tceic.com
简单学习网 让学习变简单
当前位置:首页 >> 数学 >>

射影定理


射影定理
所谓射影, 就是正投影。 直角三角形射影定理 (又叫欧几里德(Euclid)定理) : 直角三角形中,斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边 是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。 公式: 如图,Rt△ABC 中,∠ABC=90°,BD 是斜边 AC 上的高,则有射影定理如 下: ( 1) (BD)? =AD· DC,(2) (AB)?

=AD· AC ,(3) (BC)? =CD· CA。

直角三角形射影定理的证明 一、(主要是从三角形的相似比推算来的) 在△BAD 与△BCD 中,∵∠ABD+∠CBD=90°,且∠CBD+∠C=90°, ∴∠ABD=∠C, 又∵∠BDA=∠BDC=90° ∴△BAD∽△CBD ∴ AD/BD=BD/CD 即 BD?=AD·DC。其余同理可得可证 有射影定理如下: AB?=AD·AC,BC?=CD·CA 两式相加得: AB?+BC?=(AD·AC)+(CD·AC) =(AD+CD)·AC=AC? 。 二、用勾股证射影 ∵AD?=AB?-BD?=AC?-CD?, ∴2AD?=AB?+AC?-BD?-CD?=BC?-BD?-CD?=(BC+BD)(BC-BD)-CD?=(BC+BD)CD-CD?=( BC+BD-CD)CD=2BD×CD. 故 AD?=BD×CD. 运用此结论可得:AB?=BD?+AD?=BD?+BD×CD=BD×(BD+CD) =BD×BC, AC? =CD?+AD?=CD?+BD×CD=CD(BD+CD)=CD×CB. 综上所述得到射影定理。同样也可以利用三角形面积知识进行证明。 三、用三角函数证明 由等积法可知:AB×BC=BD×AC

在 Rt△ABD 和 Rt△ABC 中,tan∠BAD=BD/AD=BC/AB 故 AB×BC=BD×AC 两边各除以 tan∠BAD 得:AB^2=AD×AC 同理可得 BC?=CD·CA 在 Rt△ABD 和 Rt△BCD 中 tan∠BAD=BD/AD cot∠BCD=CD/BD 又∵tan∠BAD=cot∠BCD 故 BD/AD=CD/BD 得 BD^2=AD×CD


推荐相关:

射影定理

射影定理所谓射影, 就是正投影。 直角三角形射影定理 (又叫欧几里德(Euclid)定理) : 直角三角形中,斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条...


射影定理的推广及应用

射影定理的推广及应用射影定理的推广及应用隐藏>> 京翰教育中心 http://www.zgjhjy.com 射影定理的推广及应用射影定理是平面几何中一个很重要的性质定理, 尽管...


相似三角形---射影定理的运用

相似三角形---射影定理的推广及应用射影定理是平面几何中一个很重要的性质定理,尽管义务教材中没有列入,但在几何证明及计算中 应用很广泛,若能很好地掌握并灵活...


射影定理

一、 射影定理 直角三角形射影定理(又叫欧几里德(Euclid)定理):直角三角形中,斜边上的 高是两直角边在斜边上射影的比例中项。 每一条直角边是这条直角边在...


射影定理

直角三角形或任意三角形中的射影定理(又叫欧几 里德(Euclid)定理):[1] 直角三角形中,斜边上的高的平方是两直角边在斜边上射影的比例中项。每 一条直角边的...


射影定理与比例中项

射影定理与比例中项 射影定理: 直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项; 两直角边分别是它们在斜边上 2 2 2 射影与斜边的比例中项.即 CD...


射影定理复习题

定义:射影定理的内容是在直角三角形中,每条直角边是这 条直角边在斜边的射影和斜边的比例中项,斜边上的高线是 两条直角边在斜边射影的比例中项 例如: 公式...


相似射影定理私人整理

相似射影定理私人整理_初二数学_数学_初中教育_教育专区。相似射影定理初二思维训练班 2007 年 5 月 M08SW 相似三角形(射影定理及角平分线的性质)射影定理:【...


平面几何中的射影定理

平面几何中的射影定理_语文_高中教育_教育专区。平面几何中的射影定理 例6 如图 3.1-12,在直角三角形 ABC 中, ?BAC 为直角, AD ^ BC于D . 求证: (1)...


二、欧几里得和射影定理

数学名人 二、欧几里得和射影定理 1、欧几里得 欧几里得(公元前 325 年—公元前 265 年) ,古希腊数学家, 被称为“几何之父”。他活跃于托勒密一世( 公元前 ...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 简单学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com