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射影定理


射影定理
所谓射影, 就是正投影。 直角三角形射影定理 (又叫欧几里德(Euclid)定理) : 直角三角形中,斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边 是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。 公式: 如图,Rt△ABC 中,∠ABC=90°,BD 是斜边 AC 上的高,则有射影定理如 下: ( 1) (BD)? =AD· DC,(2) (AB)?

=AD· AC ,(3) (BC)? =CD· CA。

直角三角形射影定理的证明 一、(主要是从三角形的相似比推算来的) 在△BAD 与△BCD 中,∵∠ABD+∠CBD=90°,且∠CBD+∠C=90°, ∴∠ABD=∠C, 又∵∠BDA=∠BDC=90° ∴△BAD∽△CBD ∴ AD/BD=BD/CD 即 BD?=AD·DC。其余同理可得可证 有射影定理如下: AB?=AD·AC,BC?=CD·CA 两式相加得: AB?+BC?=(AD·AC)+(CD·AC) =(AD+CD)·AC=AC? 。 二、用勾股证射影 ∵AD?=AB?-BD?=AC?-CD?, ∴2AD?=AB?+AC?-BD?-CD?=BC?-BD?-CD?=(BC+BD)(BC-BD)-CD?=(BC+BD)CD-CD?=( BC+BD-CD)CD=2BD×CD. 故 AD?=BD×CD. 运用此结论可得:AB?=BD?+AD?=BD?+BD×CD=BD×(BD+CD) =BD×BC, AC? =CD?+AD?=CD?+BD×CD=CD(BD+CD)=CD×CB. 综上所述得到射影定理。同样也可以利用三角形面积知识进行证明。 三、用三角函数证明 由等积法可知:AB×BC=BD×AC

在 Rt△ABD 和 Rt△ABC 中,tan∠BAD=BD/AD=BC/AB 故 AB×BC=BD×AC 两边各除以 tan∠BAD 得:AB^2=AD×AC 同理可得 BC?=CD·CA 在 Rt△ABD 和 Rt△BCD 中 tan∠BAD=BD/AD cot∠BCD=CD/BD 又∵tan∠BAD=cot∠BCD 故 BD/AD=CD/BD 得 BD^2=AD×CD


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