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常州2015-2016高二第二学期期末数学试卷(理科)(含答案)


常州市教育学会学生学业水平监测

高 二 数 学 试 题(理)
应的位置上)
1.命题“ ?x ? (0, 2), x2 ? 2x ? 2 ≤ 0 ”的否定是 ▲ . ▲ . 2.已知集合 U ? {?1,0,1, 2,3}, A ? {?1,1, 2} ,则 CU A ?

2016.6

一、填空

题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,请将答案填写在答题卡相

甲乙 98 8 79 210 9 013

3.右图是甲、乙两位同学在 5 次数学测试中得分的茎叶图, 则成绩较稳定(即方差较小)的同学的方差为 4.右图是一个算法流程图,则输出的 S 的值为 ▲ ▲ . .

(第 3 题) 开始

?1 a ? 5.在平面直角坐标系 xOy 中,直线 x ? y ? 2 ? 0 ,在矩阵 A ? ? ? ?1 2? 对应的变换作用下, 得到直线 x ? y ? b ? 0(a, b ? R) , 则 a ? b 的值

n←1, S←12 S←S—n n←n+2 S<n Y 输出S N

?





6.函数 f ? x ? ?

1 ? 2 的定义域为 lg x





结束 (第4题)

7.在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为 ?

? x ? 2 cos ? ? 3 ? (? 为参数) ,以原点 ? ? y ? 2sin ?

O 为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 ? ?
曲线 C 交于 A 、 B 两点,则线段 AB 的长为 ▲ .

?
6

,若直线 l 与

8.已知命题 p : x ? a ? 4或x ? a ? 4 , q : ( x ? 2)( x ? 3) ? 0 ,若 ? p 是 ? q 的必要条件,则实 数 a 的取值范围是 ▲ . ▲ . 9.已知 ( x ?1)8 ? a0 ? a1x ? a2 x2 ???? ? a8 x8 ,其中 ai (i ? 0,1, 2, ???,8) 为实常数, 则 a1 ? 2a2 ? 3a3 ???? ? 7a7 ? 8a8 ?

10.某班某天要安排语文、数学、政治、英语、体育、物理共 6 节课,要求数学课排在前 3 节,体育课不排在第 1 节,则不同的排法种数为
2



. (结果以数字作答)

? x ? 4 x ? 1, x ≤ 0 ? 11.已知 f ? x ? ? ?log ( x ? 2), x ? 0 ,若关于 x 的不等式 f ? x ? a ? ≥ f ? 2a ? x ? 在区间 1 ? ? 2

?a,

a ? 1?上恒成立,则实数 a 的最大值是
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x 12.已 知 f ( x) 是 定 义 在 [?2, 2] 上 的 奇 函 数 , 当 x ? (0, 2] 时 , f ( x )? 2 ? , 1 函数

g ( x) ? x2 ? 2x ? m . 如果对于 ?x1 ?[?2, 2] , ?x2 ?[?2, 2] ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,则实
数 m 的取值范围是 ▲ .
y D

1 D 在函数 y ? x ? ( x ? 0) 13. 如图, 矩形 ABCD 的边 AB 在 x 轴上, 顶点 C 、 x m 的图象上,记 AB ? m, BC ? n ,则 2 的最大值为 ▲ . n
14 .已知函数 g ( x) ? ?

C

x B O A (第 13 题)

?( x ? 2) 2 , x ? 2 ? ,函数 f ( x) ? ?a ? g (2 ? x) ,其中 a ? R ,若函数 2 ? x , x ? 2 ? ?
▲ .

y ? g( x) ? f ( x)恰有 4 个零点,则实数 a 的取值范围是

二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分。请在答题卡指定区域 内作答,解答时应写 .......

出文字说明、证明过程或演算步骤)
15. (本题满分 14 分) 已知命题 P : 函数 f ( x) ? 2 x2 ? 4ax 在 (1, ??) 上递增; 命题 Q : 函数 y ? lg(ax2 ? x ? a) 的定义域为 R , ⑴ 若 ?Q 为假命题,则求实数 a 的取值范围. ⑵ 若 P 或 Q 为真, P 且 Q 为假,则求实数 a 的取值范围. '

16. (本小题满分 14 分) 求解下列问题:

?5 ? ? 1 2? ,向量 a ? ? ? ,计算 A5a ; ? ? 3? ? ?1 4 ? ? ⑵ 在极坐标系中,直线 l 的极坐标方程为 ? ? ( ? ? R ) ,以极点为原点,极轴为 x 轴 3 ? x ? 2sin ? 的正半轴建立平面直角坐标系,曲线 C 的参数方程为 ? , (? 为参数) ? y ? 1 ? cos 2?
⑴ 已知矩阵 A ? ? 求直线 l 与曲线 C 交点 P 的直角坐标.

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17. (本题满分 14 分) 某水果供应商用一辆重型卡车将某种水果 (满载) 运送到相距 400 km 的水果批发市场。 据测算, 重型卡车满载行驶时, 每 100km 所消耗的燃油量 u(单位升:L ) 与速度 v(单
ì 100 ? ? + 23, 0 < v ? 50 ? ? v 位: km h )的关系近似地满足 u = ? ,除燃油费外,人工工资、车 í ? 2v ? + 5, v > 50 ? ? ? 5 ?

损等其他费用平均每小时 300 元。已知燃油价格为 7.5 元/ L . ⑴ 设运送这车水果的总费用为 y (元) (不计返程费用) ,将总费用 y 表示成速度 v 的 函数关系式; ⑵ 卡车该以怎样的速度行驶,才能使运送这车水果的总费用最少?并求出最少费用.

18. (本题满分 16 分) ( x ? 1)( x ? a) 已知函数 f ( x) ? 为偶函数. x2 ⑴ 求实数 a 的值; ⑵ 记集合 E ? {y y ? f ( x), x ?{?1,1,2}},? ? lg 2 2 ? lg 2 ? lg 5 ? lg 5 ? 合 E 的关系; ⑶ 当 x?[

1 ,判断 ? 与集 4

1 1 , ] ?m ? 0, n ? 0? 时,若函数 f ( x) 的值域为 [m3 ? 5m2 ? 6, n3 ? 5n2 ? 6] , m n

求 m, n 的值.

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19. (本题满分 16 分) 已知甲箱中装有 3 个红球, 3 个黑球,乙箱中装有 2 个红球, 2 个黑球,这些球除颜色 外完全相同,某商场举行有奖促销活动,设获奖规则如下:顾客依次从以上两个箱子 中,一次性各随机摸出 2 个球,共计 4 个球,若摸出的 4 个球都是红球,则获得一等 奖;若摸出的 4 个球中有 3 个红球,则获得二等奖;若摸出的 4 个球中有 2 个红球,则 获得三等奖;其他情况不获奖,每次模球获奖后将球放回原箱中. ⑴ 求在 1 次摸奖中,获得二等奖的概率; ⑵ 求在 1 次摸奖中,获奖的概率和不获奖的概率; ⑶ 连续摸奖 2 次, 若记 2 次摸奖中获奖的次数为 X , 则求获奖次数 X 的分布列及数学 期望 E ( X ) .

20. (本题满分 16 分) 在集合 A ? ?1,2,3,4, ???2n? ,任取 m(m ? n, m, n ? N ? ) 个元素构成集合 Am ,若 Am 中的所 有元素之和为偶数,则称 Am 为 A 的偶子集,偶子集的个数记为 f ( m) ;若 Am 中的所有元

() ? fm ( ) gm (? ) 素之和为奇数, 则称 Am 为 A 的奇子集, 奇子集的个数记为 g ( m) , 令 Fm
⑴ 当 n ? 2 时,求 F (1), F (2) 的值; ⑵ 求 F (m) .



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武进区教育学会 2015~2016 学年度第二学期期末 高二理科数学参考答案
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分) 1. ?x ? (0, 2), x2 ? 2 x ? 2 ? 0 , 4. 3 , 8. ? ?1,6? , 12. ? ?5, ?2? , 5. 4 , 9. 1024(或210 ) , 13. 2. ?0,3? , 3. 2 , 7. 13 , 11. ?2 , 14. ( ?2, ? ) ,

6. 1, 10 ? ?, 10. 312 ,

?

1 , 4

7 4

二、解答题: (本大题共 6 道题,计 90 分) 15. (本小题满分 14 分) 解:(1) ∵ ?Q 为假命题,∴命题 Q 为真命题, 则不等式 ax ? x ? a ? 0 在实数集 R 上恒成立,
2

????????????? 2 分

即?

?a ? 0
2 ? ? ? 1 ? 4a ? 0

,也即 a ?

1 2

1 ????????????? 4 分 2 (2)若命题 P :函数 f ( x) ? 2 x2 ? 4ax 在 (1, ??) 上递增为真命题, ?4 a ? 1 ,即 a ? 1 , 则? ????????????? 5 分 2? 2 若命题 P 为假命题,则 a ? 1 ????????????? 6 分 2 若命题 Q :函数 y ? lg(ax ? x ? a) 的定义域为 R 是真命题,
则所求实数 a 的取值范围 ( , ??) 则(1)知 a ?

1 2 1 2

????????????? 7 分

若命题 Q 为假命题,则 a ?

????????????? 8 分

又因为 P 或 Q 为真, P 且 Q 为假 , 所以 P 和 Q 必为一真一假 ????????????? 9 分 ????????????? 11 分

?a ? 1 1 ? ①若 P 真而 Q 假时,则 ? 1 ,即 a ? , 2 a? ? ? 2 ?a ? 1 ? ②若 Q 真而 P 假时,则 ? 1 ,则 a ? 1 a ? ? ? 2
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????????????? 13 分

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综上所述可知所求实数 a 的取值范围 ? ??, ? ? ?1, ?? ? 2

? ?

1? ?

???????? 14 分

16. (本题满分 14 分) 解:(1) 因为 f (? ) ?

? ?1 ? 2 ? ? 2 ? 5? ? 6 ,由 f (? ) ? 0 ,得 ? =2 或 ? =3 .????2 分 1 ? ?4
????????????????3 分 ????????????????4 分

?2? 当 ? =2 时,对应的一个特征向量为 ?1 = ? ? ; ?1 ? ?1? 当 ? =3 时,对应的一个特征向量为 ? 2 = ? ? . ?1? ? m ? 2, ?5 ? ? 2? ?1? 设 ? ? =m ? ? ? n ? ? ,解得 ? ?3? ?1 ? ?1? ? n ? 1.
所以 A5? ? 2 ? 25 ? ? ? 1? 35 ? ? ? ?

??????????????????5 分

? 2? ?1 ?

?1? ?1?

?371? ?. ?307?

????????????????7 分 ????????9 分 ????????11 分

(2) 直线 l 的普通方程为 y ? 3x ,① 1 曲线 C 的直角坐标方程为 y ? x 2 ( x ? [?2, 2]) ,② 2

? y ? 3x ? ?x ? 2 3 ? x ? 0, ? 联立①②得 ? , ????????????13 分 1 2 ,解之得 ? y ? 0 或 ? y ? 6 ? ? y ? x ? ? ? 2 又由 x ? 2 sin ? ( ? 为参数)可知 x ?? ?2, 2?
? ? x ? 0, ? x ? 2 3, 所以 ? 应舍去,即 ? ? ?y ? 0 ? y ? 6,
故所求直线 l 与曲线 C 交点 P 的直角坐标为 ? 0, 0 ? . 17. (本题满分 14 分) 解: (1)由题意可知运送这车水果的总费用为: ????????14 分

400 400 ? 100 ( ? 23) ? ? 7 ?5 ? ? 300, (0 ? v ? 50) ? ? v 100 v y?? ?????????????7 分 ?( 2v ? 5) ? 400 ? 7 ? 5 ? 400 ? 300, (v ? 50) ? 100 v ? 5 4100 ? 23) ? 30 , (2)①当 0 ? v ? 50 时, y ? ( v 4100 ? 23) ? 30 在区间 ? 0,50? 上单调递减, 因为函数 y ? ( v 所以当 v ? 50 km h 时, ymin ? 3150 元; ?????????????10 分

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②当 v ? 50 时, y ? ( 当且仅当

2v 4000 2v 4000 ? ? 5) ? 30 ? (2 ? ? 5) ? 30 ? 2550 , 5 v 5 v

2v 4000 ? 时,即 v ? 100 时,上式取“等号” , 5 v 即当 v ? 100 km h 时, ymin ? 2550 元; ?????????????13 分
综上所述可知当卡车以 100 km h 速度行驶时,才能使运送这车水果的总费用最少, 且最少费用为 2550 元. 18. (本题满分 16 分) 解:(1) ∵ f ( x ) 为偶函数,∴ ?????????????14 分

f ( x) ? f ( ? x) , ( x ? 1)( x ? a) (? x ? 1)(? x ? a) ? 即 x2 x2 即: 2(a ? 1) x ? 0, x ?R 且 x ? 0 ,∴ a ? 1

?????????????2 分 ?????????????4 分

(2)由(1)可知: f ( x) ? 当 x ? 2 时, f ( x ) ? ∴ E ? ?0 , ? ,

x ?1 x2
2

当 x ? ?1 时, f ( x) ? 0 ;

3 4
?????????????6 分

? 3? ? 4?
2

而 ? ? lg 2 ? lg 2 ? lg 5 ? lg 5 ? ∴??E . (3) ∵ f ( x) ?
2

1 1 3 2 = lg 2 ? lg 2(1 ? lg 2) ? 1 ? lg 2 ? = ,?????8 分 4 4 4
?????????????9 分

x ?1 1 1 1 ? 1 ? 2 , x ?[ , ] , 2 x x m n 1 1 ∴函数 f ( x ) 在 [ , ] 上单调递增. ?????????????11 分 m n ? 1 f ( ) ? m3 ? 5m 2 ? 6 ? ?1 ? m 2 ? m3 ? 5m 2 ? 6 ? m ? ∴? ,∴ ? , 2 3 2 ? ?1 ? n ? n ? 5n ? 6 ? f ( 1 ) ? n 3 ? 5n 2 ? 6 ? ? n ? m3 ? 4m 2 ? 5 ? 0 ? 即? , ?????????????13 分 3 2 ? ? n ? 4n ? 5 ? 0
2 3 2 ∴ m , n 是方程 x ? 4 x ? 5 ? 0 即 ? x ? 1? x ? 5 x ? 5 ? 0 的两个根,

?

?

1 1 ? ,且 m ? 0, n ? 0 ,∴ m ? n , ?????????????14 分 m n 2 ∴ m , n 是方程 x ? 5 x ? 5 ? 0 的两个正根,
又由题意可知

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∴m ?

5? 5 5? 5 ,n ? . 2 2

?????????????16 分

19. (本题满分 16 分) 解:(1)设“在 1 次摸奖中,获得二等奖”为事件 A , 则 P( A) ?
2 1 1 1 2 C3 C2 C2 +C1 7 3C3C2 . ? 2 2 C6 ? C4 30

??????????4 分

(2)设“在 1 次摸奖中,获奖” 为事件 B , “在 1 次摸奖中,不获奖” 为事件 C , 则获得一等奖的概率为 P 1=
2 2 C3 C2 1 ; ? 2 2 C6 ? C4 30

????????????????6 分

由(1)可知获得二等奖的概率为 P2 ? 又获得三等奖的概率为 P3 =

7 ; 30

2 2 1 1 1 2C3 C2 +C1 7 3 C3 C2 C2 ? ; ?????????????8 分 2 2 C6 ? C 4 15

所以在 1 次摸奖中,获奖的概率为 P( B) ?

1 7 7 11 ? ? ? . 30 30 15 15 11 4 ? , 15 15
?????????10 分

不获奖的概率为 P(C) ? 1 ?

(3)由题意可知 X 的所有可能取值为 0,1,2.

P( X ? 0) ? (1 ?

11 2 16 11 11 88 , P( X ? 1) ? C1 , ) ? (1 ? ) ? 2 15 225 15 15 225

11 121 . P( X ? 2) ? ( )2 ? 15 225
则 X 的分布列是:

X
P( X )

0

1
88 225

2
121 225
???????????16 分

16 225

所以 E( X ) ? 0 ?

16 88 121 22 . ? 1? ? 2? ? 225 225 225 15

20. (本题满分 16 分) 解:(1)当 n ? 2 时,集合 A 为 {1, 2,3, 4} , 当 m ? 1 时,集合 A 的偶子集有 {2},{4} ,奇子集有 {1},{3} , 则 f (1) ? 2, g (1) ? 2 ,即 F (1) ? f (1) ? g (1) ? 0 ; ?????????????3 分 当 m ? 2 时,集合 A 的偶子集有 {2,4},{1,3} ,奇子集有 {1,2},{1,4},{2,3},{3,4} ,
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则 f (2) ? 2, g (2) ? 4 ,即 F (2) ? f (2) ? g (2) ? ?2 ;?????????????6 分
m 2 m?2 4 m?4 m?1 1 (2)当 m 为奇数时,偶子集的个数 f (m) ? C0 ? Cn Cn ? ?? Cn Cn , n Cn ? Cn Cn m?1 m?3 m 0 奇子集的个数 g (m) ? C1 ? C3 ??? Cn Cn , n Cn nCn

所以 f (m) ? g (m), F (m) ? f (m) ? g (m) ? 0 . 当 m 为偶数时,偶子集的个数 f (m) ? C C ? C C
0 n

?????????????9 分
2 m?2 n n 3 m?3 n n 4 m?4 m 0 ? Cn Cn ??? Cn Cn , m?1 1 ??? Cn Cn ,

所以 F (m) ? f (m) ? g (m) 一方面,

奇子集的个数 g (m) ? C1 nC

m n m?1 n

?C C

m 1 m?1 2 m?2 m?3 m?1 1 m 0 ? C0 ? Cn Cn ? C3 ? ?? Cn Cn ? Cn Cn . n Cn ? Cn Cn n Cn

???12 分

1 2 2 n n 0 1 2 2 n n n (1 ? x)n (1 ? x)n ? (C0 n ? Cn x ? Cn x ? ?? Cn x )[Cn ? Cn x ? Cn x ? ?? (?1) Cn x ]

所以 (1 ? x)n (1 ? x)n 中 x 的系数为:
m

m 1 m?1 m?2 m?3 m?1 1 m 0 C0 ? C2 ? C3 ??? Cn Cn ? Cn Cn ; nCn ? CnCn nCn nCn

另一方面, (1 ? x)n (1 ? x)n ? (1 ? x 2 )n , (1 ? x 2 )n 中 x 的系数为 (?1) 2 Cn2 ,
m

m

m

m 1 m?1 m?2 m?3 m?1 1 m 0 故 F (m) ? C0 ? C2 ? C3 ??? Cn Cn ? Cn Cn ? (?1) 2 Cn2 ?15 分 n Cn ? Cn Cn nCn nCn
m m ? ?(?1) 2 C n2 , m为偶数, 综上, F ( m) ? ? ? ?0,     m为奇数.

m

m

高二理科数学

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