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江西省于都县第三中学2015-2016学年高二数学下学期第二次月考(期中)试题 文


2015-2016 学年于都县第三中学高二下学期第二次月考数学文试题
一、选择(共 12 小题,每小题 5 分) 1.抛物线 x 2 ? 8 y 的焦点 F 的坐标是( A、 (?2, 0) B、 (2, 0) ) C、 (0, ?2) D、 (0, 2) )

2.已知椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍,则椭圆的焦距与短轴长之比为( A.
<

br />1 3


B.

3 3

C.3

D. 3 ,则双曲线的渐近线方程为( ) D.y=± ) x

3.已知双曲线 A.y=±2x

=1(a>0,b>0)的离心率为 B.y=± x

C.y=± x

4.已知函数 f ( x) 在 x ? 1 处的导数为 1,则 A.3
3

f (1 ? x) ? f (1 ? x) =( lim 3x x ?0
C.

B. ?

2 3

1 3

D. ?

3 2


5.若曲线 y ? x ? x ? 2 在点 P0 处的切线平行于直线 4 x ? y ? 1 ? 0 ,则点 P0 的一个坐 标是( A. (0, ?2)
2

B. (1,1)

C. (?1, ?4)

D. (1, 4)

6.设圆 ? x ? 1? ? y 2 ? 25 的圆心为 C , A ?1, 0 ? 是圆内一定点, Q 为圆周上任一点.线段 AQ 的垂直平分 线与 CQ 的连线交于点 M ,则 M 的轨迹方程为( )

4x2 4 y 2 A. ? ?1 21 25 4x2 4 y 2 C. ? ?1 25 21
2

4x2 4 y 2 B. ? ?1 25 21 4x2 4 y 2 D. ? ?1 21 25
2 2

[来源:Z.XK]

7.已知 P 为抛物线 y =4x 上一个动点,Q 为圆 x +(y﹣4) =1 上一个动点,那么点 P 到点 Q 的距离与点 P 到抛物线的准线距离之和的最小值是( ) A. B.
2

C.
2

D.

8.过点 M (?2, 0) 的直线 l 与椭圆 x ? 2 y ? 2 交于 P 1, P 2 两点,设线段 P 1P 2 的中点为 P,若直 线 l 的斜率为

k1 (k1 ? 0) ,直线 OP 的斜率为 k2 ,则 k1k2 等于( 1 (A)-2 (B)2 (C) 2
9.已知点 F1,F2 分别是双曲线

) (D) ?

1 2

的左、右焦点,过 F1 且垂直于 x 轴的直线与双

曲线交于 A,B 两点,若△ABF2 是锐角三角形,则该双曲线离心率的取值范围是( ) A. C. B. D.
2

10 . . 设函数 f ( x) 在 R 上的导函数为 f ?( x) , 且 2 f ( x) ? xf ?( x) ? x . 下面的不等式在 R 上恒成立的是 ( )
1

A. f ( x) ? 0

B. f ( x) ? 0

C. f ( x) ? x
'

D. f ( x) ? x

11 .已知定义在 R 上的奇函数 f ? x ? ,其导函数为 f

? x ? ,对任意正实数 x 满足 xf ' ? x ? ? 2 f ? ? x ? ,若

g ? x ? ? x 2 f ? x ? ,则不等式 g ? x ? ? g ?1 ? 3x ? 的解集是( )
?1 ? , +? ? ?4 ? 1? ? C. ? -?, ? 4? ?
A. ?

? 1? ? ? 4? 1? ?1 ? ? D. ? -?, ? ? ? , +? ? 4? ?4 ? ?
B. ? 0,
3

12.函数 f ( x) 是定义在 (0, ??) 上的单调函数,且对定义域内的任意 x ,均有 f ( f ( x) ? ln x ? x ) ? 2 ,则

f (e) ? (
(A) e3 ? 1

) (B) e3 ? 2 (C) e3 ? e ? 1 (D) e3 ? e ? 2

二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分) 13 . 点 P 是 椭 圆

x2 y 2 ? ? 1 上 的 一 点 , F1 、 F2 分 别 是 椭 圆 的 左 右 焦 点 , 若 ?F1 PF2 ? 60? , 则 9 4

PF1 PF2 ? _______________.
14.已知抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F ,过点 F 且倾斜角为 60? 的直线 l 与 抛物线 C 在第一、四象限分 | AF | ? 别交于 A, B 两点,则 . | BF | 15.已知 为 . ,若至少存在一个实数 x 使得 成立,a 的范围

2 x 16 . 设 函 数 f ( x) ? ax ? e (a ? R ) 有 且 仅 有 两 个 极 值 点 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) , 则 实 数 a 的 求 值 范 围





2015-2016 学年于都县第三中学高二下学期第二次月考数学文答题卡 一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 题号 答案 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分) 13、 14、 三、解答题(共 70 分) 17.(10 分)求下列各曲线的标准方程 (1)实轴长为 12,离心率为 15、 16、 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

2 ,焦点在 x 轴上的椭圆; 3 2 2 (2)抛物线的焦点是双曲线 16 x ? 9 y ? 144 的左顶点.

2

18.(12 分)设命题 p:方程

+

=1 表示双曲线;命题 q:? x0∈R,x0 +2mx0+2﹣m=0

2

(1) 若命题 p 为真命题,求实数 m 的取值范围; (2) 若命题 q 为真命题,求实数 m 的取值范围; (3) 求使“p∨q”为假命题的实数 m 的取值范围.

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左右焦点分别为 F1 (?c, 0), F2 (c, 0) ,过 F2 作垂直于 x a 2 b2 轴的直线 l1 交椭圆 C 于 A、B 两点,且满足 | AF1 |? 7 | AF2 | . (Ⅰ)求椭圆 C 的离心率; 2 6 (Ⅱ) 过 F1 作斜率为 1 的直线 l2 交 C 于 M , N 两点. O 为坐标原点, 若 ?OMN 的面积为 , 求椭圆 C 的 5
19. (12 分)已知椭圆 C : 方程.

20. (12 分)已知函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? a (a ? 0) 在 x=1 处有极值 10. (1)求 a、b 的值; (2)求 f ( x) 的单调区间;
3 2 2

3

(3)求 f ( x) 在[0,4]上的最大值与最小值.

21. (12 分)设 A、B 分别为双曲线 点到渐近线的距离为 . (1)求双曲线的方程; (2) 已知直线 求 t 的值及点 D 的坐标.

的左右顶点,双曲线的实轴长为

,焦

与双曲线的右支交于 M、 N 两点, 且在双曲线的右支上存在点 D, 使



4

22.(12 分)已知函数 f ( x) =xlnx, g ( x) ? (? x 2 ? ax ? 3)e x (a 为实数) (1)求 f ( x) 的单调增区间; (2)求函数 f ( x) 在区间[t,t+1](t>0)上的最小值 h(t) ; (3)若对任意 x ? [ ,e],都有 g(x)≥2e f(x)成立,求实数 a 的取值范围.
x

5

(文科) 1-5 13. DDDBC 6-10 BCDDA 15. 11-12 CB 16. ? ? ?,?

16 3

14.3

? ?

e? ? 2?

x2 y2 c 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0) ,由已知, 2a ? 12 , e ? ? 2 a b a 3 2 2 x y ? a ? 6, c ? 4, b 2 ? a 2 ? c 2 ? 20 ,所以椭圆的标准方程为 ? ? 1. 36 20 x2 y2 (2)由已知,双曲线的标准方程为 ? ? 1 ,其左顶点为 ( ?3,0) 9 16 p 2 设抛物线的标准方程为 y ? ?2 px ( p ? 0) , 其焦点坐标为 ( ? ,0) , 2 p 2 则 ? 3 即 p ? 6 所以抛物线的标准方程为 y ? ?12 x . 2
17. (1)设椭圆的标准方程为 18. (Ⅰ)当命题 p 为真命题时,方程 + =1 表示双曲线,

∴(1﹣2m) (m+2)<0,解得 m<﹣2,或 m> , ∴实数 m 的取值范围是 {m|m<﹣2,或 m> };
2

?(4 分)

(Ⅱ)当命题 q 为真命题时,方程 x0 +2mx0+2﹣m=0 有解, 2 ∴△=4m ﹣4(2﹣m)≥0,解得 m≤﹣2,或≥1; ∴实数 m 的取值范围是{|m≤﹣2,或≥1};?(6 分) (Ⅲ)当“p∨q”为假命题时,p,q 都是假命题, ∴ ,解得﹣2<m≤ ;∴m 的取值范围为(﹣2, ]. ?(12 分)

19. (Ⅰ) 法一: 由椭圆的定义结合已知条件求得 | AF1 |,| AF2 | , 然后在直角 ?AF1 F2 中, 由勾股定理得到 a, c 的关系式,从而求得离心率;法二:把 A 点横坐标代入椭圆求得 | y | ,再由椭圆的定义得到 a, c 的关系式, 进而求得离心率; (Ⅱ)设直线 l 为 y ? x ? 3b ,联立椭圆方程,设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ,由韦达定理与 弦长公式得到 ?OMN 的面积关系求出 c, b 值,得到椭圆方程. 试题解析: (Ⅰ)法一:由 | AF1 | ? | AF2 |? 2a , | AF1 |? 7 | AF2 | , 解得 | AF1 |?

7a a ,| AF2 |? , 4 4

c 3 7a 2 a 2 . ) ? ( ) ? 4c 2 ,∴ ? a 2 4 4 c2 y 2 法二: A 点横坐标为 c ,代入椭圆得 2 ? 2 ? 1 , a b 2 2 b 7b ?| AF2 | ,∴ | AF1 |? 解得 | y |? . a a c 3 | AF1 | ? | AF2 |? 2a ,∴ a 2 ? 4b 2 ? 4a 2 ? 4c 2 ,∴ ? . a 2 2 2 2 2 2 (Ⅱ)椭圆方程化为 x ? 4 y ? 4b ,直线 l 为: y ? x ? 3b ,联立可得 5 x ? 8 3bx ? 8b ? 0 ,?6 分
直角 ?AF1 F2 中,由勾股定理得 (

8 3b 8b 2 4 2b 设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? ? ,得 | x1 ? x2 |? . , x1 x2 ? 5 5 5
6

?OMN 的面积为: 3b 3b 3b 4 2b 2 6 2 2 6 , | y1 ? y2 |? | x1 ? x2 |? ? ? b ? 2 2 2 5 5 5 x2 2 2 ∴ b ? 1, a ? 4 ,∴椭圆 C 的方程为 ? y2 ? 1. 4 2 20. (1)由 f ?(1) ? 3 ? 2a ? b ? 0, f (1) ? 1 ? a ? b ? a ? 10 ,得 a=4 或 a=-3 ? a ? 0,? a ? 4, b ? ?11 (经检验符合) (2) f ( x) ? x 3 ? 4 x 2 ? 11x ? 16, f ?( x ) ? 3 x 2 ? 8 x ? 11 , 11 由 f ?( x) ? 0 得 x1 ? ? , x2 ? 1 列表分析得: 3 11 11 f(x)在 (??, ? ), (1, ??) 上单调递增, ( ? ,1) 上单调递减。 3 3
(3)由(2)知: f(x)在(0,1)上单调递减, (1,4)上单调递增, 又因为 f(0)=16,f(1)=10,f(4)=100,所以 f(x)的最大值为 1 00,最小值为 10. 21. (1)由实轴长为 ,得 , 渐近线方程为 ∴ x,即 bx﹣2
2 2 2 2

y=0,∵焦点到渐近线的距离为

, ;

,又 c =b +a ,∴b =3,∴双曲线方程为:

(2)设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,D(x0,y0) ,则 x1+x2=tx0,y1+y2=ty0,





∴y1+y2=

﹣4=12,



,解得

,∴t=4,∴

,t=4.

22. (1)函数 f(x)=xlnx 的定义域为(0,+∞) , 令 f′(x)=lnx+1>0,解得,x> ;故 f(x)的单调增区间为( ,+∞) ; (2)由(1)知,f(x)在(0, )上是减函数, ( ,+∞)上是增函数; ①当 0<t≤ 时,h(t)=f( )=﹣ ; ② <t 时,f(x) 在[t,t+1]上单调递增;

故 h(t)=f(t)=tlnt;故 h(t)= (3)∵g(x)=(﹣x +ax﹣3)e ,f(x)=xlnx, x 2 x x ∴g(x)≥2e f(x)可化为(﹣x +ax﹣3)e ≥2e (xlnx) ,
2 x



即﹣x +ax﹣3≥2xlnx,即 a≥x+ +2lnx 对任意 x∈[ ,e]都成立,

2

7

令 h(x)=x+ +2lnx,则 h′(x)=1﹣

+ =



故 h(x)在[ ,1)上是减函数,在(1,e]上是增函数; 而 h( )= +3e﹣2,h(e)=e+ +2, h(e)﹣h( )=(e+ +2)﹣( +3e﹣2)=4﹣2e+ <0, 故 hmax(x)=h( )= +3e﹣2,故 a≥ +3e﹣2;即实数 a 的取值范围为[ +3e﹣2,+∞) .

8


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