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专题06 数列-2015年高考数学(理)试题分项版解析(原卷版)


第六章

数列
) D、6

1.【2015 高考重庆,理 2】在等差数列 ?an ? 中,若 a2 =4, a4 =2,则 a6 = ( A、-1 B 、0 C、1

2.【2015 高考福建,理 8】 若 a , b 是函数 f ? x ? ? x2 ? px ? q ? p ? 0, q ? 0? 的两个不同的零点,且 a, b, ?2 这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则 p ? q 的值等于( A.6 B.7 C.8 ) D.9 )

3.【2015 高考北京,理 6】设 ?an ? 是等差数列. 下列结论中正确的是( A.若 a1 ? a2 ? 0 ,则 a2 ? a3 ? 0 C.若 0 ? a1 ? a2 ,则 a2 ? a1a3

B.若 a1 ? a3 ? 0 ,则 a1 ? a2 ? 0 D.若 a1 ? 0 ,则 ? a2 ? a1 ? ? a2 ? a3 ? ? 0

4.【2015 高考浙江,理 3】已知 {an } 是等差数列,公差 d 不为零,前 n 项和是 Sn ,若 a3 , a4 , a8 成等比 数列,则( ) A. a1d ? 0, dS4 ? 0 B. a1d ? 0, dS4 ? 0 C. a1d ? 0, dS4 ? 0 D. a1d ? 0, dS4 ? 0
[来源:学§科§网]

5.【2015 高考安徽,理 14】已知数列 {an } 是递增的等比数列, a1 ? a4 ? 9, a2a3 ? 8 ,则数列 {an } 的前 n 项 和等于 .

6. 【2015 高考新课标 2, 理 16】 设 Sn 是数列 ?an ? 的前 n 项和, 且 a1 ? ?1 ,an?1 ? Sn Sn?1 , 则 Sn ? ________. 7.【2015 高考广东,理 10】在等差数 列 ?an ? 中,若 a3 ? a4 ? a5 ? a6 ? a7 ? 25 ,则 a2 ? a8 = 8. 【2015 高考陕西, 理 13】 中位数 1010 的一组数构成等差数列, 其末项为 2015, 则该数列的首项为
* 9.【2015 江苏高考, 11】数列 {an } 满足 a1 ? 1 ,且 an?1 ? an ? n ? 1 ( n ? N ) ,则数列 {

.


1 } 的前 10 项和 an

为 .
[来源:Zxxk.Com]

10.【2015 江苏高考,20】 (本小题满分 16 分) 设 a1 , a2 , a3 , a4 是各项为正数且公差为 d ( d ? 0) 的等差数列 (1)证明: 2 1 , 2 2 , 2 3 , 2 4 依次成等比数列; (2)是否存在 a1 , d ,使得 a1 , a22 , a33 , a44 依次 成等比数列,并说明理由;
1
a a a a

n n? k n? 2 k n?3k (3)是否存在 a1 , d 及正整数 n, k ,使得 a1 依次成等比数列,并说 , a2 , a3 , a4

明理由.

[来源:学科网 ZXXK]

11.【2015 高考浙江,理 20】已知数列 ?an ? 满足 a1 = (1)证明:1 ?

1 * 2 且 an ?1 = an - an ( n? N ) 2

an ? 2 ( n? N* ) ; an ?1
S 1 1 * ( n ? N ). ? n? 2(n ? 2) n 2(n ? 1)

2 (2)设数列 an 的前 n 项和为 Sn ,证明

? ?

2) 处的切线与 x 轴交点的横坐标. 13. 【2015 高考安徽,理 18】设 n ? N , x n 是曲线 y ? x2 n?2 ? 1 在点 (1,
*

(Ⅰ)求数列 { xn } 的通项公式;
2 2 2 (Ⅱ)记 Tn ? x1 x3 ? x2 n ?1 ,证明 Tn ?

1 . 4n
13 分 ) 已 知 数 列 {an } 满 足

14. 【 2015

高 考 天 津 , 理

18 】( 本 小 题 满 分

an?2 ? qan (q为实数,且q ? 1 , ) n?N a *1 ? , a ? 1 2+ a3 , a3 + a4 , a4 + a5 成等差数列. 2 , ,且 a2
(I)求 q 的值和 {an } 的通项公式; (II)设 bn ?

log 2 a2 n , n ? N * ,求数列 {bn } 的前 n 项和. a2 n?1
2

15.【2015 高考重庆,理 22】在数列 ?an ? 中, a1 ? 3, an?1an ? ?an?1 ? ?an ? 0 ? n ? N? ? (1)若 ? ? 0, ? ? ?2, 求数列 ?an ? 的通项公式; (2)若 ? ?

1 1 1 ? ak0 ?1 ? 2 ? ? k0 ? N? , k0 ? 2 ? , ? ? ?1, 证明: 2 ? k0 3k0 ? 1 2 k0 ? 1

16.【2015 高考四川,理 16】设数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? 2an ? a1 ,且 a1 , a2 ? 1, a3 成等 差数列. (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)记数列 {

1 1 } 的前 n 项和 Tn ,求得 | Tn ? 1|? 成立的 n 的最小值. 1000 an

17.【2015 高考湖北,理 18】设等差数列 {an } 的公差为 d,前 n 项和为 S n ,等比数列 {bn } 的公比为 q .已知
b1 ? a1 , b2 ? 2 , q ? d , S10 ? 100 .

(Ⅰ) 求数列 {an } , {bn } 的通项公式;

2

(Ⅱ)当 d ? 1 时,记 cn ?

an ,求数列 {cn } 的前 n 项和 Tn . bn
2 n

18.【2015 高考陕西,理 21】 (本小题满分 12 分)设 fn ? x ? 是等比数列 1 , x , x , ??? , x 的各项和,其 中 x ? 0 ,n?? ,n ? 2 .
[来源:学科网 ZXXK]

(I)证明:函数 Fn ? x ? ? fn ? x ? ? 2 在 ?

1 1 n ?1 ?1 ? ,且 xn ? ? xn ; ,1? 内有且仅有一个零点(记为 xn ) 2 2 ?2 ?

(II) 设有一个与上述等比数列的首项、 末项、 项数分别相同的等差数列, 其各项和 为 gn ? x ? , 比较 fn ? x ? 与 gn ? x ? 的大小,并加以证明.
[来源:Z+xx+k.Com]

2 19.【2015 高考新课标 1,理 17】 Sn 为数列{ an }的前 n 项和.已知 an >0, an ? an = 4Sn ? 3 .

(Ⅰ)求{ an }的通项公式; (Ⅱ)设 bn ?

1 ,求数列{ bn }的前 n 项和. an an?1
n?2 ?n ? N * ? , 2n ?1

20.【2015 高考广东,理 21】数列 ?an ? 满足 a1 ? 2a2 ? ? nan ? 4 ? (1) 求 a3 的值; (2) 求数列 ?an ? 前 n 项和 Tn ; (3) 令 b1 ? a1 , bn ?

Tn?1 ? 1 1 1? ? ?1 ? ? ? ??? ? ? an ? n ? 2 ? , 证 明 : 数 列 ?bn ? 的 前 n 项 和 S n 满 足 n ? 2 3 n?

Sn ? 2 ? 2 ln n .
21.【2015 高考上海,理 22】已知数列 ?an ? 与 ?bn ? 满足 an?1 ? an ? 2 ?bn?1 ? bn ? , n ? ? .
?

(1)若 bn ? 3n ? 5 ,且 a1 ? 1 ,求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设 ?an ? 的第 n0 项是最大项,即 an0 ? an ( n ? ? ) ,求证:数列 ?bn ? 的第 n0 项是最大项;
?

( 3 )设 a1 ? ? ? 0 , bn ? ? n ( n ? ? ) ,求 ? 的取值范围,使得 ?an ? 有最大值 ? 与最小值 m ,且
?

? ? ? ?2, 2? . m

3


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