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高三人教版数学(理)一轮复习课时作业 第二章 函数、导数及其应用 第一节 (183)


课时作业
一、选择题 1.已知抛物线 y2=2px(p>0)的焦点为 F,点 P1(x1,y1)、P2(x2,y2)、P3(x3,y3)在抛 物线上,且 2x2=x1+x3,则有 ( A.|FP1|+|FP2|=|FP3| B.|FP1|2+|FP2|2=|FP3|2 C.2|FP2|=|FP1|+|FP3| D.|FP2|2=|FP1|·|FP3| C p [抛

物线的准线方程为 x=-2, )

p 由定义得|FP1|=x1+2, p p |FP2|=x2+2,|FP3|=x3+2, p p 则|FP1|+|FP3|=x1+2+x3+2=x1+x3+p, 2|FP2|=2x2+p, 由 2x2=x1+x3 得 2|FP2|=|FP1|+|FP3|.] 2.(2013· 课标全国Ⅰ高考)O 为坐标原点,F 为抛物线 C:y2=4 2x 的焦点,P 为 C 上一点,若|PF|=4 2,则△POF 的面积为 ( A.2 C.2 3 C B.2 2 D.4 )

[利用|PF|=xp+ 2=4 2,可得 xp=3 2.

1 ∴yp=± 2 6.∴S△POF=2|OF|·|yp|=2 3. 故选 C.] 3.已知过抛物线 y2=6x 焦点的弦长为 12,则此弦所在直线的倾斜角是( π 5π A. 6 或 6 π 3π B. 4 或 4 )

π 2π C. 3 或 3 B [由焦点弦长公式|AB|=

π D. 2 2p 6 =12, 2 得 sin θ sin2θ

π 3π 2 所以 sin θ= 2 ,所以 θ= 4 或 4 .] 4.(2013· 课标全国Ⅱ高考)设抛物线 C:y2=4x 的焦点为 F,直线 l 过 F 且与 C 交 于 A,B 两点.若|AF|=3|BF|,则 l 的方程为 ( A.y=x-1 或 y=-x+1 3 3 B.y= 3 (x-1)或 y=- 3 (x-1) C.y= 3(x-1)或 y=- 3(x-1) 2 2 D.y= 2 (x-1)或 y=- 2 (x-1) C [由题意可得抛物线焦点 F(1,0),准线方程为 x=-1.当直线 l 的斜率大于 )

0 时,如图所示,过 A,B 两点分别向准线 x=-1 作垂线,垂足分别为 M,N, 则由抛物线定义可得,|AM|=|AF|,|BN|=|BF|.

设|AM|=|AF|=3t(t>0),|BN|=|BF|=t,|BK|=x, 而|GF|=2, |NB| |BK| t x 在△AMK 中,由|AM|=|AK|,得3t= , x+4t |NB| t 1 解得 x=2t,则 cos∠NBK=|BK|=x=2, ∴∠NBK=60°,则∠GFK=60°, 即直线 AB 的倾斜角为 60°. ∴斜率 k=tan 60°= 3,故直线方程为 y= 3(x-1).

当直线 l 的斜率小于 0 时,如图所示,同理可得直线方程为 y=- 3(x-1),故 选 C.]

5.(2014· 湖北模拟)已知直线 y=k(x-m)与抛物线 y2=2px(p>0)交于 A、B 两点, 且 OA⊥OB,OD⊥AB 于 D.若动点 D 的坐标满足方程 x2+y2-4x=0,则 m= ( A.1 C.3 B.2 D.4 )

D [设点 D(a,b),则由 OD⊥AB 于 D, b 1 ? ? =- , km k 得?a 则 b=- ,a=-bk; 1+k2 ? ?b=k(a-m), 又动点 D 的坐标满足方程 x2+y2-4x=0, 即 a2+b2-4a=0,将 a=-bk 代入上式, 得 b2k2+b2+4bk=0, k3m km 即 bk +b+4k=0,- +4k=0, 2- 1+k 1+k2
2

又 k≠0,则(1+k2)(4-m)=0,因此 m=4.] 二、填空题 1 6.(2014· 甘肃天水调研)已知 P 为抛物线 y=4x2 上的动点,点 P 在 x 轴上的射影为 M,点 A 的坐标是(2,0),则|PA|+|PM|的最小值是________. 解析 1 如图,抛物线 y=4x2,即 x2=4y 的焦点为 F(0,1),记点 P 在抛物线的

准线 l:y=-1 上的投影为 P′,根据抛物线的定义知,|PP′|=|PF|,则|PP′|+|PA| = |PF| + |PA|≥ |AF|= 22+(-1)2 = 5 ,所以 (|PA| + |PM|)min = (|PA| + |PP′| - 1)min= 5-1. 答案 5-1

7.(2014· 辽宁大连一模)已知直线 l 与抛物线 y2=8x 交于 A,B 两点,且 l 经过抛 物线的焦点 F, A 点的坐标为(8, 8), 则线段 AB 的中点到准线的距离是________. 解析 由 y2=8x 知 2p=8,∴p=4,

则点 F 的坐标为(2,0). 由题设可知,直线 l 的斜率存在, 设 l 的方程为 y=k(x-2),点 A,B 的坐标分别为(xA,yA),(xB,yB). 又点 A(8,8)在直线 l 上, 4 ∴8=k(8-2),解得 k=3. 4 ∴直线 l 的方程为 y=3(x-2).① 将①代入 y2=8x,整理得 2x2-17x+8=0, 17 则 xA+xB= 2 , ∴线段 AB 的中点到准线的距离是 xA+xB p 17 25 + = + 2 = 2 2 4 4. 答案 25 4

8.(2013· 浙江高考)设 F 为抛物线 C:y2=4x 的焦点,过点 P(-1,0)的直线 l 交抛 物线 C 于 A,B 两点,点 Q 为线段 AB 的中点.若|FQ|=2,则直线 l 的斜率等 于________. 解析 解法一:注意到|FQ|=2,正好是抛物线通径的一半,所以点 Q 为通径

的一个端点,其坐标为(1,± 2),这时 A,B,Q 三点重合,直线 l 的斜率为± 1. 解法二:令直线 l 的方程为 x=ty-1, ?x=ty-1 由? 2 得 y2-4ty+4=0, ?y =4x 设 A(x1y1),B(x2,y2), 则 y1+y2=4t,y1y2=4,x1+x2=4t2-2, 所以 xQ=2t2-1,yQ=2t,|FQ|2=(xQ-1)2+y2 Q=4, 代入解得,t=± 1 或 t=0(舍去),即直线 l 的斜率为± 1. 答案 ± 1

三、解答题 9.已知过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点,斜率为 2 2的直线交抛物线于 A(x1,y1), B(x2,y2)(x1<x1)两点,且|AB|=9. (1)求该抛物线的方程; (2)O 为坐标原点,C 为抛物线上一点,若 OC―→=OA― →+λ OB―→,求 λ 的值. 解析 ? p? (1)直线 AB 的方程是 y=2 2?x-2?,与 y2=2px 联立, ? ?

5p 从而有 4x2-5px+p2=0,所以 x1+x2= 4 . 由抛物线定义得|AB|=x1+x2+p=9, 所以 p=4,从而抛物线方程是 y2=8x. (2)由 p=4,4x2-5px+p2=0 可简化为 x2-5x+4=0, 从而 x1=1,x2=4,y1=-2 2,y2=4 2, 从而 A(1,-2 2),B(4,4 2). 设 OC―→=(x3,y3)=(1,-2 2)+λ(4,4 2) =(4λ+1,4 2λ-2 2),
2 又 y2 3=8x3,即[2 2(2λ-1)] =8(4λ+1),

即(2λ-1)2=4λ+1, 解得 λ=0 或 λ=2. 10.(2014· 杭州质检)已知抛物线 C:y2=2px(p>0)和⊙M:x2+y2-8x+12=0,过 抛物线 C 上一点 P(x0,y0)(y0≥0)作两条直线与⊙M 相切于 A,B 两点,圆心 M 9 到抛物线准线的距离为2. (1)求抛物线 C 的方程; (2)当 P 点坐标为(2,2)时,求直线 AB 的方程; 1 (3)设切线 PA 与 PB 的斜率分别为 k1,k2,且 k1·k2=2,求点 P(x0,y0)的坐标.

解析

p 9 (1)由题意知 4+2=2?p=1,

所以抛物线 C 的方程为 y2=2x. (2)设 P(2,2),因为 P,A,B,M 四点共圆,所以确定圆的方程为(x-4)(x-2) +(y-2)(y-0)=0, ①

又⊙M:x2-8x+y2+12=0, ② 又由①-②得直线 AB 的方程为 x-y-2=0. 注:观察得到切点(2,0)和(4,2),写出 AB 方程也可. (3)设过点 P 的直线 l 方程为 y-y0=k(x-x0),由于⊙M 与直线 l 相切,得 |4k+y0-kx0| =2,整理得 1+k2
2 (x0 -8x0+12)k2+[2y0(4-x0)]k+y2 0-4=0,

y2 1 0-4 ∴k1·k2= 2 =2,即 x2 0-12x0+20=0, x0-8x0+12 所以 x0=2 或 x0=10,经检验得点 P 坐标为(10,2 5).


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