平行于向量 a ? (1, k ) 的直线 与抛物线 C 交于 A、B 两点,当实数 k 变化时: (1) 求证: OA ? OB 是一个与 k 无关的常数; (2) 若 OM ? OA ? OB ,求 OM 的最小值。

x2 y2 9 .已知椭圆 E : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0)中,以F1 (?c,0) 为圆心,以 a ? c 为半径作圆 a b ( 0 , b ) ,过点 作圆 B2 F1 F1 的两条切线,设切点分别为 M , N 两点。 (1) 若过两个切点 M , N 的直线恰好经过点 B1 (0,?b) 时,求此椭圆的离心率;
(2) 若直线 MN 的斜率为-1,且原点到直线 MN 的距离为 4( 2 ? 1) ,求此时的椭圆 方程 (3) 是否存在椭圆 E ,使得直线 MN 的斜率 k 在区间 ? ?

? ? ?

2 3? ? 内取值?若存 ,? 2 3 ? ?

在,求出椭圆的离心率 e 的取值范围;若不存在,请说明理由。

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2013 高考数学 28 讲

第 17 讲 圆锥曲线的方程和性质 【课前热身】

1 4 1 时, 曲线为圆; ③当 sin ? ? 0 时, 曲线为双曲线; ④当 sin ? ? 0 且 sin ? ? x2 ? y2 ? 1, 4
2 1.D(提示:①当 sin ? ? 0 时, x ? 1 ,曲线为两条平行于 y 轴的直线;②当 sin ? ?

时,曲线为椭圆,故不可能为抛物线。 ) 2.C

x2 ? 1(0 ? a ? 1) , 3.B(提示: x ? a( y ? 1) ? a(0 ? a ? 1) ,即 ( y ? 1) ? a
2 2
2

椭圆的下顶点与 O 点重合,则 OP 长度的最大值即为长轴的长。 )

x2 y2 ? ?1 2 5 1 5. ( ,1) (提示:由定义得 PF ? d, ? (PF ? PA) min ? AB , 此时 2 1 1 y p ? 1, ?1 ? 2 x p, ? xp ? , 1) 。 得 p( , )如图所示: 2 2
4. 【例题探究】 例 1. 〖略解〗 :解析如图所示:

y A

d1

d3
设 F1 为左焦点,连结 AF 1,BF 1 则根据椭圆的定义有:

N O
2

x B

ld

8 12 AF1 ? BF1 ? 2a ? AF2 ? 2a ? BF2 ? 4a ? ( AF2 ? BF2 ) ? 4a ? a ? a 5 5 再设 A、B、N 三点到左准线的距离分别为 d1 , d 2 , d 3 由梯形中位线定理,有 9 2 16 2 4 a ,? c 2 ? a 2 ? b 2 ? a ,? 得离心率 e ? d1 ? d 2 ? 2d 3 ? 3 ,而已知 b 2 ? 25 25 5 12 a 12 ? AF1 ? ed 1 , BF1 ? ed 2 ,? AF 1 ? BF1 ? ? e( d 1 ? d 2 ) ? ,? a ? 1 则椭圆方 5 5 y2 2 ?1 程为 x ? 9 25 b a2 例 2. 〖略解〗 :解析(1)右准线为 x ? ,由对称性不妨设渐近线 l 为 y ? x ,则 a c

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2013 高考数学 28 讲

ab ?0 a 2 ab a P ( , ) ,又 F (c,0),? k PF ? c2 ? ? ,又 c c b a ?c c b a b ? k l ? ,? k PF ? k l ? ? ? ? ?1,? PF ? l a b a
(2)? PF 的长即 F (c,0) 到 l : bx ? ay ? 0 的距离,?

bc a2 ? b2

? 3 即 b ? 3, 又

c 5 a 2 ? b 2 25 x2 y2 ? ,? ? , ? a ? 4 , ? ?1 故双曲线的方程为 a 4 16 16 9 a2 a a2 a 2 a(a 2 ? c 2 ) ? M (? , ) (3)PF 的方程为 y ? ? ( x ? c), 又? 左准线 l1 为 x ? ? b c bc c 3a 2 a(3a 2 ? c 2 ) , ) ,? N 在双曲线上, 又? M 是 PN 的中点,? N (? c bc 9a 2 a 2 (3a 2 ? c 2 ) 2 9 1 3 ? e2 2 ? 2 ? ? 1即 2 ? 2 ? ( 2 ) ? 1 ,解得 e 2 ? 5, 即 e ? 5. 4 2 c b c e e e ?1 P 例 3.解析(1)由抛物线的光学性质知光线 PQ 必经过抛物线的焦点 F( ,0 ) 2 P ? 当直线 PQ 的倾斜角不为 90 时,设 PQ 的方程为 y ? k ( x ? ) ,① 2 1 P 2P 2 2 y ? P2 ? 0 由①式得 x ? y ? ,将其代入抛物线方程 y ? 2Px 中,整理得 y ? k 2 k 2 由韦达定理得 y1 y2 ? ? P . P ? 当直线 PQ 的倾斜角为 90 时,将 x ? 代入抛物线方程,得 y ? ? P, 同样可以得到 2 2 y1 y2 ? ?P (2)因为光线 QN 经直线 l 反射后又射向 M 点,所以 MN 与 QN 关于直线 l 反射对称, 41 ,4 )关于 l 的对称点为 M ' ( x ' , y ' ) ,则 设点 M( 4 ? y' ? 4 1 ? ? ?1, ? 41 2 ' ? ' 51 ?x ? ?x ? , ? 4 解得 ? 4 ? ? y ' ? ?1. ? x ' ? 41 ' ? ? 4 ? 4 ? y ? 4 ? 17 ? 0. 2 ? ? 2 2 ? ? 直线 QN 的方程为 y ? ?1, Q 点纵坐标 y 2 ? ?1, 又? 由题设知 P 点的纵坐标 e?
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y1 ? 4 ,且由(1)知 y1 ? y2 ? ?P 2 ,? 4 ? (?1) ? ?P 2 , 得 P=2,所以抛物线的方程 为 y 2 ? 4 x. (3)将 y ? 4 代入 y 2 ? 4 x ,得 x ? 4 ,故 P 点坐标为( 4,4 ) ; 13 13 将 y ? ?1 代入直线 2 x ? 4 y ? 17 ? 0 ,得 x ? ,故 N 点坐标为( ,?1 ) 2 2 由 N、P 两点坐标得直线 PN 的方程为 2 x ? y ? 12 ? 0, 设 M 点关于直线 PN 的对称 点 M 1( x1 , y1 ), 则 ? y1 ? 4 ( ? ? 2) ? ?1, ? 41 1 ? ? x1 ? ? x1 ? , ? 4 解得 ? 4 ? ? ? x ? 41 ? y1 ? ?1. 1 y1 ? 4 ? 4 2? ? ? 12 ? 0. ? 2 2 ? 1 1 2 将 M 1 ( ,?1) 代入抛物线方程 y ? 4 x ,原式成立。故抛物线上存在一点 ( ,?1) 与 4 4
点 M 关于直线 PN 对称。 【强化训练 17】 1.C 2、A 3、D 4、C 5.1 6.最大值 6、最小值 2
2

7.解:由条件知,双曲线焦点在 x 轴上,抛物线开口向右,所以抛物线方程为 y ? 2Px

3 3 ( P ? 0) ,因为 ( , 6 ) 在抛物线上,所以 6 ? 2 P ? , 所以 P=2,所以抛物线方程为 2 2 P y 2 ? 4 x 。因为抛物线的准线过双曲线的焦点,所以 C ? ? 1 ,即 a 2 ? b 2 ? 1 ①,又 2 3 9 6 1 3 ? 2 ? 1 ②,由①②得 a 2 ? , b 2 ? 故双曲线方程为 双曲线过点 ( , 6 ) 所以 2 2 4 4 4a b 2 2 x y ? ?1 1 3 4 4
8. 解: (1) 由题设, 直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? 1) , 由?

? y ? k ( x ? 1) ? y ? 4x
2

, 得 ky ? 4 y ? 4k ? 0.
2
2

y y 4 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) , 则 y1 ? y 2 ? , y1 y 2 ? 4, x1 x 2 ? 1 ? 2 ? 1, k 4 4

2

?OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? 5 为常数。
第 7 页

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(2)设 M ( x, y ) ,由 OM ? OA ? OB ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) 得

OM ? ( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? (
? ( y1 ? y 2 ) 2 ?

2

y1 ? y 2 2 1 ? y1 ? y2 ?2 ? 2 y1 y2 ) ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? 4 16

2

2

?

?

2

? OM

min

16 ? 4 ,由于 ? ? 16 ? 16k 2 ? 0 ,得 ? 1 ? k ? 1 ,且 k ? 0 , k4 ?2 5。
2 2

9.(1) 圆 F1 : ?x ? c? ? y 2 ? ?a ? c? ,设 M ?x1 , y1 ? , N ?x 2 , y 2 ? , 则切线 B2 M : ?x1 ? c??x ? c? ? y1 y ? ?a ? c? ,
2

B2 N : ?x2 ? c??x ? c? ? y 2 y ? ?a ? c? 都过点 B2 ?0, b ? ,
2

? c?x1 ? c? ? y1b ? ?a ? c? ; ?x2 ? c?c ? y 2 b ? ?a ? c?
2 2

2

因此直线方程 c?x ? c? ? yb ? ?a ? c? 就是过点 M 、 N 的直线。 又直线 MN 过点 B1 ?0,?b ? ,代入解方程可得: c 2 ? b 2 ? ?a ? c ? ,?e ? 3 ? 1
2

(2)直线 MN 斜率为 ?

c ? ?1 ,? b ? c ,?a ? 2c ,原点到直线 MN 的距离为 b

a 2 ? 2ac c2 ? b2

? 4 2 ? 1 即 a ? 2c ? 4 2 ? 1 ,解得
x2 y2 ? ?1 16 8 1 c2 1 1 3 ? 2 ? ,得 ? e ? 3 b 2 2 2

?

?

?

?

a ? 4 , b ? c ? 2 2 ,所求椭圆方程为:
(3)由题意若存在,则有 ?

2 c 3 ?? ?? ,即 2 b 3

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