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数学-淮安市2014届高三5月信息卷数学试题Word版含答案


淮安市 2013—2014 学年度高三年级 5 月信息卷
2014.5

数学Ⅰ试题
注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共 4 页,包含填空题(第 1 题——第 14 题) 、解答题(第 15 题——第 20 题) 。本卷 满分 160 分,考试时间为 120 分钟。考试结束后,请将本卷和答

题卡一并交回。 2.答题前, 请您务必将自己的姓名、 准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题 卡的规定位置。 3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答,在其他位置作答一律无效。作答必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔。请注意字体工整,笔迹清楚。 4.请保持答题卡卡面清洁,不要折叠、破损。 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位 ...... 置上 . .. 1.已知集合 A ? {x | 0 ? x ? 7} ,则 A 2.函数 y ? sin 2 x ? 1 的最小正周期为 Z= ▲ ▲ . ▲ . .

( 1 ? i )z 为纯虚数,则 z = 3.已知复数 z ? m ? i (m ? R , i 为虚数单位 ) ,若

4.在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 x2 ? 2 py( p ? 0) 上纵 坐标为 2 的一点到焦点的距离为 3,则抛物线的焦点坐标 为 ▲ .

5.在如图所示的算法流程图中,若输入 m=4,n=3,则输 出的 a= ▲ .

6.在一个样本的频率分布直方图中,共有 5 个小矩形,若 中间一个小矩形的面积等于其他 4 个小矩形的面积和的

1 ,且中间一组的频数为 25,则样本容量为 3
7.棱长为 2 的正四面体的外接球半径为 ▲

▲ .



第 5 题图

8.若关于 x 的方程 3 sin x ? cos x ? k 在区间 ? 0, 取值范围为 ▲ .
1

? ?? 上有两个不同的实数解,则实数 k 的 ? 2? ?

9. 已知集合 A ? 的概率为 ▲

?? x, y ? | x


2

则从 A 中任选一个元素 ? x, y ? 满足 x ? y≥1 ? y2 ≤ 2, x ? Z, y ? Z? ,

10.已知直线 l : 2mx ? (1 ? m2 ) y ? 4m ? 4 ? 0 ,若对任意 m ? R ,直线 l 与一定圆相切, 则该定圆方程为 ▲ . ▲ .

x 11.已知函数 f ? x ? ? 2 ? 1 |的定义域和值域都是 ?a, b??b ? a ? ,则 a ? b =

12.在 ?ABC 中, ?C ? 90 , CA ? 3 , CB ? 4 ,若点 M 满足 AM ? ? MB ,且 CM ? CA ? 18 , 则 cos ?MCA = ▲ .

1 ? 2x ? 1 ,x ? ? 2 ? ? x 2 13 . 已 知 函 数 f ( x) ? ? , g ( x) ? x 2 ? 4 x ? 4 . 若 存 在 a ? R 使 得 ?ln( x ? 3 ), x ≥ - 1 ? ? 2 2
b 的取值范围是 f ( a)? g ( b? ) ,则实数 0
▲ .

14. 已 知 数 列 ?an ? 是 各 项 均 不 为 0 的 等 差 数 列 , Sn 为 其 前 n 项 和 , 且 满 足

an2 ? S2n?1 ? n ? N ? ? .若不等式
最大值为 ▲ .

?
an ?1



n ? 8 ? (?1)n 对任意的 n ? N ? 恒成立,则实数 ? 的 n

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域 内作答,解答时应写出文 ....... 字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分) 在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 cos A ? cos C ? 1 . sin A sin C sin B (1)求证: 0 ? B ≤

?
3



(2)若 sin B ? 7 ,且 BA ? BC ? 3 ,求 BC ? BA 的值. 2 4

16.(本小题满分 14 分) 在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB=AA1,D、E 分别是棱 A1B1、AA1 A1 的中点,点 F 在棱 AB 上,且 AB ? 4AF . (1)求证:EF∥平面 BDC1; E
2

C1 D B1

C A F B 第 16 题图

(2)求证: BC1 ? 平面 B1CE .

17.(本小题满分 14 分) 某小区想利用一矩形空地 ABCD 建市民健身广场,设计时决定保留空地边上的一水塘
AB ? 40m , (如图中阴影部分) , 水塘可近似看作一个等腰直角三角形, 其中 AD ? 60m ,

且 ?EFG 中, ?EGF ? 90 ,经测量得到 AE ? 10m, EF ? 20m .为保证安全同时考虑美 观, 健身广场周围准备加设一个保护栏. 设计时经过点 G 作一直线交 AB, DF 于 M , N , 从 而 得 到 五 边 形 MBCDN 的 市 民 健 身 广 场 , 设 A
DN ? x(m) .

E G

F

N

D

(1)将五边形 MBCDN 的面积 y 表示为 x 的函数; (2)当 x 为何值时,市民健身广场的面积最大?并 求出最大面积.

M

B 第 17 题图

C

18. (本小题满分 16 分) 在平面直角坐标系 xoy 中,已知椭圆的焦点在 x 轴上,离心率为 (1)求椭圆的标准方程; (2) 以椭圆的长轴为直径作圆 O ,设 T 为圆 O 上不在坐标轴上的任意一点, M 为 x 轴 上一点, 过圆心 O 作直线 TM 的垂线交椭圆右准线于点 Q . 问: 直线 TQ 能否与圆 O 总相切,如果能,求出点 M 的坐标;如果不能,说明理由.
5 ,且经过点 ? 0, 2 ? . 3

3

19. (本小题满分 16 分)
a1 ? a2 ? a3 ? 如果数列 ?an ? 满足: ? an ? 0 且 a1 ? a2 ? a3 ?

? an ? 1? n ≥ 3, n ? N * ? ,

则称数列 ?an ? 为 n 阶“归化数列” . (1)若某 4 阶“归化数列” ?an ? 是等比数列,写出该数列的各项; (2)若某 11 阶“归化数列” ?an ? 是等差数列,求该数列的通项公式;

1 1 (3)若 ?an ? 为 n 阶“归化数列” ,求证: a1 ? a2 ? a3 ? 2 3

1 1 1 . ? an ≤ ? n 2 2n

20. (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? ax3 ? x2 ? bx ( a, b ? R) , f ?? x ? 为其导函数,且 x ? 3 时 f ?x ? 有极小值
?9 .

(1)求 f ( x) 的单调递减区间; (2)若 g ( x) ? 2mf ?( x) ? (6m ? 8) x ? 6m ? 1 , h( x) ? mx ,当 m ? 0 时,对于任意 x, g ( x) 和
h( x) 的值至少有一个是正数,求实数 m 的取值范围;

(3)若不等式 f ( x) ? k ( x ln x ?1) ? 6 x ? 4( k 为正整数)对任意正实数 x 恒成立,求 k
/

的最大值.

4

淮安市 2013-2014 学年度高三年级信息卷 数学Ⅱ试题
答题卡指定区域 内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ....... A.[选修 4-1:几何证明选讲] 如图, A, B, C 是⊙O 上的三点, BE 切⊙O 于点 B, D 是 CE 与⊙O 的交点. 若 ?BAC ? 60? ,
BC ? 2 BE ,求证: CD ? 2 ED .

2014.05

21. 【选做题】在 A、B、C、D 四小题中只能选做两题 ,每小题 10 分,共计 20 分.请在 ......

A

O

C

B

B.[选修 4-2:矩阵与变换]
? ?0 已知矩阵 A ? ? ?1 ? ?

D E

第 21(A)题图 1? 3? ? ,求点 M ? ?1,1? 在矩阵 A?1 对应的变换作用下得到的点 M ? 坐标. 2? ? 3? ?

C.[选修 4-4:坐标系与参数方程]

? 3 ? x ? 2 t ? m, 在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程是 ? (t 是参数) , 以原点为极 ?y ? 1 t ? 2
点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,若圆 C 的极坐标方程是 ρ=4cosθ,且直线 l 与 圆 C 相切,求实数 m 的值.

D.[选修 4-5:不等式选讲]
? 1 1 1? 已知 a , b, c 均为正数,证明: a 2 ? b2 ? c 2 ? ? ? ? ? ≥ 6 3 . ?a b c?
2

5

【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.请在答题卡指定区域 内作答,解 ....... 答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22. (本小题满分 10 分) 某超市在节日期间进行有奖促销,规定凡在该超市购物满 400 元的顾客,均可获得一 次摸奖机会.摸奖规则如下: 奖盒中放有除颜色不同外其余完全相同的 4 个球(红、黄、黑、白) .顾客不放回的每 次摸出 1 个球,若摸到黑球则摸奖停止,否则就继续摸球.按规定摸到红球奖励 20 元,摸 到白球或黄球奖励 10 元,摸到黑球不奖励. (1)求 1 名顾客摸球 2 次摸奖停止的概率; (2)记 X 为 1 名顾客摸奖获得的奖金数额,求随机变量 X 的分布列和数学期望.

23. (本小题满分 10 分) (1)已知 a ? 1, b ? 1 ,求证: a ? b ? 1 ? ab ; (2)已知 x1 , x2 ,?, xn ? R ? ,且 x1 x2 ? xn ? 1 , 求证: ( 2 ? x1 )( 2 ? x2 )

( 2 ? xn ) ≥ ( 2 ? 1)n .

6

淮安市 2013-2014 学年度高三年级信息卷 数学参考答案与评分标准 数学Ⅰ
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1. ? 1,2? 2. 2? 3.
2

4.

? 0,1?

5.12

6.100

7.

3 2

8.

[ 3,1)
2 2 3 13 1 9. 10. 11. 1 12 . 13. ? ?1,5? 14. ?21 ? x ? 2? ? ? y ? 2? ? 4 13 3 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15





1







c A? s A
所 以

C? o C i

A

C? s C A nC

A?s
, 由

A ?cC i Bo ? ? A sC A C i
正 弦 定 理

n ( s ????? 2分 B n
可 得 ,
b 2 ? ac

c s

)

o

sin A sin C ? sin 2 B

??????????????????4 分 因为 b2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ≥ 2ac ? 2ac cos B , 所 以

c

B≥

1 2

o

, s



0 ? B≤

?
3

???????????????????????????6 分
2 (2)因为 sin B ? 7 ,且 b ? ac ,所以 B 不是最大角, 4





cosB ? 1 ? sin 2 B ? 1 ? 7 ? 3 .???????????????????????? 8 16 4

c ?2, 所以 3 ? BA ? BC ? cacosB ? 3 ac , 得a 因而 b 2 ? 2 . ??????????????? 2 4

10 分 由 余 弦 定 理 得
b2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B







a 2 ? c 2 ? 5 .????????????????12 分

所以 BC ? BA ? a 2 ? c2 ? 2BC ? BA ? a 2 ? c2 ? 2ac cos B ? 8 即

2

BC ? BA ? 2 2 ????????????????????????????????
14 分
7

16. (1)证明:取 AB 的中点 M,因为 AB ? 4AF ,所以 F 为 AM 的中点, 又因为 E 为 AA1 的中点,所以 EF / / A1M ,??????2 分
E C A1 D

C1

B1

在正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, D , M 分别为 A1 B1 , AB 的中点,
A B F M

所以 A1D / / BM ,且 A1D ? BM ,则四边形 A1DBM 为平行四边形,

所以 A1M / / BD ,所以 EF / / BD , ???????????????????????? 5分 又因为 BD ? 平面 BC1 D ,EF ? 平面 BC1 D , 所以,EF / / 平面 BC1 D ?????????? 7分 (2)连接 CE, B1E, B1C ,因为在正三角 A1B1C1 中, D 为 A1B1 的中点, 所以, C1D ? A1B1 ,所以,在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中, C1D ? 面 ABB1 A1 , 所以,C1D ? B1E , 因为 AA1 ? AB , 所以, 四边形 ABB1 A1 为正方形, 由 D, E
E C

C1

A1

B1 D

分别为 A1B1 , AA1 的中点,所以,可证得 BD ? B1E ,
A F

B

所以, B1E ? 面 C1 DB ,即 BC1 ? B1E ,????????11 分 又因为在正方形 BB1C1C 中,BC1 ? B1C , 所以 BC1 ? 面 B1CE ,????????????? 14 分 17. (1)作 GH⊥EF,垂足为 H, 因为 DN ? x ,所以 NH ? 40 ? x, NA ? 60 ? x ,因为

NH NA ? , HG AM

40 ? x 60 ? x 600 ? 10x 所以 ,所以 AM ? ??????2 分 ? 10 AM 40 ? x
过 M 作 MT // BC 交 CD 于 T, 则S
MBCDW

A

E

H

F

N

D

G M T

1 ? SMBCT ? SMTDN ? (40 ? AM ) ? 60 ? ( x ? 60) ? AM , 2 600 ? 10 x 1 ( x ? 60)(600 ? 10 x) ) ? 60 ? ? 40 ? x 2 40 ? x
2

B

C

所以 y ? (40 ?

5?60 ? x ? ? 2400? 40 ? x
??7 分

??????????????????????????

8





N



F









AM ? AF ? 30













x ? ? 0,30? ,???????????????8 分


2

2



5?60 ? x ? 400 ? ? y ? 2400? ? 2400? 5??40 ? x ? ? ? 40? ,???????????10 40 ? x 40 ? x ? ?
分 所以当且仅当 40 ? x ? 13 分 所以当 DN ? 20m 时, 得到的市民健身广场面积最大, 最大面积为 2000m 2 . ??????? 14 分

400 , 即 x ? 20 ? ?0,30? 时,y 取得最大值 2000, ????? 40 ? x

x2 y 2 18. (1)设椭圆方程为 2 ? 2 ? 1(a, b ? 0) ,因为经过点 ? 0, 2 ? ,所以, b ? 2 , a b
又因为 e ? 所
c 5 ? ,可令 c ? 5x, a ? 3x ,所以, b2 ? a 2 ? c 2 ? 4 x 2 ? 4 ,即 x ? 1 , a 3



















x2 y 2 ? ? 1 .?????????????????????????6 分 9 4



2









M(

5

,

??????????????????????????????7 分 设点 T ( x0 , y0 ) , M (c, 0) ,因为 T 在以椭圆的长轴为直径作圆 O 上,且不在坐标轴上的任意 点, 所以 x0 y0 ? 0 且 x02 ? y02 ? 9 ,又因为 kTM ? 由 OQ ? TM , 所以,kOQ ? ? 10 分 因为点 Q 在直线 x ? 即
y0 , x0 ? c

x ?c x0 ? c x, , 所以直线 OQ 的方程为 y ? ? 0 y0 y0

???????

9 5( x0 ? c) 9 5 9 5 上,令 x ? ,得 y ? ? , 5 5 5 y0

9

Q(

9 5 9 5( x0 ? c) , ? ), ?????????????????????????????? 5 5 y0

12 分
y0 ? 9 5( x0 ? c) 5 y0
2 5 y0 ? 9 5( x0 ? c)

所以 kTQ ?

9 5 x0 ? 5

?

y0 (5 x0 ? 9 5)

?

5 ? 9 ? x0 2 ? ? 9 5 ? x0 ? c ? y0 5 x0 ? 9 5

?

?



又 kOT ?

y0 , TQ 与圆 O 总相切,故 OT ? TQ ,于是有 kOT ? kTQ ? ?1 , x0

5 9 ? x0 2 ? 9 5 ? x0 ? c ? x x0 ? ? 0 恒成立,解之可得 c ? 5 , kTQ ? ? ,即 y0 y0 y0 5 x0 ? 9 5

?

?

?

?













M(

5

,, 0 使) 得

TQ





O





切.???????????????????16 分 19. (1)设 a1 , a2 , a3 , a4 成公比为 q 的等比数列,显然 q ? 1 ,则由 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? 0 , 得

a1 1 ? q 4 1 ? 0 ,解得 q ? ?1,由 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? 1得 4 a1 ? 1 ,解得 a1 ? ? , 4 1? q

?

?

所 以 数 列

1 1 1 1 1 1 1 1 ,? , ,? 或 ? , ,? , 为 所 求 四 阶 “ 归 化 数 4 4 4 4 4 4 4 4

列” ;?? ?????????4 分 (2)设等差数列 a1 , a2 , a3 , 所 以

, a11 的公差为 d ,由 a1 ? a2 ? a3 ?
1 0 ,0

? a11 ? 0 ,
a1 ? 5d ? 0
, 即

1 ? 1 d 1 a1 ? 1 ? 2





a6 ? 0 ,???????????????6 分
当 d ? 0 时,与归化数列的条件相矛盾, 当 d ? 0 时,由 a1 ? a2 ? 所

1 ? a5 ? ? , a6 ? 0 ,所以 d ? 1 , a1 ? ? 1 , 2 30 6
以 ???????????????????8 分

1 n? n? an ? ? ? ? (n ? N ? n ≤ 6
当 d ? 0 时,由 a1 ? a2 ?

1 3

1 ? a5 ? , a6 ? 0 ,所以 d ? ? 1 , a1 ? 1 , 2 30 6

10

所以 an ?

1 n ?1 n?6 * ? ?? (n∈N ,n≤11) , 6 30 30
d ?0 * (n∈N , n≤11) , ??????????????????? d ?0

? n?6 ? ? 30 所以 an ? ? ?? n ? 6 ? ? 30

10 分 (3)由已知可知,必有 ai>0,也必有 aj<0(i,j∈{1,2,?,n,且 i≠j). 设 ai1 , ai2 , 数. 1 1 由已知得 X= ai1+ai2+?+ail= ,Y= aj1+aj2+?+ajm=- . 2 2 所以 a1 ? 分 20. (1)由 f ?( x) ? 3ax2 ? 2x ? b ,因为函数在 x ? 3 时有极小值 ?9 ,
b? ?2 a ? ? 7 ? ?2 a ? ? 7 b ? ? 6 9 0 从

, ail 为诸 ai 中所有大于 0 的数, a j1 , a j2 ,

, a jm 为诸 ai 中所有小于 0 的

1 1 a2 ? ? ? an ? 2 n

?i
k ?1

l

aik
k

??
k ?1

m

a jk jk

≤ ? aik ?
k ?1

l

1 m 1 1 a jk ? ? .????? 16 ? n k ?1 2 2n







3

而 9



1 a ? , b ? ?3 ,???????????????2 分 3 1 所求的 f ( x) ? x3 ? x2 ? 3x ,所以 f ?( x) ? x 2 ? 2x ? 3 , 3
由 f ??x ? ? 0 解得 ? 1 ? x ? 3 , 所 以
f ( x)

















? ?1,3? ,?????????????????????4 分
(2)由 f ?( x) ? x 2 ? 2x ? 3 ,故 g ( x) ? 2mx2 ? (2m ? 8) x ? 1 , 当 m>0 时, 若 x>0, 则 h( x) ? mx >0, 满足条件; ??????????????? 5分 若

x=0





g(

?0

)>0

1 ,











?????????????????????6 分 若 x<0, g ( x) ? 2m (( x ?

4?m 2 2(4 ? m)2 ) ?1? m m

11

①如果对称轴 x0 ?

4?m ≥0,即 0<m≤4 时, g ( x) 的开口向上, m
???????

故在 ? ??, x0 ? 上单调递减,又 g (0) ? 1 ,所以当 x<0 时, g ( x) >0 8分 ②如果对称轴 x0 ?

4?m <0,即 4<m 时, ? ? (2m ? 8)2 ? 8m ? 0 m

解得 2<m<8,故 4<m <8 时, g ( x) >0; 所以 m 的取值范围为 (0, 8) ; ??????????????????????? 10 分 (3)因为 f / ( x) ? x2 ? 2 x ? 3 ,所以 f / ( x) ? k ( x ln x ?1) ? 6 x ? 4 等价于

k ?1 ? 4 ? k ln x ? 0 , x k ?1 k ? 1 k ( x ? 1)( x ? k ? 1) ? 4 ? k ln x ,则 ? / ( x) ? 1 ? 2 ? ? 记 ? ( x) ? x ? , x x x x2

x2 ? 4x ? 1 ? k ( x ln x ?1) ,即 x ?

由 ? / ( x) ? 0 ,得 x ? k ? 1 , 所以 ? ( x) 在 (0, k ? 1) 上单调递减,在 (k ? 1, ??) 上单调递增, 所 以

? ( x ≥?

?

)

k

?

(

k? , 1

?k )

?????????????????12 分

k ? 1? ) ,0 即 ? ?x ? ? 0 对 任 意 正 实 数 x 恒 成 立 , 等 价 于 k ? 6 ? k l n (
1? 6 ?l n k ( ? 1? ), 0 k 6 6 1 / ?0, 记 m( x) ? 1 ? ? ln( x ? 1) ,则 m ( x) ? ? 2 ? x x x ?1
所以 m( x) 在 (0, ??) 上单调递减,又 m(6) ? 2 ? ln 7 ? 0, m(7) ?

13 ? ln 8 ? 0 , 7
值 为

k 所 以 的 最 大 6 .????????????????????????????16 分

数学Ⅱ
A.因为 BE 切⊙O 于点 B,所以 ?CBE ? ?BAC ? 60? , 因为 BC ? 2BE ,所以 ?BEC ? 90? ,则 EC ? 3BE .

12

又因为 BE 2 ? EC ? ED ,所以 ED ? 所以 CD ?
2 3 BE . 3

3 BE , 3

即 CD ? 2 ED .??????????????????????10 分
? ?0 ?a b? ?1 ?1 B.设 A ? ? ,则 AA ? ? ? ?1 ?c d ? ? ? 1? 3 ? ? a b ? ?1 0? ,所以 ?? ? 2? ? c d? 0 1? ? ? ? ? ? ? 3?

1 1 2 2 c ? 1, d ? 0, a ? c ? 0, b ? d ? 1 ,解得 a ? 2, b ? 1, c ? 3, d ? 0 ,即 3 3 3 3
? 2 1? A?1 ? ? ? .???????????????????5 分 ?3 0 ? ? 2 1? ? ?1? ? ?1? 由? ? ? ? ? ? ? ,知点 M ? ? ?1, ?3? , ?3 0? ? 1 ? ? ?3?

所以新坐标为

M ? ? ?1, ?3? .???????????????????????????10 分
C.由 ? ? 4cos? ,得 ? 2 ? 4? cos? ,所以 x2 ? y 2 ? 4x ,即圆 C 的方程为 ? x ? 2? ? y2 ? 4 ,
2

? 3 x? t ? m, ? ? 2 又由 ? 消 t ,得 x ? 3 y ? m ? 0 ,由直线 l 与圆 C 相切, 1 ? y ? t, ? ? 2 2?m m ? ?2 所 以 , 即 ?2 2



m?6

????????????????????????10 分 D.因为 a,b,c 均为正数, 由均值不等式得 a +b ≥2ab,
2 2

b2+c2≥2bc, a b c

c2+a2≥2ac. ab bc ac

1 1 1 1 1 1 2 2 2 所以 a +b +c ≥ab+bc+ac.同理 2+ 2+ 2≥ + + , 1 1 1 2 3 3 3 2 2 2 故 a +b +c +( + + ) ≥ab+bc+ac+ + + ≥6 3.

a b c

ab bc ac















立.??????????????????????????????10 分 22. (1)设“1 名顾客摸球 2 次停止摸奖”为事件 A,则 P( A) ? 故 1 名 顾 客 摸 球
13
1 A3 1 ? , 2 A4 4

2

















1 .????????????????????4 分 4 (2)随机变量 X 的所有取值为 0,10, 20,30, 40 .

P ( X ? 0) ?

1 P1 1 P2 1 1 , P( X ? 10) ? 22 ? , P( X ? 20) ? 23 ? 2 ? , 4 P4 6 P4 P4 6
1 2 C2 P2 1 ? P43 6

P( X ? 30) ?



P33 1 P( X ? 40) ? 4 ? ,???????????????????8 分 P4 4
所以,随机变量 X 的分布列为:

X
P

0

10

20

30

40

1 4

1 6

1 6

1 6

1 4

1 1 1 1 1 EX ? 0 ? ? 10 ? ? 20 ? ? 30 ? ? 40 ? ? 20 .?????????????????? 4 6 6 6 4

?10 分
1a b 23. (1) 因为 a ? 1, b ? 1 , 所以 ? a ? 1?? b ? 1? ? 0 , 即 a ?b ? ?

; ????????????

2分 (2) 证法一 (数学归纳法) : (ⅰ) 当 n ? 1 时, 2 ? x1 ? 2 ? 1, 不等式成立. ?????? 4分 (ⅱ )假设 n ? k 时 不等式成立, 即 ( 2 ? x1 )( 2 ? x2 ) ???5 分 则 n ? k ? 1 时,若 xk ?1 ? 1 ,则命题成立;若 xk ?1 ? 1 ,则 x1 , x2 ,
, xk 中必存在一个数小于 1,

( 2 ? xk ) ≥ ( 2 ?1)k 成立 .

不妨设这个数为 x k ,从而 ( xk ?1)( xk ?1 ?1) ? 0 ,即 xk ? xk ?1 ? 1 ? xk xk ?1 . xk ?1 ? 1 同理可得, 所以 ( 2 ? x1)( 2 ? x2 )

( 2 ? xk )( 2 ? xk ?1)

? ( 2 ? x1)( 2 ? x2 ) (2 ? 2( xk ? xk ?1) ? xk xk ?1) ≥ ( 2 ? x1 )( 2 ? x2 ) (2 ? 2(1 ? xk xk ?1 ) ? xk xk ?1 )

? ( 2 ? x1)( 2 ? x2 ) ( 2 ? xk xk ?1)( 2 ?1)

14

≥ ( 2 ?1)n ( 2 ?1) ? ( 2 ?1)k ?1.


n ? k ?1















立.???????????????????????????9 分 由 ( ⅰ ) ( ⅱ ) 及 数 学 归 纳 法 原 理 知 原 不 等 式 成 立. ???????????????????10 分 证法二: (恒等展开)左右展开,得

( 2 ? x1 )( 2 ? x2 )
n

( 2 ? xk )

? ( 2)n ? ( 2)n?1 ? xi ? ( 2)n?2
i ?1

1≤i ? j≤n

?

xi x j ?

? ( 2)n?k (

1≤i1 ?i2 ? ?ik ≤n

?

xi1 xi2
1

xik ) ?

? x1 x2

xn

由平均值不等式,得
1 k ?1 k Cn ?1 Cn

1?i1 ?i2 ? ?ik ? n

?

xi1 xi2

xik ≥ C (

k n

1?i1 ?i2 ? ?ik ? n

?

xi1 xi2

xik )

k Cn

? C (( x1 x2
k n

xn )

)

k ? Cn . ??????????????????????????

??8 分 故 ( 2 ? x1)( 2 ? x2 )

( 2 ? xn )
k ? ( 2)n?k Cn ? n ? Cn

1 2 ≥ ( 2)n ? ( 2)n?1Cn ? ( 2)n?2 Cn ?

? ( 2 ? 1)n . ???????????????????????????????
??10 分

15


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