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四种命题

对于下列命题,它们之间的相互关系如何? (1)若a=0,则ab=0; (2)若ab=0,则a=0; (3)若a≠0,则ab≠0; (4)若ab≠0,则a≠0.

在逻辑上,我们将命题(1)和(2)叫做互逆命 题,其中一个叫做原命题,另一个叫做原命题的 逆命题,那么“互逆命题”的定义是什么?

对于两个命题

,如果一个命题的条件和结论 分别是另一个命题的结论和条件,则称这两个命 题叫做互逆命题.

在逻辑上,我们将命题(1)和(3)叫做互否命 题,其中一个叫做原命题,另一个叫做原命题的 否命题,那么“互否命题”的定义是什么?

对于两个命题,如果一个命题的条件和结论恰 好是另一个命题的条件的否定和结论的否定,则 称这两个命题叫做互否命题.

在逻辑上,我们将命题(1)和(4)叫做互为逆 否命题,其中一个叫做原命题,另一个叫做原命 题的逆否命题,那么“互为逆否命题”的定义是 什么? 对于两个命题,如果一个命题的条件和结论恰好 是另一个命题的结论的否定和条件的否定,则称 这两个命题叫做互为逆否命题.

为了书写方便,把条件p的否定和结论q的否定, 分别记作“﹁p”和“﹁q”,读作“非p”和“非 q”,若原命题的形式为“若p,则q”,则其逆命 题、否命题、逆否命题的表示形式分别是什么?

原命题:若p,则q; 逆命题:若q,则p; 否命题:若﹁p,则﹁q; 逆否命题:若﹁q,则﹁p.

例1 写出下列命题的逆命题,否命题和逆否命题. (1)平行四边形的对边相等; (2)菱形的对角线互相垂直平分; (3)同位角相等,两直线平行; (4)若a>b,c>d,则a+c>b+d.
逆命题:交换原命题的条件和结论; 否命题:同时否定原命题的条件和结论; 逆否命题:交换原命题的条件和结论,并同时否定.

对于下列命题,它们之间的相互关系如何? (1)若a=0,则ab=0; (2)若ab=0,则a=0; (3)若a≠0,则ab≠0; (4)若ab≠0,则a≠0.

若 a = 0 , 则 ab = 0.
互否 互

互逆 互 为 为 否 逆 逆 否

若ab=0,则a=0.

互否

若a≠0,则ab≠0.

互逆

若ab≠0,则a≠0.

一般地,原命题、逆命题、否命题和逆否命题之 间的相互关系:

原命题:若p则q 互
互否
否命题:若﹁p则﹁q

互逆

逆命题:若q则p 否 互否 否
逆否命题:若﹁q则﹁p

逆 为







互逆

四种命题的真假关系
练习1:下列四个命题中哪些是真命题,哪些是假 命题? (1)若a=0,则ab=0; 真

(2)若ab=0,则a=0;
(3)若a≠0,则ab≠0; (4)若ab≠0,则a≠0.

假 假 真

练习2:已知原命题:若|x|=x,则x≥0,那么其 逆命题、否命题和逆否命题分别是什么?这些命 题的真假如何? 原命题:若|x|=x,则x≥0; 逆命题:若x≥0,则|x|=x; 否命题:若|x|≠x,则x<0; 逆否命题:若x<0,则|x|≠x.

(真) (真) (真)

(真)

练习3:已知原命题:若x2-3x+2=0,则x=2, 那么其逆命题、否命题和逆否命题分别是什么? 这些命题的真假如何?

(假) 原命题:若x2-3x+2=0,则x=2;
逆命题:若x=2,则x2-3x+2=0; (真) 否命题:若x2-3x+2≠0,则x≠2; (真)

逆否命题:若x≠2,则x2-3x+2≠0.(假)

练习4:已知原命题:若x>0,y<0,则x+y>0, 那么其逆命题、否命题和逆否命题分别是什么? 这些命题的真假如何? 原命题:若x>0,y<0,则x+y>0; (假) 逆命题:若x+y>0,则x>0,y<0; 否命题:若x≤0,y≥0,则x+y≤0; 逆否命题:若x+y≤0,则x≤0,y≥0.

(假) (假)

(假)

上述四种命题的真假性之间的关系:
原命题
真 真

逆命题
假 真

否命题
假 真

逆否命题
真 真













(1)两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假 性; (2)两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真 假性没有关系.

反证法证明命题的一般步骤如下: 1.假设结论的反面成立; 推理过程中一定要用到才行 2. 由这个假设 出发 ,经过正确的推理 ,导 ..

出矛盾; 显而易见的矛盾(如和已知条件矛盾). 3. 由矛盾判定假设不正确 , 从而肯定命 题的结论正确. 有一位数学家说:“反证法是数学上最 精良的武器之一 .”数学上很多有名的结论 都是用反证法得证的.

例 1.证明:若 p ? q ? 2 ,则 p ? q ≤ 2 .
2 2

练习 1 证明:“若 a 2 ? b2 ? 2a ? 4b ? 3 ? 0 ,则 a ? b ? 1.” 为真命题.

练习 2 2 b 、c 为奇数 , 则方程 ax ? bx ? c ? 0 证明 :“若 a 、 无等根.” 为真命题.

练习 1 证明:“若 a ? b ? 2a ? 4b ? 3 ? 0 , 则 a ? b ? 1.”为真命题.
2 2

证明:假设 a ? b ? 1, 2 2 则 a ? b ? 2a ? 4b ? 3 = (a ? b)(a ? b) ? 2(a ? b) ? 2b ? 3 = a ? b ?1 =0 ∴原命题的逆否命题正确, 所以原命题也正确.

练习 2 证明:“若 a 、 b 、c 为奇数,则方程 2 ax ? bx ? c ? 0 无等根.” 为真命题.

证明: 假设方程 ax ? bx ? c ? 0 有等 2 2 根,则 b ? 4ac =0,∴ b ? 4ac 2 ∵ a 、c 为整数,∴ b 是偶数. ∴ b 为偶数,原命题的条件不成立 ∴原命题的逆否命题正确, 所以原命题正确.
2

例2 求证:圆的两条不是直径的相交弦不能互相 平分.
C A D

B


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