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集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式.专题测试题及详细答案


集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式
[时间 120 分钟,满分 150 分]
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的) 1.(2013· 吉安模拟)已知全集 U={1,2,3,4,5},集合 A={1,2,4},集合 B={1,5},则 A∩(?UB) 等于 A.{2,4} C.

{2,3,4,5} B.{1,2,4} D.{1,2,3,4,5}

解析 ?UB={2,3,4},所以 A∩(?UB)={2,4},选 A. 答案 A 2.(2013· 潮州一模)集合 A={x||x-2|≤2},B={y|y=-x2,-1≤x≤2},则 A∩B 等于 A.R C.{0} B.{x|x≠0} D.?

解析 A=[0,4],B=[-4,0],所以 A∩B={0}. 答案 C ?1 2? 3.(2013· 烟台一模)已知幂函数 y=f(x)的图象过点? , ?,则 log2f(2)的值为 ?2 2 ? 1 A.2 1 B.-2 C.2 D.-2

2 ?1? ?1? 解析 设幂函数为 f(x)=xa,则 f?2?=?2?a= 2 , ? ? ? ? 1 解得 a=2,所以 f(x)= x, 1 所以 f(2)= 2,即 log2f(2)=log2 2=2,选 A. 答案 A 4.函数 f(x)=log2(x-1+1)的值域为 A.R C.(-∞,0)∪(0,+∞) 1 解析 x-1+1= x+1≠1, 所以 f(x)=log2(x-1+1)≠log21=0,
-1-

B.(0,+∞) D.(-∞,1)∪(0,+∞)

即 y≠0,所以 f(x)=log2(x-1+1)的值域是 (-∞,0)∪(0,+∞),选 C. 答案 C 5.(2013· 青浦模拟)对于原命题“周期函数不是单调函数”,下列陈述正确的是 A.逆命题为“单调函数不是周期函数” B.否命题为“周期函数是单调函数” C.逆否命题为“单调函数是周期函数” D.以上三者都不对 解析 周期函数不是单调函数得逆命题为“不是单调函数的函数, 就是周期函数”, A 错. 否 命题为“不是周期函数的函数是单调函数”,B 错.逆否命题为“单调函数不是周期函数 ”,C 错,所以选 D. 答案 D 1 1 6.(2013· 铁岭模拟)若a<b<0,则下列结论不正确的是 A.a2<b2 b a C.a+b>2 B.ab<b2 b D.a<1

1 1 b 解析 由a<b<0 可知,b<a<0,所以a>1,选 D. 答案 D 7.设 a,b,c 分别为△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边,若 a=1,b= 3,则 A=30° 是 B=60° 的 A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

b 3 解析 若 a=1,b= 3,A=30° ,由正弦定理得 sin B=asin A= 2 ,a<b,B=60° 或 B=120° , a 1 反之,a=1,b= 3,B=60° ,则 sin A=bsin B=2,a<b,A=30° ,故选 B. 答案 B

?x+y≤2 8.在坐标平面内,点的纵、横坐标都是整数时,称该点为整点.则由不等式?x-y≥-2 ?y≥0
表示的区域内整点的个数是
-2-



A.1

B.3

C.9

D.6

解析 本题考查了线性规划的基本知识,根据线性约束条件画出可行域是关键. 答案 C ?kx+2,x≤0, 9.已知函数 f(x)=? 若 k>0,则函数 y=|f(x)|-1 的零点个数是 ?ln x, x>0, A.1 B.4 C.3 D.2

解析 由 y=|f(x)|-1=0,得|f(x)|=1.若 x>0, 则|f(x)|=|ln x|=1, 1 所以 ln x=1 或 ln x=-1,解得 x=e 或 x= .若 x≤0,则|f(x)|=|kx+2|=1,所以 kx+2=1 或 e 1 3 kx+2=-1,解得 x=-k <0 或 x=- k<0 成立,所以函数 y=|f(x)|-1 的零点个数是 4 个,选 B. 答案 B 1 1 1 10.(2013· 济南一模)设 a=?2xdx,b=?3xdx,c=?5xdx,则下列关系式成立的是 ?1 ?1 ?1 a b c A.2<3<5 c a b C.5<2<3 b a c B.3<2<5 a c b D.2<5<3

1 1 1 a ln 2 解析 a=?2xdx=ln x |2 b=?3xdx=ln x |3 c=?5xdx=ln x |5 所以2= 2 = 1=ln 2, 1=ln 3, 1=ln 5, ?1 ?1 ?1 b ln 3 c ln 5 3 5 3 3 ln 2,3= 3 =ln 3,5= 5 =ln 5.因为( 2)6=23=8,( 3)6=32=9,所以 2< 3.( 2)10=25 c a b 5 5 5 3 =32,( 5)10=52=25,所以 5< 2,即 5< 2< 3,所以5<2<3,选 C. 答案 C 11.(2013· 黄浦模拟)若 f(x)是 R 上的奇函数,且 f(x)在[0,+∞)上单调递增,则下列结论: ①y=|f(x)|是偶函数;②对任意的 x∈R 都有 f(-x)+|f(x)|=0;③y=f(-x)在(-∞,0]上单调递 增;④y=f(x)f(-x)在(-∞,0]上单调递增.

其中正确结论的个数为 A.1 B.2 C.3 D.4

解析 取 f(x)=x3,x=-1,则 f(-x)+|f(x)|=f(1)+|f(-1)|=2≠0,故②错.又 f(-x)=-x3 在(-∞,0]上单调递减,故③错.对于①,设 x∈R,则|f(-x)|=|-f(x)|=|f(x)|?y=|f(x)|是偶函数,
-3-

所以①对;对于④,设 x1<x2≤0,则-x1>-x2≥0,∵f(x)在[0,+∞)上单调递增,∴f(-x1)>f(- x2)≥f(0)=0?f2(-x1)>f2(-x2)?f2(x1)>f2(x2),∴f(x1)f(-x1)=-f2(x1)<-f2(x2)=f(x2)f(-x2)?y= f(x)f(-x)在(-∞,0]上单调递增,故④对.所以选 B. 答案 B 12.(2013· 临沂一模)已知集合 M={(x,y)|y=f(x)},若对于任意(x1,y1)∈M,存在(x2,y2)∈M, 使得 x1x2+y1y2=0 成立,则称集合 M 是“垂直对点集”.给出下列四个集合:
? ? ? ? 1 ? ①M=??x,y??y= x ?;②M={(x,y)|y=sin x+1};③M={(x,y)|y=log2x};④M={(x,y)|y ? ? ? ? ?

=ex-2}. 其中是“垂直对点集”的序号是 A.①② B.②③ C.①④ D.②④

1 解析 ①y=x 是以 x,y 轴为渐近线的双曲线,渐近线的夹角为 90° ,在同一支上,任意(x1, y1)∈M,不存在(x2,y2)∈M,满足“垂直对点集”的定义;对任意(x1,y1)∈M,在另一支上也不 存在(x2,y2)∈M,使得 x1x2+y1y2=0 成立,所以不满足“垂直对点集”的定义,不是“垂直对点 集”. ②M={(x,y)|y=sin x+1},如图在曲线上,两点构成的直角始终存在,所以 M={(x,y)|y= sin x+1}是“垂直对点集”.

对于③M={(x,y)|y=log2x},如图取点(1,0),曲线上不存在另外的点,使得两点与原点的连 线互相垂直,所以不是“垂直对点集”.

对于④M={(x,y)|y=ex-2},如图在曲线上两点构成的直角始终存在,满足“垂直对点集” 的定义,故正确.
-4-

答案 D 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中的横线上) 13.如果不等式 5-x>7|x+1|和不等式 ax2+bx-2>0 有相同的解集,则 a+b=________. 解析 由不等式 5-x>7|x+1|可知 5-x>0, 两边平方得(5-x)2>49(x+1)2,整理得 4x2+9x+2<0,即-4x2-9x-2>0. 又两不等式的解集相同,所以可得 a=-4,b=-9, 则 a+b=-13. 答案 -13 ?1? 14.(2013· 顺义模拟)已知定义域为 R 的偶函数 f(x)在(-∞,0]上是减函数,且 f?2?=2,则不 ? ? 等式 f(2x)>2 的解集为________. 解析 因为函数为定义域为 R 的偶函数, ? 1? ?1? 所以 f?-2?=f?2?=2,且函数在(0,+∞)上递增. ? ? ? ? 1 所以由 f(2x)>2 得 2x>2,即 x>-1, 所以不等式 f(2x)>2 的解集为(-1,+∞). 答案 (-1,+∞)

?x-y+2≥0 15.(2013· 滨州一模)设实数 x,y 满足约束条件?x+y-4≥0 ?2x-y-5≤0
大值为________.

,则目标函数 z=x+2y 的最

1 z 1 z 解析 由 z=x+2y 得 y=-2x+2.作出不等式组对应的平面区域, 如图, 平移直线 y=-2x+2, 1 z 1 z 由图象可知,当直线 y=-2x+2经过点 F 时,直线 y=-2x+2的截距最大,此时 z 最大. ?x-y+2=0 ?x=7 由? ,解得? , ?2x-y-5=0 ?y=9
-5-

即 F(7,9),代入 z=x+2y 得 z=x+2y=7+2×9=25.

答案 25 16.(2013· 德州一模)已知锐角 α,β 满足 3tan α=tan(α+β),则 tan β 的最大值为________. 解析 tan β= tan?α+β?-tan α 2tan α = , 1+tan?α+β?tan α 1+3tan2α

π? 2 ? 即 tan β= 1 .因为 α∈?0,2?,所以 tan α>0. ? ? + 3tan α tan α 2 所以 tan β= 1 ≤ tan α+3tan α 2 2 3 =3, 1 3tan α tan α·

1 1 3 3 当且仅当tan α=3tan α,即 tan2α=3,tan α= 3 时,取等号,所以 tan β 的最大值是 3 . 答案 3 3

三、 解答题(本大题共 6 小题, 共 70 分. 解答时应写出必要的文字说明、 证明过程或演算步骤) 17.(10 分)函数 f(x)=lg(x2-2x-3)的定义域为集合 A,函数 g(x)=2x-a(x≤2)的值域为集合 B. (1)求集合 A,B; (2)若集合 A,B 满足 A∩B=B,求实数 a 的取值范围. 解析 (1)A={x|x2-2x-3>0}={x|(x-3)(x+1)>0}={x|x<-1,或 x>3}, B={y|y=2x-a,x≤2}={y|-a<y≤4-a}.(5 分) (2)∵A∩B=B,∴B?A,∴4-a<-1 或-a≥3, ∴a≤-3 或 a>5,即 a 的取值范围是(-∞,-3]∪(5,+∞).(10 分) ?1? 18.(12 分)设命题 p:f(x)=?2?x2-2mx+1 在区间(1,+∞)上是减函数;命题 q:x1,x2 是方 ? ?
-6-

程 x2-ax-2=0 的两个实根,不等式 m2+5m-3≥|x1-x2|对任意实数 a∈[-1,1]恒成立;若(綈 p) ∧q 为真,试求实数 m 的取值范围. ?1? 解析 因为函数 y=?2?x 在(-∞,+∞)上单调递减,根据复合函数的单调性可知函数 y=x2 ? ? -2mx+1 在区间(1,+∞)上是增函数,由于该函数是开口向上的二次函数,其对称轴为 x=m, 所以 m≤1;因为 a∈[-1,1],(3 分) 由根与系数关系知 |x1-x2|= ?x1+x2?2-4x1x2= a2+8≤3,

所以 m2+5m-3≥3,解得 m≥1,或 m≤-6,(6 分) 若(綈 p)∧q 为真命题,则 p 是假命题,q 是真命题,(8 分) ?m>1 故? ,即 m>1.(11 分) ?m≥1,或m≤-6 所以使(綈 p)∧q 为真的实数 m 的取值范围是 m>1.(12 分) 19.(12 分)(2013· 宝山模拟)已知函数 f(x)=log2(4x+b· 2x+4),g(x)=x. (1)当 b=-5 时,求 f(x)的定义域; (2)若 f(x)>g(x)恒成立,求 b 的取值范围. 解析 (1)由 4x-5· 2x+4>0,即(2x-1)(2x-4)>0, 所以 2x<1,或 2x>4, 解得 f(x)的定义域为(-∞,0)∪(2,+∞).(5 分) (2)由 f(x)>g(x)得 4x+b· 2x+4>2x, 4? 4? ? ? 即 b>1-?2x+2x?.令 h(x)=1-?2x+2x?, ? ? ? ? 4 因为 2x+2x≥2 4 2x· 2x=4,

4 当且仅当 2x=2x,即 x=1 时等号成立, 则 h(x)≤-3,∴当 b>-3 时,f(x)>g(x)恒成立.(12 分) ? 1? 20.(12 分)(2013· 马鞍山模拟)已知函数 f(x)=a?x-x?-2ln x(a∈R). ? ? (1)若 a=1,求曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; a (2)设 g(x)=f(x)+ x ,求函数 y=g(x)的单调区间.
-7-

2 1 1 2 x -2x+1 解析 (1)当 a=1 时,f(x)=x- x-2ln x,则 f′(x)=1+x2-x = ,f(1)=0,曲线 y= x2

f(x)在点(1, f(1))处的切线的斜率为 f′(1)=0, 所以曲线 y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程为 y=0.(5 分) (2)由条件知 g(x)=ax-2ln x, 则函数 y=g(x)的定义域为(0,+∞), 2 ax-2 所以 g′(x)=a- x= x , (i)当 a≤0 时,g′(x)≤0 在(0,+∞)上恒成立, 所以函数 y=g(x)的单调区间为(0,+∞); 2 (ii)当 a>0 时,由 g′(x)>0,得 x>a, 2 由 g′(x)<0,得 0<x<a, 2? ?2 ? ? 所以函数 y=g(x)的单调递增区间为?a,+∞?,单调递减区间为?0,a?.(12 分) ? ? ? ? 21.(12 分)某工厂生产 A、B 两种配套产品,其中每天生产 x 吨 A 产品,需生产 x+2 吨 B 产 品,已知生产 A 产品的成本与产量的平方成正比,经测算,生产 1 吨 A 产品需要 4 万元,而 B 产 品的成本为每吨 8 万元. (1)求生产 A、B 两种配套产品的平均成本的最小值; 1? ? (2)若原料供应商对这种小型工厂供货办法使得该工厂每天生产 A 产品的产量 x 在?0,2?∪[2,8] ? ? 范围内,那么在这种情况下,该工厂应生产 A 产品多少吨,才可使平均成本最低. 解析 (1)因为生产 A 产品的成本与产量的平方成正比,则生产 x 吨 A 产品需 t=kx2 万元,又 当 x=1 时,t=4,所以 k=4,故 t=4x2,(2 分) 设生产 A、B 两种产品的平均成本为 y,据题意有 4x2+8?x+2? 4x2+8x+16 2x2+4x+8 y= = = x+x+2 2x+2 x+1 ?2x2+2x?+?2x+2?+6 6 = =2x+ +6 x+1 x+1 =2(x+1)+ 6 +4≥2 x+1 2?x+1?× 6 +4 x+1

=4 3+4, 当且仅当 2(x+1)= 6 ,即 x= 3-1 时,等号成立.(6 分) x+1
-8-

(2)由(1)知,生产 A、B 两种产品的平均成本为 y=2x+ 6 6 +6,则 y′=2- ,(7 分) x+1 ?x+1?2

令 y′>0,解得 x> 3-1,令 y′<0, 1? 1? 6 ? ? 解得 x< 3-1.又 x∈?0,2?∪[2,8],所以函数 y=2x+ +6 在?0,2?上单调递减,在[2,8] ? ? ? ? x+1 1 上单调递增,当 x=2时,y=11,当 x=2 时,y=12.(11 分) 1 所以该工厂应生产 A 产品2吨,才可使平均成本最低,为 11 万元.(12 分) 22.(12 分)(2012· 山东)已知函数 f(x)= ln x+k ex (k 为常数,e=2.718 28?是自然对数的底数),曲

线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与 x 轴平行. (1)求 k 的值; (2)求 f(x)的单调区间; (3)设 g(x)=(x2+x)f′(x),其中 f′(x)为 f(x)的导函数,证明:对任意 x>0,g(x)<1+e-2. 解析 (1)由 f(x)= 得 f′(x)= ln x+k ex ,

1-kx-xln x ,x∈(0,+∞). xex

由于曲线 y=f(x)在(1,f(1))处的切线与 x 轴平行, 所以 f′(1)=0,因此 k=1.(3 分) 1 (2)由(1)得 f′(x)=xex(1-x-xln x),x∈(0,+∞). 令 h(x)=1-x-xln x,x∈(0,+∞), 当 x∈(0,1)时,h(x)>0;当 x∈(1,+∞)时,h(x)<0. 又 ex>0,所以当 x∈(0,1)时,f′(x)>0; 当 x∈(1,+∞)时,f′(x)<0. 因此 f(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞).(8 分) (3)证明 因为 g(x)=(x2+x)f′(x), x+1 所以 g(x)= ex (1-x-xln x),x∈(0,+∞). 因此,对任意 x>0,g(x)<1+e-2 等价于 1-x-xln x< 由(2)知 h(x)=1-x-xln x,x∈(0,+∞),
-9-

ex (1+e-2). x+1

所以 h′(x)=-ln x-2=-(ln x-ln e-2), x∈(0,+∞). 因此,当 x∈(0,e-2)时,h′(x)>0,h(x)单调递增; 当 x∈(e-2,+∞)时,h′(x)<0,h(x)单调递减. 所以 h(x)的最大值为 h(e-2)=1+e-2, 故 1-x-xln x≤1+e-2. 设 φ(x)=ex-(x+1). 因为 φ′(x)=ex-1=ex-e0, 所以当 x∈(0,+∞)时,φ′(x)>0,φ(x)单调递增, φ(x)>φ(0)=0, 故当 x∈(0,+∞)时,φ(x)=ex-(x+1)>0, ex 即 >1. x+1 ex 所以 1-x-xln x≤1+e-2< (1+e-2). x+1 因此对任意 x>0,g(x)<1+e-2.(12 分)

- 10 -


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