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充分条件与必要条件(正稿)


青年教师评优课

充分条件与必要条件
英才学校数学组:黄 琰





事例一:
音乐欣赏《我是一只鱼》 鱼非常需要水,没了水,鱼就无法生存, 但是只有水够吗? p:没有水

? q:鱼不能生存

事例二:
有一位母亲要给女儿做一件衬衫,母亲带 女儿去商店买布,母亲问营业员:“要做一件 衬衫,应该买多少布料?”营业员回答:“买 三米足够了!”

P:有三米布料

? q:做一件衬衫的布料足够

人教版 数学选修1-1

1.2.1
充分条件与必要条件

探究新知
判断下列命题是真命题还是假命题:
(1)若ab ? 0 ,则 a ? 0 ;

假 真

(2)相似三角形对应角相等;

p:两个角是相似三角形的对应角 ? q : 这两个角相等
2 2 (3)若 x ? y ,则 x ? y ;

假 真

(4)若 x ? a 2 ? b2,则 x ? 2ab ;

xx? a22 ? b22 ?2ab ? 2ab p: ? a ?b ? q: x

一般地,“若p,则q”是真命题,我们就说由p可推出q, 记作 p ? q , 并且说p是q的充分条件, q是p的必要条件。
前?后

后?前

例如: x ? a2 ? b2 ? x ? 2ab
x ? a 2 ? b 2是 x ? 2ab 的充分条件 2 2 x ? 2ab 是 x ? a ? b 的必要条件
两个角是相似三角形的对应角 ? 这两个角相等
两个角是相似三角形对应角是两个角相等的充分条件 两个角相等是两个角是相似三角形对应角的必要条件

运用新知
例1:下列“若p,则q”形式的命题中,哪些命题中的 p是q 的充分条件?

?

? ( )若x ? 1, 则x 2 ? 4 x ? 3 ? 0 1 ? (2)若f ( x) ? x, 则 f ( x)为增函数
(3)若x为无理数,?则x 2为无理数
解: 命题 (1)(2) 是真命题,命题 (3) 是假命题。 所以,命题 (1)(2) 中的p是q的充分条件。
如果“若p,则q”为假命题,那么由p推不出q,记作 p ? q。此时,我们就说p不是q的充分条件,q不是p的必 要条件。

例2:下列“若p,则q”形式的命题中,哪些命题中的

p?q

q是p的必要条件?

( )若x ? y, 则x 2 ? y 2 ; 1 ? (3) 若a ? b? 则ac ? bc. ,

? (2)若两个三角形全等, 则这两个三角形的面积相等;
解:命题(1)(2)是真命题,命题(3)是假命题。 所以,命题(1)(2)中的q是p的必要条件。 判断步骤: 找出p、q 判断“若p则q”的真假 下结论

能力提升
1、用集合的方法来判断下列哪个p是q充分条件, ? 哪个p是q的必要条件?
(1)p:菱形 ? q:正方形 (2)p: x>4 ? q: x>1 解:(1)由图1可知p是q的必要条件 (2)由图2可知p是q的充分条件
p:菱形 q:正方形 0 q 1 p 4

?

图1

由小推大

图2

2、使 q:x(y-2)=0存在的一个 必要 条件是 充分 A、2 ? ( y ? 2) ? 0 x
2

( A ) D

p:

B、 ? 2) ? y ? 0 (x
2 2

C、 ? 1) ? y ? 0 (x
2 2

关键:q ? p 关键:p ? q

D、x(y-2)(z+2)=0

第二定义:
若p ? q为真命题,p是q的充分条件
q的一个充分条件是p
q是p的必要条件

技巧: 第二定义

p的一个必要条件是q

第一定义

品味高考

(2008 ? 天津)设a、b是两条直线,?、? 是两个平面,

q: 则a ? b的一个充分条件是
A、a ? ? , b//? ,? ? ?

(C )

p:

B、a ? ? , b ? ? ,? / / ? C、a ? ? , b ? ? ,? / / ? D、a ? ? , b / / ? ,? ? ?
分析

p?q

课堂小结

A、a ? ? , b//? ,? ? ?

a

b

?
反例:平行

?

B、a ? ? , b ? ? ,? / / ?
a
?
b

?

结论:a / /b

C、a ? ? , b ? ? ,? / / ?

?

a

?
b

a?b

D、a ? ? , b / / ? ,? ? ?

b

?

a

?

反例:平行 返回题目

课堂小结
1、知识收获: 若p ? q,则p是q的充分条件,q的一个充分条件是p 则q是p的必要条件,p的一个必要条件是q
2、方法收获 (1)判别步骤: 找出p、q (2)判别技巧 ①否定命题时举反例 ②第二定义还原第一定义 判断“p=>q”真假 下结论

布置作业

课本习题1.2 (A组)

第2、3题

谢谢各位的光临!
2011.10.27

若p ? q为真命题,p是q的充分条件
q的一个充分条件是p

q是p的必要条件
p的一个必要条件是q
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