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安徽省望江中学2013届高三上学期期中考试数学(理)试题


安徽省望江中学 2012~2013 年度第一学期期中考试 高三数学试题(理)
一、填空题(本小题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的.) 1. 定义集合运算: A ﹡ B = ? z z ? xy, x ? A, y ? B? ,设 A ? ?1,2? , B ? ?0,2? ,则集合
A ﹡ B

的所有元素之和为 A .0 B .2
( )
[来源:Zxxk.Com]

C .3

D .6
( )

? 2 x ? 1, x ? 1 2.已知函数 f ( x) ? ? 2 ,若 f ( f (0)) ? 4a ,则实数 a 等于 x ? ax, x ? 1 ?
A.

1 2

B.

4 5

C .2

D .9
( )

3.已知 sin ? ? cos ? ? 2 , ? ?(0,π ),则 tan ? =
A. ? 1 B. ?

2 2

C.

2 2

D.1

4.已知 ? 为第二象限角, sin ? ? cos ? ?
5 9 5 3

3 ,则 cos 2? ? 3
C.
?





A. ?

B. ?

5 9
? ? ?

D.

5 3
?

5. O 为 ?ABC 所在平面内一点,且满足 (OB ? OC ) ? (OB? OC ? 2 OA) ? 0 ,则 ?ABC 的 若
形状为 ( B.直角三角形 C.等腰三角形 D.以上都不对 )

A .正三角形

6. 设函数 f ( x) 定义在实数集上,它的图像关于直线 x ? 1 对称,且当 x ≥1 时,

f ( x) ? 3x ? 1,则有
1 3 2 A. f( )? f( )? f( ) 3 2 3 2 1 3 C. f ( ) ? f ( ) ? f ( ) 3 3 2
B. f ( ) ? f ( ) ? f ( )

(

)

2 3 1 3 2 3 3 2 1 D. f ( ) ? f ( ) ? f ( ) 2 3 3

7.若 f ( x) 是 R 上周期为 5 的奇函数,且满足 f (1) ? 1, f (2) ? 2 ,则 f (3) ? f (4) ?
A . ?1
B. 1 C. ?2 D. 2 ( )

8.已知直线 y ? 2 x ? m 是曲线 y ? ln 2 x 的切线,则 m 等于

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A.

0

B.1

C.

1 2

D?

1 2

? 9.设奇函数 f ( x) 在 (0, ?) 上为增函数,且 f (1) ? 0 ,则不等式

的解集为
0) ? A. (?1, ? (1, ?) ? ? C. (??, 1) ? (1, ?) ? 1) B. (??, 1) ? (0, 0) 1) D. (?1, ? (0,

f ( x) ? f (? x) ?0 x ( )

10. 已知函数 f ( x) ? mx2 ? (m ? 3) x ? 1的 图像与 x 轴的交点至少有一个在原点右侧,则实 ..
数 m 的取值范围是 ( )

A . ? 0,1?

B.

(0,1)

C . (??,1)

D . (??,1]

二、选择题(本大题共 5 小题 ,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在题中的横线上.) 1 ? ai 11.设 i 是虚数单位,复数 为纯虚数,则实数 a 为 . 2?i 12.幂函数 f ( x) 的图像经过点 (3, 3) ,则 f ( x) 的解析式是 .

13.已知 ?ABC 得三边长成公比为 2 的等比数列,则其最大角的余弦值为_________. 14. ? ( x2 ? sin x)dx ?
?1 1

15.定义在 R 上的偶函数 f ( x) ,满足 f ( x ? 1) ? ? f ( x) ,且 f ( x) 在 ? ?1,0? 上是增函数,
下列五个关于 f ( x ) 的命题中: f ( x ) 是周期函数; f ( x ) 的图像关于 x ? 1 对称; f ( x ) ① ② ③ 在 ?0,1? 上是增函数;④ f ( x ) 在 ?1, 2? 上是减函数;⑤ f (2) ? f (0) . 其中正确命题的序号是 (请把所有正确的序号全部写出)

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分,16---18 每题 12 分,19---21 每题 13 分,解答题写出必要的 文字说明,证明过程及演算步骤.) ? ? 2 16. 已知函数 f (x)= sin (2 x + )+sin(2 x ? )+2cos x ? 1, x ? R . 3 3
⑴ 求函数 f (x) 的最小正周期; ⑵ 求函数 f (x) 在区间 [ ?

? ?

, ] 上的最大值和最小值. 4 4 1 ? 2 的图像关于点 A(0,1) 对称. x

17.已知函数 f ( x) 的图像与函数 h( x) ? x ?
⑴ 求函数 f ( x ) 的解析式;

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⑵ 若 g ( x) ? f ( x) ?

a , g ( x) 在区间 (0, 2] 上的值不小于 6,求实数 a 的取值范围. ... x
a,b,c. 已

18 . 在 △ABC 中 , 角 A,B,C 的 对 边 分 别 为 ? ? ? 知, A ? , b sin( ? C ) ? c sin( ? B) ? a . 4 4 4 ? (1)求证: B ? C ? 2
(2)若 a= 2 ,求△ABC 的面积.

1 19.已知 f ( x) ? x 3 ? x 2 ? bx ? c . 2
⑴ 若 f ( x ) 的图像有与 x 轴平行的切线,求 b 的取值范围; ⑵ 若 f ( x ) 在 x ? 1 时取得极值,且 x ? (?1, 2) 时, f ( x) ? c2 恒成立,求 c 的取值范 围.

20.已知 a 是实数,函数 f ( x) ? x ( x ? a) ⑴求函数 f ( x ) 的单调区间; ⑵设 g (a ) 为 f ( x ) 在区间 ?0,2? 上的最小值 (i)写出 g (a ) 的表达式; (ii)求 a 的取值范围,使得 ?6 ≤ g (a ) ≤ ?2 .

21.已知函数 f ( x) ? p ln x ? ( p ?1) x2 ? 1
⑴ 当 p ? 1 时, f ( x ) ≤ kx 恒成立,求实数 k 的取值范围; ⑵ 证明: ln(n ? 1) ? 1 ?

1 1 1 ? ? .... ? ( n ? N ? ) . 2 3 n

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安徽省望江中学 2012~2013 年度第一学期期中考试 高三数学试题参考答案及评分标准
一、选择题 1 2 D C 二、填空题 11. 13. ?
2

3 A

4 B

5 C

6 B

7 A

8 B

9 D

10 D

12. f ( x) ? x 14.
2 3

2 4

15.①②⑤

三、解答题

? ? ? ? ? cos 2 x sin ? sin 2 x cos ? cos 2 x sin ? cos 2 x 3 3 3 3 ? ? sin 2 x ? cos 2 x ? 2 sin(2 x ? ) 4 2? ?? . 所以, f ( x ) 的最小正周期 T ? 2 ? ? ? ? (2 ) 因 为 f ( x ) 在 区 间 [ ? , ] 上 是 增 函 数 , 在 区 间 [ , ] 上 是 减 函 数 , 又 4 8 8 4 ? ? ? ? ? f (? ) ? ?1 , f ( ) ? 2, f ( ) ? 1 ,故函数 f ( x) 在区间 [ ? , ] 上的最大值为 2 , 8 4 4 4 4
16.解: f (x)= sin 2 x cos
最小值为 ?1 .

17. 解: (1) 设 f ( x) 图像 上任一 点坐标为 ( x, y ) , 点 ( x , y )关于点 A(0,1) 的 对称点
(? x, 2 ? y) 在 h( x) 上,
∴ 2 ? y ? ?x ? 即 f ( x) ? x ?

1 1 ? 2 ,∴ y ? x ? ?x x

1 x a ?1 x

(2) 由题意 g ( x ) ? x ? 且 g ( x) ? x ? ∵ x ? (0, 2]
2

a ?1 ≥6, x ? (0, 2] x
∴ a ? 1 ≥ x(6 ? x) ,

即 a ≥ ?x ? 6x ?1 令 q( x) ? ? x ? 6 x ? 1, x ? (0, 2]
2

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∴ q( x)max ? q(2) ? 7
[来源:学科网 ZXXK]



a ≥7

? ? 18.解:(1)证明:由 b sin( ? C ) ? c sin( ? B) ? a 及正弦定理得: 4 4 ? ? sin B sin( ? C ) ? sin C sin( ? B) ? sin A , 4 4
[来源:Z&xx&k.Com]

即 sin B(

2 2 2 2 2 sin C ? sin C ) ? sin C ( sin B ? sin B) ? 2 2 2 2 2
3? 4

整理得: sin B cos C ? cos B sin C ? 1 ,所以 sin( B ? C ) ? 1 ,又 0 ? B, C ? 所以 B ? C ?

?
2

(2) 由(1)及 B ? C ?

3? 5? ? ? , C ? ,又 A ? , a ? 2 可得 B ? 4 8 8 4 a sin B 5? a sin C ? ? 2sin ,c ? ? 2sin , 所以 b ? sin A 8 sin A 8
以 三 角 形 ABC 的 面 积



1 5? ? ? ? 2 ? 1 ? bc sin A ? 2 sin sin ? 2 sin cos ? sin ? 2 8 8 8 8 2 4 2

19.解:⑴ f ' ( x) ? 3x2 ? x ? b ,由已知 f ' ( x) ? 0 有解
∴ ? ? 1 ? 12b ≥0,故 b ≤

1 12
2
[来源:学|科|网]

(2) 由题意 x ? 1 是方程 3x ? x ? b ? 0 的一个根,设另一个根为 x0 ,

1 ? 2 ? ? x0 ? 1 ? 3 ? ?x ? ? 则? ,? ? 0 3 ? x ?1 ? b ? b ? ?2 ? ? 0 3 ?
1 ? f ( x ) ? x 3 ? x 2 ? 2 x ? c, f / ( x ) ? 3 x 2 ? x ? 2 2 2 2 / / 当 x ? ( ?1, ? ) 时, f ( x) ? 0 ;当 x ? (? ,1) 时, f ( x) ? 0 ; 3 3
当 x ? (1, 2) 时, f ( x) ? 0 ,
/

[来源:Z.xx.k.Com]

∴ 当x??

2 22 ?c; 时, f ( x ) 有极大值 3 27 1 又 f ( ?1) ? ? c , f (2) ? 2 ? c , 2

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即当 x ??1, 2? 时, f ( x ) 的最大值为 f (2) ? 2 ? c ∵ 对 x ??1, 2? 时, f ( x) ? c2 恒成立, ∴ c ≥ 2 ? c ,∴
2

c ≤-1,或 c ≥2.

故 c 的取值范围是 (??, ?1] ? [2, ??)

20.解:函数的定义域为 [0, ?) , ?
f ?( x) ? x ? x ? a 3x ? a ( x ? 0 ). ? 2 x 2 x

若 a ≤ 0 ,则 f ?( x) ? 0 ,

f ( x) 有单调递增区间 [0, ?) . ?
若 a ? 0 ,令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? 当0 ? x ? 当x?

a , 3

a 时, f ?( x) ? 0 , 3

a 时, f ?( x) ? 0 . 3

?a ? ? a? f ( x) 有单调递减区间 ?0, ? ,单调递增区间 ? , ? ? . ? ?3 ? ? 3?
2] (Ⅱ)解:(i)若 a ≤ 0 , f ( x ) 在 [0, 上单调递增,
所以 g (a) ? f (0) ? 0 . 若 0 ? a ? 6 , f ( x ) 在 ?0, ? 上单调递减,在 ? ,? 上单调递增, 2

? a? ? 3?

?a ? ?3 ?

所以 g (a) ? f ?

2a a ?a? . ??? 3 3 ?3?

2] 若 a ≥ 6 , f ( x ) 在 [0, 上单调递减,
所以 g (a) ? f (2) ? 2(2 ? a) .

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a ≤ 0, ?0, ? ? 2a a 综上所述, g (a ) ? ?? , 0 ? a ? 6, 3 3 ? ? 2(2 ? a), a ≥ 6. ?
(ii)令 ?6 ≤ g (a) ≤ ?2 . 若 a ≤ 0 ,无解. 若 0 ? a ? 6 ,解得 3 ≤ a ? 6 . 若 a ≥ 6 ,解得 6 ≤ a ≤ 2 ? 3 2 . 故 a 的取值范围为 3 ≤ a ≤ 2 ? 3 2 .

21.解:⑴ 因为 x ? 0 ,所以当 p ? 1 时, f ( x) ≤ kx 恒成立
则 1 ? ln x ≤ kx ,∴ k ≥ 令 h( x ) ?

1 ? ln x ,则 k ≥ h( x)max , x ln x ' ' 因为 h ( x) ? ? 2 ,由 h ( x) ? 0 得 x ? 1 x
且当 x ? (0,1) 时, h' ( x) ? 0 ;当 x ? (1, ??) 时, h' ( x) ? 0 所以 h( x)max ? h(1) ? 1 故 k ≥1 (2) 由⑴知当 k ? 1 时,有 f ( x ) ≤ x ,当 x ? 1 时, f ( x) ? x 即 ln x ? x ? 1 ,令 x ? 即 ln(n ? 1) ? ln n ?

1 ? ln x , x

n ?1 n ?1 1 ? , ,构造函数 ln n n n

1 , n 2 1 3 1 n ?1 1 ? , 所以 ln ? , ln ? ,…, ln 1 1 2 2 n n 2 3 n ?1 1 1 ? 1 ? ? ... ? , 相加得 ln ? ln ? ... ? ln 1 2 n 2 n 2 3 n ?1 2 3 n ?1 ? ln( ? ? ... ? ) ? ln( n ? 1) 而 ln ? ln ? ... ? ln 1 2 n 1 2 n 1 1 1 ? 所以 ln(n ? 1) ? 1 ? ? ? .... ? ( n ? N ) 2 3 n

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