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2013年稽阳联谊学校高三联考数学(理科)试题


2013 年稽阳联谊学校高三联考 数学(理科)试题
第 I 卷(选择题,共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 1. 已知 i 是虚数单位,若 (1 ? i ) z ? i ,则复数 z 对应的点在复平面的第( A.一 B.二 C.三 D. 四 2.已知函数 f ( x ) ? 距离为 ? ,则 f ( A. 1 )象

限.

3 sin(? x ? 2? )?( 3
B. 2

?
3


) ? cos(? x ?

?
3

)( x ? R, ? ? 0) 的图象的两相邻对称轴间的

C. ?

3 2

D. ? 1

3.若集合 A ? { x | (k ? 2) x 2 ? 2kx ? 1 ? 0} 有且仅有 2 个子集, 则实数 k 的值为( ) A. ? 2 B. ? 2 或 ? 1 C. 2 或 ? 1 D. ? 2 或 ? 1 4.某程序框图如图所示,该程序运行后输出的值为 5,则判断 框内应填入( ) A. k ? 2? B. k ? 3? C. k ? 4? D. k ? 5? 5.若 a , b 为实数,则“ 3 ? 3 ”是“
a b

1 1 ”的( ? |a| |b|



A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分且必要条件 D.既不充分也不必要条件 6.已知数列 {an } 满足 log2 an?1 ? log2 an ? 1 , a2 ? a ? 8 ? 8 , o ( 1 a ?a ?a) ? ( 且 则 lg a 4 5 7 1
2



A. ?

1 6

B. ? 6

C. 6

D.

1 6
) )

7.三个相同红球和一个白球放入 4 个不同盒子中(存放数量不限)的不同放法种数是( A. 16 B. 64 C. 80 D. 150 8.圆 O 的半径为 2, ? ABC 是其内接三角形, BC ? 3 ,则 AC ? AB 的最大值为( A.6 B.9 C.10 D. 12 9.已知双曲线

????2 ????2

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) , A1、A2 是实轴顶点, F 是右焦点, B(0, b) 是虚轴端 a 2 b2 点,若在线段 BF 上(不含端点)存在不同的两点 Pi ( i ? 1, 2) ,使得 ?Pi A1 A2 (i ? 1, 2) 构成以

A1 A2 为斜边的直角三角形,则双曲线离心率 e 的取值范围是(
A. ( 2 , ??) B. (



5 ?1 5 ?1 5 ?1 , ?? ) ) C. (1, D. ( 2 , ) 2 2 2 10.已知四面体 A ? BCD 中,P 为棱 AD 的中点,则过点 P 与侧面 ABC 和底面 BCD 所在平面 ? ? 都成 60 的平面共有(注:若二面角 ? ? l ? ? 的大小为 120 ,则平面 ? 与平面 ? 所成的角也 ? 为 60 ) ( ) A. 2 个 B. 4 个 C. 6 个 D. 无数个

1

第(II)卷(非选择题,共 100 分)
二、填空题:本大题有 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 11.若函数 f ( x ) ? ?

? x, x ? 0
2 ? x ? 1, x ? 0

,则 f ( x ) 的值域是

.

?3 x ? y ? 6 ? 0 ? 12.实数 x , y 满足条件 ? x ? y ? 2 ? 0 ,则 2x ? y 的最小值为 ?x ? 0 ?
13.已知 f ( x ) ? (1 ? 2 x )( x ?

.

1 n ) ( n ? N * ) 的展开式中没有常数项,且 2 ? n ? 6 ,则展开式中 3 x
.

含 x 的系数是

2

14. 一个空间几何体的三视图,如图所示,则这个空间几何体 的体积是 . 15.在 1, 2, 3, 4, 5 这 5 个数字的所有排列 a1 , a2 , a3 , a4 , a5 中,记

? 为某一排列中满足条件 ai ? i ,(i ? 1, 2, 3, 4, 5) 的个数(如 排列 1, 5, 3, 2, 4 记 ? ? 2 ),则随机变量 ? 的数学期望是 . 16.过点 A( 0, 1) 和 B( 4, m ) ,并且与 x 轴相切的圆有且只有一个,则 m ? . [c 、 ] [ 17.定义区间 (c , d )、 , d ) (c , d 、c ,d ]的长度均为 d ? c( d ? c). 已知实数 a ? 0, 则满足不等式 1 1 ? ? 1 的 x 构成的区间长度之和为 . x?a x
三、解答题:本大题共 5 小题,满分 72 分.解答应写出文字说明,证明给出或演算步骤. 18.(本题满分 14 分) ? ABC 中,角 A, B, C 对应的边分别为 a, b, c ,若 sin A,sin B,sin C 成 等差数列,且 tan C ? 2 2 . . (I)求

sin B 的值; sin A

(II)若 c ? 11 ,求 ? ABC 的面积 S .

19.(本题满分 14 分)已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,满足 an ? Sn ? 2n.(n ? N * ) ,记

bn ? 2 ? an . (I)求证: {bn } 是等比数列,并求 {bn } 的前 n 项和 Bn ; (II)求 b1 ( Bn ? b1 ) ? b2 ( Bn ? b2 ) ? ? ? bn?1 ( Bn ? bn?1 )(n ? 2).

2

20. (本题满分 15 分) 如图,在矩形 ABCD 中, AB ? 2 , BC ? 1, E 为边 AB 上一点, 以直线 EC 为折线将点 B 折起至点 P , 并保持 ? PEB 为锐角,连接 PA, PC , PD, 取 PD 中点 F ,若有

AF / / 平面 PEC . (I)求线段 AE 的长;
(II)当 ?PEB ? 60 时 (i)求证:平面 PEC ? 平面 CDAE ; (ii)求平面 PEC 与平面 PAD 所成角的余弦值.
?

21.(本题满分 15 分)已知离心率为

x2 y2 2 的椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 上有一点 P ,直线 a b 2 ??? ??? ? ? l : y ? kx ? m, ( k, m ? 0 )与此椭圆交于 A, B 两点(如图) 若 OA ? BP . , (I)证明:四边形 OAPB 的对角线不可能垂直; (II)若直线 l 与 OP 的倾斜角互补,记短轴端 | AB | 点到 l 的距离为 d ,求 的值. d

3

22.(本题满分 14 分)函数 f ( x ) ? x 3 ? ax ? b, a , b ? R 的图象记为 E . (I)过一点 A( , ? ) 作曲线 E 的切线,这样的切线有且仅有两条,

1 3 2 8 (i)求 a ? 2b 的值;

(ii)若点 A 在切线 E 上,对任意的 x ? [0,1] ,求证: f ( x )? | a ? 3b ? 1 | ? (II)若 e x ? f ( x ) ? x3 对 x ? R 恒成立,求 ab 的最大值.

1 ? 0. 2

4

2013 年稽阳联谊学校高三联考 数学(理科)参考答案
一、选择题(10×5′=50′) 1. A 2. A 3. D 4. C 7.C 8.D 9.D 10. B ? ? 第 10 题提示: 设平面 ABC 的法向量为 a , 平面 BCD 的法向量为 b , 因为二面角 A ? BC ? D ? ? 1 ? ? 的平面角的余弦值为 , 即平面角大约为 71 , 所以过点 P 与法向量 a , b 都成 60 的向量有 4 3 ? 个,所以过点 P 与侧面 ABC 和底面 BCD 所在平面都成 60 的平面共有 4 个. 12. -6 13. -10 14. 5. D 6. B

二、填空题(7×4′=28′) 11. [ ?1, ?? )

7? 6

15. 1

16. 0 或 1

17. 2

三、解答题(72′) 18.解 : (I)? sin A,sin B,sin C 成等差数列,

? 2 sin B ? sin A ? sin C ? 2b ? a ? c 1 由 tan C ? 2 2 ? cos C ? , 3
而 c ? a ? b ? 2ab cos C 得 (2b ? a)2 ? a2 ? b2 ? 2ab ?
2 2 2

1 3

?9b ? 10a ?
(II)由

sin B 10 b 10 ? ?????????????7 分 ? ,所以 sin A 9 a 9 b 10 , 2b ? a? c , c ? 11 ,得 a ? 9, b ? 10 , ? a 9

又由 tan C ? 2 2 ? sin C ? 所以△ABC 的面积 S ?

2 2 3

1 ab sin C ? 30 2 ????????????14 分 2

19. 解: (I)∵ an ? Sn ? 2n , ∴ an?1 ? Sn?1 ? 2(n ? 1)(n ? 2) , 两式相减得 2an ? an?1 ? 2 ,?????????????2 分

?

??bn ? 是等比数列.

bn 2 ? an 2 ? an 1 ? ? ? (n ? 2) ?????????????5 分 bn?1 2 ? an ?1 2 ? (2an ? 2) 2

1 1? ( n ) 1 2 ? 2[1 ? ( 1 ) n ] ???????7 分 ? a1 ? 1,? b 1 ? 2 ? a 1? 1, q ? ,? Bn ? 1 2 2 1? 2
(II)原式= b1 ( Bn ? b1 ) ? b2 ( Bn ? b2 ) ? b3 ( Bn ? b3 ) ? ? ? bn?1 ( Bn ? bn?1 )
2 2 2 ? Bn (b1 ? b2 ? b3 ??? bn?1 ) ? (b12 ? b2 ? b3 ? ?? bn?1 ) ???????9 分 2 2 2 ? Bn Bn?1 ? (b12 ? b2 ? b3 ? ?? bn?1 ) ???????11 分

5

1 1 ? ( )n?1 1 n 1 n ?1 8 1 40 1 4 ? 2[1 ? ( ) ]?2[1 ? ( ) ] ? ? ? 12( ) n ? ( ) n ?????14 分 1 2 2 3 2 3 4 1? 4 20. 解:(I)取 PC 的中点 G ,连接 FG , EG , ? FG / / CD, AE / / CD,? FG / / AE ,? A, F , G, E 四点共面?????2 分 ? AF / / 平面 PCE ,? AF / /GE ?????4 分 ? AFGE 为平行四边形 1 1 ? GF ? CD,? AE ? AB ? 1 ?????5 分 2 2 ? ? (II) (i)证明:? 异面直线 PE, CD 所成的角为 60 ,??PEB ? 60 ?P E ? B E?1 , ? P B 1 ? ,取 CE 中点 O,
? P E ? P C 1 且 ?EDC ? 90? , 同理 BO ? ?

2 2 2 2 2 所以?OP ? OB ? BP ,? PO ? OB,? PO ? CE,? PO ? 平面CDAE ???8 分

? PO ? 平面PCE ,? 平面PCE ? 平面CDAE ???10 分
(ii)将该几何体补形成如图所示的长方体,以点 B 为坐标原点建立空间直角坐标系,

1 1 2 P( , , ), A(0, 2, 0), D(1, 2, 0) ???12 分 2 2 2
取平面 PCE 的一个法向量 m ? (1,1, 0) 设平面 PAD 法向量为 n ? ( x, y, z ) ,

?? ?

?

???? ???? 1 3 2 ? AD ? (1, 0, 0), AP ? ( , ? , ), 2 2 2 ? ???? ? ? n?AD ? 0 ? 2z ? 由 ? ? ???? 得 n ? (0, , z ) ,取 z ? 3 ,得 n ? (0, 2 , 3) ???14 分 3 ? n?AP ? 0 ?

?? ? ? ?? ? ? m?n 1 ? ? cos ? m, n ?? ?? ? ? | m || n | 11
平面 PEC 与平面 MAB1 所成角的余弦值为

1 11

???15 分

21. (I)解:设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,

2 2 2 2 时, a ? 2b ,所以椭圆方程为 x ? 2 y ? 2b ,联立直线 l : y ? kx ? m 2 2 2 2 2 可得 (1 ? 2k ) x ? 4kmx ? 2m ? 2b ? 0
当e ?

6

4km ? ? x1 ? x2 ? ? 1 ? 2k 2 2m ? 由韦达定理可得 ? ,所以 y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 2m ? 2 2 1 ? 2k 2 ? x x ? 2m ? 2b ? 1 2 1 ? 2k 2 ? ??? ??? ??? ? ? ? 4km 2m , ), ?OP ? OA ? OB ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) ,? P(? 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2 1 y y ?y 1 ? kOP ? P ? 1 2 ? ? ,故 kOP ?k ? ? ? ?1 2 xP x1 ? x2 2k
所以四边形 OABP 的对角线不可能垂直??????7 分

1 1 ? ? k ,故 k 2 ? 2k 2 2 2 2 2 2 因为 P(?2km, m) 在椭圆上,代入有: (?2km) ? m ? 2b ,故 b ? 2m
(II) l 与直线 OP 的倾斜角互补,则有 kOP ? ?k ,即 ? 短轴端点 B(0, ?b) 到 l 的距离 d ?

| ?b ? m | k ?1
2

?

| ? 2m ? m | 3 2

| AB |? k 2 ? 1 | x1 ? x2 |? 3 | m |

3 | AB | 6 3 ? 3 6 ,? ? . ???????????15 分 4 d 2 22.解: (i)? f ( x) ? x3 ? ax ? b, a, b ? R,? f '( x) ? 3x 2 ? a (I)
即c ?
2 设切点为 ( x0 , y0 ) ,则切线方程为 y ? y0 ? (3x0 ? a)( x ? x0 ) ,将点 A( , ? ) 代入得

1 2

3 8

3 1 2 3 2 ? ? y0 ? (3x0 ? a)( ? x0 ) 可化为 16x0 ?12x0 ? 4a ? 8b ? 3 ? 0 8 2 3 2 设 g ( x) ? 16 x ?12 x ? 4a ? 8b ? 3 1 ?g '( x) ? 48x2 ? 24 x ,? y ? g ( x) 的极值点为 0, 2 1 3 ? 过点A( , ? ) 作曲线 E 的切线,这样的切线有且仅有两条 2 8 1 3 ? g (0) ? 0或g ( ) ? 0 ,? a ? 2b ? ? 或a ? 2b ? ?1 ????4 分 2 4 (ii)因为点 A 在曲线 E 上,所以 a ? 2b ? ?1 1 1 f ( x)? | b | ? ? x 3 ? ax ? b ? | b | ? 2 2 1 1 3 3 当 b ? 0 时,左边= x ? ax ? ? x ? (?1 ? 2b) x ? 2 2 1 3 2 令函数 h( x) ? x ? (?1 ? 2b) x ? (0 ? x ? 1) ,?h '( x) ? 3x ? (1 ? 2b) 2
当 1 ? 2b ? 0 时 h '( x) ? 0 ,函数 y ? h( x) 在 [0,1] 上单调递增, h( x) ? h(0) ? 当 1 ? 2b ? 0 即 0 ? b ? ?

1 ?0 2

1 2b ? 1 时,由 h '( x) ? 0 得 x ? 2 3

7

2b ? 1 2b ? 1 ] 上单调递减,在 [ ,1] 上单调递增 3 3 2b ? 1 2b ? 1 2b ? 1 2b ? 1 1 ? h( x) ? h( )? ? (2b ? 1) ? 3 3 3 3 2 2(2b ? 1) 2b ? 1 1 2 1 1 ?? ? ?? ? ? 0; 3 3 2 3 2 2 1 3 当 b ? 0 时,左边= x ? (?1 ? 2b) x ? 2b ? 2 1 3 令函数 k ( x) ? x ? (?1 ? 2b) x ? 2b ? (0 ? x ? 1) 2 2b ? 1 ?k '( x) ? 3x2 ? (?1 ? 2b) ,由 k '( x) ? 0 得 x ? 3 1 2b ? 1 当 ? 1 时,即 b ? 1 时,函数 y ? k ( x) 在 [0,1] 上单调递减, k ( x) ? k (1) ? ? 0 2 3 2b ? 1 2b ? 1 当 0 ? b ? 1 时,函数 y ? k ( x) 在 [0, ] 上单调递减,在 [ ,1] 上单调递增 3 3 2b ? 1 2(2b ? 1) 2b ? 1 1 k ( x) ? k ( )?? ? (2b ? 1) ? 3 3 3 2 2(2b ? 1) 2b ? 1 1 令函数 m(b) ? ? ? (2b ? 1) ? 3 3 2 1 2b ? 1 3 3 设 ? t ? ( ,1) , m(t ) ? ?2t 3 ? 3t 2 ? 在 ( ,1) 上单调递增 2 3 3 3 3 ? m(t ) ? m( ) ? 0 ????10 分 3
∴函数 y ? h( x) 在 [0,
x 3 (II)由 e ? f ( x) ? x 得 e ? ax ? b 对 x ? R 恒成立,显然 a ? 0 .
x

若 a ? 0, 则 ab ? 0 若 a ? 0 ,则 ab ? a(e x ? ax) 设函数 w( x) ? a(e x ? ax) ,由 w '( x) ? a(e x ? a) ? 0得x ? ln a 所以函数 w( x) ? a(e x ? ax) 在 (0,ln a) 上单调递减,在 (ln a, ??) 上单调递增

? w( x) ? w(ln a) ? a(a ? a ln a) 设 r (a) ? a(a ? a ln a),? r '(a) ? a(1 ? 2ln a)
由 r '(a) ? 0得0 ? a ? e ∴函数 y ? r (a) 在 (0, e ) 上单调递增,在 ( e , ??) 上单调递减 ∴ r (a) ? r ( e ) ?

1 1 1 e ,即 ab 的最大值为 e ,此时 a ? e , b ? e ???14 分 2 2 2

8


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