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苏州大学2015届高考考前指导卷2吴(第8稿)


苏州大学 2015 届高考考前指导卷(2)
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.不需要写出解答过程,请把答案直接 填在答题卡相应位置上 . ........ 1.已知集合 A ? {x | ?2 ? x ? 3} , B ? {?2,0, 2} ,则 A

B?



. ▲ .



2.设复数 z=a+bi(a,b∈R,i 是虚数单位) ,若 zi=1-2i,则 a+b= 3.函数 f ( x) ?

ln x 4 ? 2x

的定义域为





4.某商场在五一黄金周的促销活动中,对 5 月 1 日 9 时至 14 时的销 售额进行统计, 其频率分布直方图如图所示. 已知 9 时至 10 时的销售 额为 3 万元,则 11 时至 12 时的销售额为 5.已知双曲线 ▲ 万元. ▲ .
(第 4 题图)

x2 y 2 ? ? 1(b ? 0) 的离心率为 3 ,则 b= 4 b
▲ .

6.右面的伪代码结果是

7.设等比数列{an}的公比 q=2,前 n 项的和为 Sn,则 为 ▲

2S4 的值 a1+a3



8.在一次教师联欢会上,到会的女教师比男教师多 12 人,从这些教师中 9 随机挑选一人表演节目,若选到男教师的概率为 ,则参加联欢会的教师 20 共有 ▲ 人. ▲ . 9.函数 f ( x) ?| sin x | cos x ?1 的最小正周期与最大值之积为

i←1 s←0 While

i≤4 s←2s+1 i←i+1 End While Print s
(第 6 题图)

? x ? 2x , x ≤ 0, 10.若函数 f ? x ? ? ? 在其定义域上恰有两个零点,则 ?ax ? ln x, x ? 0
正实数 a 的值为 ▲ . 11.如图, 箭头形图标上半部分 ABC 是等腰直角三角形,下半部分 DEFG 是正方形,已知 ?BAC ? 90? ,DE=2BD=2EC=2,GE 的连线交 AC 于点 H,则 AF ? GH = ▲ . 12 . 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 已 知 点 A?0, 1? , 2? , B ?0,
B D

A

H E C

D ?t , 0??t ? 0? ,M 为线段 AD 上的动点. 若 AM ≤ 2 BM 恒成立,
则正实数 t 的最小值为 ▲ .

G

F

(第 11 题图)

tanB 3 13.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c, = , c=1,则△ABC 的面积最大值 tanC 2 为 ▲ . ▲ . 14.若函数 y ? | x ? a | ln x 在 [2,3] 上是减函数,则实数 a 的取值范围是
1

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域内 作答,解答时应写出必要的文 ........ 字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分)

已知函数 f ( x) ? 2sin 2 x ? b sin x cos x ,满足 f ( ) ? 2 . (1)求实数 b 的值以及函数 f ( x) 的最小正周期; (2)记 g ( x) ? f ( x ? t ) (实数 t 为常数) ,若函数 g ( x) 是偶函数,求 t 的值.

? 6

16. (本小题满分 14 分) 如图,在直三棱柱 ABC–A1B1C1 中,∠ABC= 90 ? ,AB=BC=BB1,点 D,E 分别为 BC,CC1 的中 点. (1)求证:平面 ABE⊥平面 AB1D; (2)点 P 是线段 B1D 上一点,若 A1P∥平面 ADE,求

B1P 的值. A1 PD
B1

C1

E

A D B

C

(第 16 题图)

2

17. (本小题满分 14 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知以点 C (t , ) (t∈R,t≠0)为圆心的圆与 y 轴交于点 O,B,若 直线 2x+y-4=0 与圆 C 交于点 M,N,且 OM=ON. (1)求圆 C 的方程; (2)设 P 和 Q 分别是直线 l:x+y+2=0 和圆 C 上的动点,求 PB+PQ 的最小值及此时点 P 的坐标.

2 t

18. (本小题满分 16 分) 如图,相距 14km 的两个居民小区 M 和 N 位于河岸 l(直线)的同侧,M 和 N 距离河岸分别 为 10km 和 8km.现要在河的小区一侧选一地点 P,在 P 处建一个生活污水处理站,从 P 排直线 水管 PM,PN 分别到两个小区和垂直于河岸的水管 PQ,使小区污水 经处理后排入河道.设 PQ 段长为 t km(0 < t < 8) . M (1) 求污水处理站 P 到两小区的水管的总长最小值 (用 t 表示) ; (2) 请确定污水处理站 P 的位置, 使所排三段水管的总长最小, 并求出此时污水处理站分别到两小区水管的长度.
P Q 河
(第 18 题图)

N

l

3

19. (本小题满分 16 分) 已 知 函 数 y ? f ( x) 的 定 义 域 为 I , 如 果 存 在 k , m ? R , 对 任 意 x ? I 都 有 ,那么称直线 l : y ? kx ? m 为函 f ( x)≤kx ? m≤ xf ( x) 成立且等号都能取到(可不同时取到) 数 y ? f ( x) 的经典分界线.若 f ( x)=ax2 ? b ln x ? c(a, c ? R, b ? Z) . (1)当 a ? 2, b ? ?1 时,求函数 y ? f ( x) 的单调增区间; (2)当函数 y ? f ( x) 在 A(e,1) 处的切线过原点时,求函数 y ? f ( x) 的经典分界线. (注:e 为自然对数的底, e ? 2.718289045 )

20. (本小题满分 16 分) 已知正项数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 a1=2,anan+1=2(Sn+1) ( n ? N* ). (1)求数列{an}的通项公式; 1 (2)若数列{bn}满足 b1=1, bn ? ( n≥ 2 , n ? N* ),求{bn}的前 n 项和 Tn; an an?1 ? an?1 an (3)若数列{cn}满足 lg c1 ?

1 a ?1 , lg cn ? nn ( n ≥ 2 , n ? N* ),试问是否存在正整数 p,q(其 3 3

中 1 < p < q) ,使 c1,cp,cq 成等比数列?若存在,求出所有满足条件的数组(p,q);若不存在,说 明理由.

4

苏州大学 2015 届高考考前指导卷(2)参考答案
一、填空题 1. {0,2} 8.120 二、解答题 15. 解(1)由 f ( ) ? 2 ,得 2 ? 2.-3 9.? ? 10. 3. (0, 2) 4.12 5.8 6.15 7.6

1 e

11. ?

15 2

12.

2 3 3

13.

5 8

14.[3, 2 ? 2ln2 ]

16. 证明 (1) ∵在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中, BB1⊥底面 ABC,AB ? 底面 ABC,∴AB⊥BB1, ∵∠ABC= 90 ? ,∴AB⊥BC, BC BB1=B, ∴AB⊥平面 BCC1B1,∵DB1 ? 平面 BCC1B1,∴AB⊥DB1, ∵在平面 BCC1B1 中,BC=BB1, 所以四边形 BCC1B1 为正方形, ∵D,E 分别为 BC,CC1 的中点, ∴ △BCE ∽ ?B1 BD ,∴∠CBE=∠BB1D, ∴∠CBE+∠B1DB=90°,即 B1D⊥BE, ∵BA BE=B,∴B1D⊥平面 ABE, 又 DB1 ? 平面 AB1D,∴平面 ABE⊥平面 AB1D . (2)连接 PC 交 DE 于点 F,连接 A1C 交 AE 于点 G,连接 FG, ∵A1P∥平面 ADE,平面 A1PC 平面 ADE=FG, ∴A1P∥FG, CF CG CE 1 ? ? ? , ∴ FP GA1 AA1 2
5

1 1 3 ? b? ? ? 2 ,解得 b ? 2 3 . 4 2 2 将 b ? 2 3 代入得 f ( x) ? 2sin 2 x ? 2 3sin x cos x , ? 所以 f ( x) ? 1 ? cos 2 x ? 3 sin 2 x ? 1 ? 2sin(2 x ? ) . 6 2? ? ?. 所以函数 f ( x ) 的最小正周期 T ? 2 ? (2)由(1)得, f ( x ? t ) ? 2sin(2( x ? t) ? ) ?1 , 6 ? 所以 g ( x) ? 2sin(2 x ? 2t ? ) ? 1 , 6 因为函 数 g ( x) 是偶函数,则对于任意的实数 x,均有 g (? x) ? g ( x) 成立, ? ? 所以 sin((2t ? ) ? 2 x) ? sin((2t ? ) ? 2 x) . 6 6 ? 整理得, cos(2t ? )sin x ? 0 , (*) 6 ? ? ? (*)式对于任意的实数 x 均成立,只有 cos(2t ? ) ? 0 ,解得 2t ? ? k ? ? ( k ? Z ) , 6 6 2 k? ? ? (k ? Z) . 所以 t ? 2 3 A C
1

? 6

1

B1 E

P G F A D B
B1 P

C

C1

E F

B

D

C

∴在正方形 BCC1B1 中利用平几知识可得

2?2 2 4 2 2 4 17.解 (1)由题设知,圆 C 的方程为(x-t)2+? ?y- t ? =t +t2,化简得 x -2tx+y - t y=0, ∵OM=ON,∴原点 O 在 MN 的中垂线上, 设 MN 的中点为 H,则 CH⊥MN,∴C,H,O 三点共线, 2 t 2 1 ∴直线 OC 的斜率 k= = 2= ,∴t=2 或 t=-2. t t 2 ∴圆心为 C(2,1)或(-2,-1), ∴圆 C 的方程为(x-2)2+(y-1)2=5 或(x+2)2+(y+1)2=5, 由于当圆方程为(x+2)2+(y+1)2=5 时,直线 2x+y-4=0 到圆心的距离 d>r,此时不满足直 线与圆相交,故舍去, ∴圆 C 的方程为(x-2)2+(y-1)2=5. (2)点 B(0,2)关于直线 x+y+2=0 的对称点为 B′(-4,-2),则 PB+PQ=PB′+PQ≥B′Q, 又 B′到圆上点 Q 的最短距离为 B′C-r= (-6)2+(-3)2- 5=3 5- 5=2 5. 1 ∴PB+PQ 的最小值为 2 5,直线 B′C 的方程为 y= x, 2 4 2? ∴直线 B′C 与直线 x+y+2=0 的交点 P 的坐标为? ?-3,-3?. 18.解(1)如图,以河岸 l 所在直线为 x 轴,以过 M 垂直于 l 的直线为 y 轴建立直角坐标系, 则可得点 M (0, 10) ,点 N (8 3, 8) . 设点 P( s, t ) ,过 P 作平行于 x 轴的直线 m,作 N 关于 m 的对称点 N ? ,则 N ?(8 3, 2t ? 8) . 所以 PM ? PN ? PM ? PN ?≥MN ? ? (8 3 ? 0) 2 ? (12t ? 8 ? 10) 2

B1P 1 = . PD 2

? 2 t 2 ? 18t ? 129 (0 ? t ? 8) 即为所求.
(2)设三段水管总长为 L ,则由(1)知
y M N

L ? P M? P N ? ≥ PQ? M ?N

PQ

?t ? 2 t ? 1 8t ? 1 2 9
2
2 2

? (t 0 , ?

8)
P Q O 河 N
'

m l x

所以 ( L ? t ) ? 4(t ? 18t ? 129) , 即方程 3t 2 ? (2L ? 72)t ? (516 ? L2 ) ? 0 在 t ? (0, 8) 上有解. 故 ? ? (2L ? 72)2 ? 12(516 ? L2 )≥0 ,即 L2 ? 18L ? 63≥0 , 解得 L≥21 或 L ≤ ? 3 ,所以 L 的最小值为 21,此时对应的 t ? 5 ? (0, 8) . 故 N ?(8 3, 2) , MN ? 方程为 y ? 10 ?

3 x ,令 y ? 5 得 x ? 5 3 ,即 P(5 3, 5) . 3
6

从而 PM ? (5 3) 2 ? (5 ? 10) 2 ? 10 , PN ? (5 3 ? 8 3) 2 ? (5 ? 8) 2 ? 6 . 答:满足题意的 P 点距河岸 5km,距小区 M 到河岸的垂线 5 3 km,此时污水处理站到小区 M 和 N 的水管长度分别为 10km 和 6km. 19.解(1)∵ f ( x)=2x 2 ? ln x ? c ,定义域为 ? 0, ? ?? ∴由 f ( x)=4x ? ≥ 0 得 x≥
'

1 x

1 , 2

∴单调增区间为 ? , +? ?

?1 ?2

? ?

1? b ? b a? 2 , ? 1 ? ? 2 a e ? , b ? ? 2e ' (2)∵ f ( x)=2ax ? ,∴由题意得 ? e e 解得 ? x 2 ?c ? 1? b . ? ?1 ? ae ? b ? c, ? ? 2 1? b 2 1? b x +b ln x ? ∴ f ( x)= ,定义域为 ? 0, ? ?? . 2 2e 2 (?) 由经典分界线定义可得 f ( x) ≤ xf ( x) ,即 (1 ? x) f ( x) ≤0 在 ? 0, ? ?? 上恒成立. ①当 x ? 1 时,显然成立, b ? R . ②当 x ? 1 时, f ( x)≥ 0 恒成立,

e ?1 ? b ? 2 ? b 1? b 1? b e+b ln 4 e ? ? ? ≥0 , 2 2e 2 2e2 4 2e2 ? 2 e 2e2 ? 2 e ∴ b≤ 2 ? 2 ?2. e ?2 e e ? e 1 1? b 1 1 ? b 1 ? e4 ? (3e4 ? 1)b + b ln ? ? ≥0 ③当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ≤ 0 恒成立, f ( ) ? e 2e4 e 2 2e4 1 ? e4 ? 0 ,由①,②,③可得 0 ? b ? 2 ,又∵ b ? Z ,∴ b ? 1 . ∴ b≥ 4 3e ? 1 ∴ f ( x)= ln x ,故 ln x ≤kx ? m≤ x ln x 恒成立, 取 x ? 1 代入得 0≤k ? m≤0 ,即 k ? m ? 0 , ∴ ln x ≤kx ? k ≤ x ln x 恒成立.令 g ( x) ? ln x ? kx ? k ,
故 f ( 4 e) ? 且注意到 g (1) ? 0 ,故 g ( x) ≤ g (1) 在 ? 0, ? ?? 上恒成立.

1 1 ? xk ?k ? , x x ' 若 k ≤ 0 ,则 g ( x)>0 , g ( x) 在 ? 0, ? ?? 上单调增,这与 g ( x) ≤ g (1) 矛盾,故 k ? 0
由于 g ( x)=
'

∴在 ? 0, ∴只能

? ?

1 1? ? ?1 ? 上 g ( x) 单调增,在 ? , ? ? ? 上 g ( x) 单调增减,∴ g ( x) 的最大值为 g ( k ) , k? ?k ?

1 =1 ,即 k ? 1 . k 经检验当 k ? 1 时, x ? 1≤ x ln x 在 ? 0, ? ?? 上恒成立,且在 x ? 1 处取等号.
7

综上所述函数 y ? f ( x) 的经典分界线为 y ? x ? 1 . 20.解(1)由题意 anan+1=2(Sn+1), ① an+1an+2=2(Sn+1+1), ② 由①?②得到:an+1(an+2?an)=2an+1, ③ 因为 an+1>0,则 an+2?an=2, ④ a ? 2 k 又 a1=2,由④可知 2 k ?1 ;a2=3,由④可知 a2 k ? 2k ? 1 ; 因此, an ? n ? 1 . (2)当 n≥ 2 时, bn ? = = 则 Tn ? 1 ? (

1 an an?1 ? an?1 an an ? an?1 an an?1
1 an ?1 ? 1 an

?

an an?1

?

1 an ? an?1

?

?

an ? an?1 1 = an ? an?1 an an?1
1 1 ? ; n n ?1



1 1 1 1 1 1 2 1 ? )?( ? )? ?( ? ) =1 ? . ? 2 3 3 4 n n ?1 2 n ?1 2 (3)假设存在正整数数对(p,q),使 c1,cp,cq 成等比数列,即 c1cq=cp , 2p q 则 lgc1+lgcq=2 lgc p 成等差数列,于是, p ? 1 ? q (*). 3 3 3 1 q 2p 当 p ? 2 时, q ? p ? 1 ? ,此时, q ? 3 ; 3 9 3 3 可知(p,q)=(2,3) 恰为方程(*)的一组解. 2( p ? 1) 2 p 2 ? 4 p 2p 又当 p ≥ 3 时, ? p ? p ?1 <0,故数列{ p }(p≥3)为递减数列. p ?1 3 3 3 3 q 2p 1 2?3 1 于是 q = p ? ≤ 3 ? <0,所以此时方程(*)无正整数解. 3 3 3 3 3 综上,存在惟一正整数数对(p,q)=(2,3),使 c1,cp,cq 成等比数列.

8


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