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2016届《步步高》高考数学大一轮总复习(人教新课标文科)配套文档 9.1 直线方程和两直线的位置关系


§ 9.1

直线的方程

1.直线的倾斜角 (1)定义:当直线 l 与 x 轴相交时,取 x 轴作为基准,x 轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角 叫做直线 l 的倾斜角.当直线 l 与 x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为 0° . (2)范围:直线 l 倾斜角的范围是[0,π). 2.斜率公式 (1)若直线 l 的倾斜角 α≠90° ,则斜率 k=tan_α. y2-y1 (2)P1(x1,y1),P2(x2,y2)在直线 l 上,且 x1≠x2,则 l 的斜率 k= . x2-x1 3.直线方程的五种形式 名称 点斜式 斜截式 两点式 截距式 一般式 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置.( √
-1-

方程 y-y0=k(x-x0) y=kx+b y-y1 x-x1 = y2-y1 x2-x1 x y + =1 a b Ax+By+C=0,(A2+B2≠0)

适用范围 不含直线 x=x0 不含垂直于 x 轴的直线 不含直线 x=x1 (x1≠x2)和直线 y=y1 (y1≠y2) 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 平面直角坐标系内的直线都适用

)

(2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率.( × (3)直线的倾斜角越大,其斜率就越大.( × (4)直线的斜率为 tan α,则其倾斜角为 α.( × ) ) )

)

(5)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等.( ×

(6)经过定点 A(0,b)的直线都可以用方程 y=kx+b 表示.( × x y (7)不经过原点的直线都可以用 + =1 表示.( × a b )

)

(8)经过任意两个不同的点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线都可以用方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2 -y1)表示.( √ )

1.直线 3x-y+a=0 的倾斜角为( A.30° C.150° 答案 B

)

B.60° D.120°

解析 化直线方程为 y= 3x+a,∴k=tan α= 3. ∵0° ≤α<180° ,∴α=60° . 2.如果 A· C<0,且 B· C<0,那么直线 Ax+By+C=0 不通过( A.第一象限 C.第三象限 答案 C C C 解析 由已知得直线 Ax+By+C=0 在 x 轴上的截距- >0,在 y 轴上的截距- >0,故直线 A B 经过一、二、四象限,不经过第三象限. 3.已知 A(3,5),B(4,7),C(-1,x)三点共线,则 x=______. 答案 -3 解析 ∵A、B、C 三点共线,∴kAB=kAC. ∴ 7-5 x-5 = ,∴x=-3. 4-3 -1-3 B.第二象限 D.第四象限 )

4.直线 l 经过 A(2,1),B(1,m2)(m∈R)两点,则直线 l 的倾斜角的取值范围为____________. π? ?π ? 答案 ? ?0,4?∪?2,π? m2-1 解析 直线 l 的斜率 k= =1-m2≤1. 1-2 若 l 的倾斜角为 α,则 tan α≤1.

-2-

π? ?π ? 又∵α∈[0,π),∴α∈? ?0,4?∪?2,π?.

题型一 直线的倾斜角与斜率 例 1 经过 P(0,-1)作直线 l,若直线 l 与连接 A(1,-2),B(2,1)的线段总有公共点,则直线 l 的斜率 k 和倾斜角 α 的取值范围分别为________,________. 思维点拨 注意倾斜角是锐角还是钝角. 答案 [-1,1] π 3π [0, ]∪[ ,π) 4 4

解析 如图所示, 结合图形: 为使 l 与线段 AB 总有公共点, 则 kPA≤k≤kPB, 而 kPB>0,kPA<0,故 k<0 时,倾斜角 α 为钝角,k=0 时,α=0,k>0 时,α 为锐角. 又 kPA= kPB= -2-?-1? =-1, 1-0

-1-1 =1,∴-1≤k≤1. 0-2

π 又当 0≤k≤1 时,0≤α≤ ; 4 3π 当-1≤k<0 时, ≤α<π. 4 π 3π 故倾斜角 α 的取值范围为 α∈[0, ]∪[ ,π). 4 4 思维升华 直线倾斜角的范围是[0,π),而这个区间不是正切函数的单调区间,因此根据斜率 π? ?π ? 求倾斜角的范围时,要分 ? ?0,2? 与 ?2,π? 两种情况讨论.由正切函数图象可以看出,当 π? π ?π ? α∈? ?0,2?时,斜率 k∈[0,+∞);当 α=2时,斜率不存在;当 α∈?2,π?时,斜率 k∈(-∞, 0). (1)若直线 l 与直线 y=1,x=7 分别交于点 P,Q,且线段 PQ 的中点坐标为(1, -1),则直线 l 的斜率为( 1 1 3 A. B.- C.- 3 3 2 2 D. 3 ) )

(2)直线 xcos α+ 3y+2=0 的倾斜角的范围是( π π? ?π 5π? A.? ?6,2?∪?2, 6 ? 5π 0, ? C.? 6? ?

π 5π 0, ?∪? ,π? B.? ? 6? ? 6 ? π 5π? D.? 6 ? ,6?
-3-

答案 (1)B (2)B 解析 (1)依题意,设点 P(a,1),Q(7,b),
?a+7=2 ? 则有? ,解得 a=-5,b=-3, ?b+1=-2 ?

-3-1 1 从而可知直线 l 的斜率为 =- . 3 7+5 (2)由 xcos α+ 3y+2=0 得直线斜率 k=- ∵-1≤cos α≤1,∴- 3 3 ≤k≤ . 3 3 3 3 ≤tan θ≤ . 3 3 3 cos α. 3

设直线的倾斜角为 θ,则-

π π 0, ?∪? ,π?上的图象可知, 结合正切函数在? ? 2? ?2 ? π 5π 0≤θ≤ 或 ≤θ<π. 6 6 题型二 求直线的方程 例 2 根据所给条件求直线的方程: (1)直线过点(-4,0),倾斜角的正弦值为 10 ; 10

(2)直线过点(-3,4),且在两坐标轴上的截距之和为 12; (3)直线过点(5,10),且到原点的距离为 5. 解 (1)由题设知,该直线的斜率存在,故可采用点斜式. 设倾斜角为 α,则 sin α= 10 (0<α<π), 10

3 10 1 从而 cos α=± ,则 k=tan α=± . 10 3 1 故所求直线方程为 y=± (x+4). 3 即 x+3y+4=0 或 x-3y+4=0. x y (2)由题设知截距不为 0,设直线方程为 + =1, a 12-a 又直线过点(-3,4), -3 4 从而 + =1,解得 a=-4 或 a=9. a 12-a 故所求直线方程为 4x-y+16=0 或 x+3y-9=0. (3)当斜率不存在时,所求直线方程为 x-5=0; 当斜率存在时,设其为 k,

-4-

则所求直线方程为 y-10=k(x-5), 即 kx-y+(10-5k)=0. |10-5k| 3 由点线距离公式,得 2 =5,解得 k= . 4 k +1 故所求直线方程为 3x-4y+25=0. 综上知,所求直线方程为 x-5=0 或 3x-4y+25=0. 思维升华 在求直线方程时,应先选择适当的直线方程的形式,并注意各种形式的适用条

件.用斜截式及点斜式时,直线的斜率必须存在,而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线, 截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线.故在解题时,若采用截距式,应注意分类 讨论,判断截距是否为零;若采用点斜式,应先考虑斜率不存在的情况. 已知点 A(3,4),求满足下列条件的直线方程: (1)经过点 A 且在两坐标轴上截距相等; (2)经过点 A 且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形. 解 (1)设直线在 x,y 轴上的截距均为 a. ①若 a=0,即直线过点(0,0)及(3,4). 4 ∴直线的方程为 y= x,即 4x-3y=0. 3 x y ②若 a≠0,设所求直线的方程为 + =1, a a 3 4 又点(3,4)在直线上,∴ + =1,∴a=7. a a ∴直线的方程为 x+y-7=0. 综合①②可知所求直线的方程为 4x-3y=0 或 x+y-7=0. (2)由题意可知,所求直线的斜率为± 1. 又过点(3,4),由点斜式得 y-4=± (x-3). 所求直线的方程为 x-y+1=0 或 x+y-7=0. 题型三 直线方程的综合应用 例 3 已知直线 l 过点 P(3,2),且与 x 轴、y 轴的正半轴分别交于 A、B 两点,如图所示,求△ABO 的面积的最小值及此时直线 l 的方程. 思维点拨 先设出 AB 所在的直线方程,再求出 A,B 两点的坐标,表示 出△ABO 的面积,然后利用相关的数学知识求最值. x y 解 方法一 设直线方程为 + =1 (a>0,b>0), a b 3 2 点 P(3,2)代入得 + =1≥2 a b 6 ,得 ab≥24, ab

1 3 2 b 2 从而 S△AOB= ab≥12,当且仅当 = 时等号成立,这时 k=- =- ,从而所求直线方程为 2 a b a 3
-5-

2x+3y-12=0. 方法二 依题意知,直线 l 的斜率 k 存在且 k<0. 则直线 l 的方程为 y-2=k(x-3) (k<0), 2 ? 且有 A? ?3-k,0?,B(0,2-3k), 2? 1 ∴S△ABO= (2-3k)? ?3-k? 2 4 1 = ?12+?-9k?+?-k?? 2? ? 1? ≥ ?12+2 2? 4 ? ?-9k?· ? ?-k??

1 = ×(12+12)=12. 2 当且仅当-9k= 4 2 ,即 k=- 时,等号成立. 3 -k

即△ABO 的面积的最小值为 12. 故所求直线的方程为 2x+3y-12=0. 思维升华 直线方程综合问题的两大类型及解法 (1)与函数相结合的问题:解决这类问题,一般是利用直线方程中的 x,y 的关系,将问题转化 为关于 x(或 y)的函数,借助函数的性质解决. (2)与方程、不等式相结合的问题:一般是利用方程、不等式的有关知识(如方程解的个数、根 的存在性问题,不等式的性质、基本不等式等)来解决. 已知直线 l:kx-y+1+2k=0(k∈R). (1)证明:直线 l 过定点; (2)若直线不经过第四象限,求 k 的取值范围; (3)若直线 l 交 x 轴负半轴于 A,交 y 轴正半轴于 B,△AOB 的面积为 S(O 为坐标原点),求 S 的最小值并求此时直线 l 的方程. (1)证明 直线 l 的方程是 k(x+2)+(1-y)=0,
? ? ?x+2=0, ?x=-2, 令? 解得? ?1-y=0, ?y=1, ? ?

∴无论 k 取何值,直线总经过定点(-2,1). (2)解 由方程知,当 k≠0 时直线在 x 轴上的截距为- 1+2k ,在 y 轴上的截距为 1+2k,要使 k

1+2k ? ?- ≤-2, k 直线不经过第四象限,则必须有? 解之得 k>0; ?1+2k≥1, ? 当 k=0 时,直线为 y=1,符合题意,故 k≥0.
-6-

1+2k ? (3)解 由 l 的方程,得 A?- ,0 ,B(0,1+2k). k ? ? 1+2k ? ?- <0, k 依题意得? ? ?1+2k>0, 解得 k>0. 1 1 ?1+2k? ∵S= · |OA|· |OB|= · · |1+2k| 2 2? k ?
2 1 1 ?1+2k? 1? = · = ?4k+k+4? ? 2 k 2

1 ≥ ×(2×2+4)=4, 2 1 1 “=”成立的条件是 k>0 且 4k= ,即 k= , k 2 ∴Smin=4,此时直线 l 的方程为 x-2y+4=0.

求直线方程忽视零截距致误 典例:(12 分)设直线 l 的方程为(a+1)x+y+2-a=0 (a∈R). (1)若 l 在两坐标轴上截距相等,求 l 的方程; (2)若 l 不经过第二象限,求实数 a 的取值范围. 易错分析 本题易错点求直线方程时,漏掉直线过原点的情况. 规范解答 解 (1)当直线过原点时,该直线在 x 轴和 y 轴上的截距为零,∴a=2,方程即为 3x+y=0.[2 分] 当直线不经过原点时,截距存在且均不为 0. ∴ a-2 =a-2,即 a+1=1.[4 分] a+1

∴a=0,方程即为 x+y+2=0.[6 分] (2)将 l 的方程化为 y=-(a+1)x+a-2,
? ? ?-?a+1?>0, ?-?a+1?=0, ∴? 或? ∴a≤-1.[10 分] ?a-2≤0 ?a-2≤0, ? ?

综上可知 a 的取值范围是 a≤-1.[12 分] 温馨提醒 (1)在求与截距有关的直线方程时,注意对直线的截距是否为零进行分类讨论,防

止忽视截距为零的情形,导致产生漏解. (2)常见的与截距问题有关的易误点有:“截距互为相反数”;“一截距是另一截距的几倍”

-7-

等,解决此类问题时,要先考虑零截距情形,注意分类讨论思想的运用.

方法与技巧 直线的倾斜角和斜率的关系: (1)任何直线都存在倾斜角,但并不是任意直线都存在斜率. (2)直线的倾斜角 α 和斜率 k 之间的对应关系: α k 失误与防范 与直线方程的适用条件、截距、斜率有关问题的注意点 (1)明确直线方程各种形式的适用条件 点斜式、斜截式方程适用于不垂直于 x 轴的直线;两点式方程不能表示垂直于 x、y 轴的直线; 截距式方程不能表示垂直于坐标轴和过原点的直线. (2)截距不是距离,距离是非负值,而截距可正可负,可为零,在与截距有关的问题中,要注 意讨论截距是否为零. (3)求直线方程时,若不能断定直线是否具有斜率时,应注意分类讨论,即应对斜率是否存在 加以讨论. 0° 0 0° <α<90° k>0 90° 不存在 90° <α<180° k<0

A 组 专项基础训练 (时间:45 分钟) 1.若方程(2m2+m-3)x+(m2-m)y-4m+1=0 表示一条直线,则参数 m 满足的条件是( 3 A.m≠- 2 C.m≠0 且 m≠1 答案 D
?2m2+m-3=0, ? 解析 由? 2 ?m -m=0, ?

)

B.m≠0 D.m≠1

解得 m=1,

故 m≠1 时方程表示一条直线. π π 2.直线 xsin +ycos =0 的倾斜角 α 是( 7 7 π A.- 7 π B. 7
-8-

)

5π C. 7 答案 D

6π D. 7

π 7 π 6 解析 ∵tan α=- =-tan =tan π, π 7 7 cos 7 sin 6 ∵α∈[0,π),∴α= π. 7 3.直线 x+(a2+1)y+1=0 的倾斜角的取值范围是( π 0, ? A.? ? 4? π π 0, ?∪? ,π? C.? 4 ? ? ?2 ? 答案 B 3π ? 1 解析 ∵直线的斜率 k=- 2 ,∴-1≤k<0,则倾斜角的范围是? ? 4 ,π?. a +1 x y x y 4.两条直线 l1: - =1 和 l2: - =1 在同一直角坐标系中的图象可以是( a b b a ) 3π ? B.? ? 4 ,π? π π? ?3π ? D.? 4 ? ,2?∪? 4 ,π? )

答案 A x y x y 解析 化为截距式 + =1, + =1. a -b b -a 假定 l1,判断 a,b,确定 l2 的位置,知 A 项符合. 5.已知直线 PQ 的斜率为- 3,将直线绕点 P 顺时针旋转 60° 所得的直线的斜率为( A. 3 B.- 3 C.0 D.1+ 3 )

答案 A 解析 直线 PQ 的斜率为- 3, 则直线 PQ 的倾斜角为 120° , 所求直线的倾斜角为 60° , tan 60° = 3. π π? ?2π ? 6.若直线 l 的斜率为 k,倾斜角为 α,而 α∈? ?6,4?∪? 3 ,π?,则 k 的取值范围是__________.

-9-

答案 [- 3,0)∪?

3 ? 3 ? ,1?

π π 3 解析 当 ≤α< 时, ≤tan α<1, 6 4 3 ∴ 3 ≤k<1. 3

2π 当 ≤α<π 时,- 3≤tan α<0. 3 ∴k∈? 3 ? ∪[- 3,0). ? 3 ,1?

7.直线 l:ax+(a+1)y+2=0 的倾斜角大于 45° ,则 a 的取值范围是________________. 1 答案 (-∞,- )∪(0,+∞) 2 解析 当 a=-1 时,直线 l 的倾斜角为 90° ,符合要求; a a a 当 a≠-1 时,直线 l 的斜率为- ,只要- >1 或- <0 即可, a+1 a+1 a+1 1 解得-1<a<- 或 a<-1 或 a>0. 2 1 综上可知,实数 a 的取值范围是(-∞,- )∪(0,+∞). 2 8.若 ab>0,且 A(a,0)、B(0,b)、C(-2,-2)三点共线,则 ab 的最小值为________. 答案 16 -2 x y 解析 根据 A(a,0)、B(0,b)确定直线的方程为 + =1,又 C(-2,-2)在该直线上,故 + a b a -2 =1, b 所以-2(a+b)=ab.又 ab>0,故 a<0,b<0. 根据基本不等式 ab=-2(a+b)≥4 ab,从而 ab≤0(舍去)或 ab≥4,故 ab≥16,当且仅当 a =b=-4 时取等号.即 ab 的最小值为 16. 9.已知直线 l 与两坐标轴围成的三角形的面积为 3,分别求满足下列条件的直线 l 的方程: 1 (1)过定点 A(-3,4);(2)斜率为 . 6 4 解 (1)设直线 l 的方程是 y=k(x+3)+4,它在 x 轴,y 轴上的截距分别是- -3,3k+4, k 4 ? 由已知,得(3k+4)? 6, ?-k -3?=± 2 8 解得 k1=- 或 k2=- . 3 3 故直线 l 的方程为 2x+3y-6=0 或 8x+3y+12=0. (2)设直线 l 在 y 轴上的截距为 b,则直线 l 的方程是

- 10 -

1 y= x+b,它在 x 轴上的截距是-6b, 6 由已知,得|-6b· b|=6,∴b=± 1. ∴直线 l 的方程为 x-6y+6=0 或 x-6y-6=0. 10.如图,射线 OA、OB 分别与 x 轴正半轴成 45° 和 30° 角,过点 P(1,0) 作直线 AB 分别交 OA、OB 于 A、B 两点,当 AB 的中点 C 恰好落在直 1 线 y= x 上时,求直线 AB 的方程. 2 解 由题意可得 kOA=tan 45° =1,kOB=tan(180° -30° )=- 所以直线 lOA:y=x,lOB:y=- 设 A(m,m),B(- 3n,n), 所以 AB 的中点 C? 3 x. 3 3 , 3

?m- 3n m+n?, ? , 2 ? ? 2

1 由点 C 在 y= x 上,且 A、P、B 三点共线得 2 m+n 1 m- 3n ? ? 2 =2· 2 , ?m-0 n-0 ? ?m-1=- 3n-1,

解得 m= 3,所以 A( 3, 3).

又 P(1,0),所以 kAB=kAP= 3+ 3 所以 lAB:y= (x-1), 2

3+ 3 3 = , 2 3-1

即直线 AB 的方程为(3+ 3)x-2y-3- 3=0. B 组 专项能力提升 (时间:15 分钟) 11.若直线 ax+by=ab (a>0,b>0)过点(1,1),则该直线在 x 轴,y 轴上的截距之和的最小值为 ( A.1 C.4 答案 C 解析 ∵直线 ax+by=ab (a>0,b>0)过点(1,1), 1 1 ∴a+b=ab,即 + =1, a b 1 1? b a ∴a+b=(a+b)? ?a+b?=2+a+b≥2+2 ba · =4, ab ) B.2 D.8

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当且仅当 a=b=2 时上式等号成立. ∴直线在 x 轴,y 轴上的截距之和的最小值为 4. 12.过点 P(-2,3)且与两坐标轴围成的三角形面积为 12 的直线共有( A.1 条 C.3 条 答案 C 解析 设过点 P(-2,3)且与两坐标轴围成的三角形面积为 12 的直线的斜率为 k, 则有直线的方 3 ? 程为 y-3=k(x+2), 即 kx-y+2k+3=0, 它与坐标轴的交点分别为 M(0, 2k+3)、 N? ?-2-k,0?. 1 1 3 9 9 9 再由 12= |OM|· |ON|= |2k+3|×|-2- |,可得|4k+ +12|=24,即 4k+ +12=24,或 4k+ 2 2 k k k k -9-6 2 -9+6 2 3 +12=-24.解得 k= 或 k= 或 k= , 2 2 2 故满足条件的直线有 3 条. 13.若直线 l1:y=k(x-6)与直线 l2 关于点(3,1)对称,则直线 l2 恒过定点________. 答案 (0,2) 解析 直线 l1:y=k(x-6)恒过定点(6,0),定点关于点(3,1)对称的点为(0,2).又直线 l1:y=k(x -6)与直线 l2 关于点(3,1)对称,故直线 l2 恒过定点(0,2). 14.已知 A(3,0),B(0,4),直线 AB 上一动点 P(x,y),则 xy 的最大值是________. 答案 3 x y 解析 直线 AB 的方程为 + =1, 3 4 3 设 P(x,y),则 x=3- y, 4 3 3 ∴xy=3y- y2= (-y2+4y) 4 4 3 = [-(y-2)2+4]≤3. 4 3 ? 即当 P 点坐标为? ?2,2?时,xy 取最大值 3. 15.设点 A(-1,0),B(1,0),直线 2x+y-b=0 与线段 AB 相交,则 b 的取值范围是________. 答案 [-2,2] 解析 b 为直线 y=-2x+b 在 y 轴上的截距, 如图,当直线 y=-2x+b 过点 A(-1,0)和点 B(1,0)时 b 分别取得最小值 和最大值. ∴b 的取值范围是[-2,2]. B.2 条 D.4 条 )

- 12 -


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