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线面平行与面面平行


线面平行与面面平行专题复习
【知识梳理】

线线平行 ? 线面平行 ? 面面平行
定理 1 若平面外一条直 ○ 线和这个面内的一 条直线平行,那么这 条直线和这个平面 平行 2 若一条直线和一 ○ 个平面平行,经过这 条直线的平面和这 个平面相交,则这条 直线就和交线平行。 3 若一个平面内的 ○ 两条相交直线都平 行于另一个平面,那 么这两个平面平行。 4 若两个平行平面 ○ 同时和第三个平面 相交,那么所得的两 条交线平行。
?

图形
a

符号

简称 线线平行, 线面平行

b

a ??? ? b ? ? ? ? a // ? a // b ? ?

?

?

l

? ? l ?? ? ? l // m ? ? ? ? m? ?

l // ?

线面平行, 线线平行

m

?

?

A a

b

a, b ? ? ? ? a ? b ? A? ? ? // ? a, b // ? ? ?

线线平行, 面面平行

?

?
a

?
b

? // ? ? ? ? ? ? ? a ? ? a // b ? ? ? ? b? ?

面面平行 线线平行

5 若两个平面平 ○ 行,那么其中一个平 面内的直线必平行 于另一个平面。
?

a

? // ? ? ? ? a // ? a ???

面面平行 线面平行

?

题型一线面平行的判定与性质 1、已知:平面? ? 平面? ? l,a ? ? , b ? ? ,
?

求证:a // l

b l
归纳

a

?

2、在正方体中,O 为面 ABCD 的中心, 求证: AO 1 // 平面B 1CD 1.
D

C

B

O
A C1 B1

D1

A1

归纳: 3、已知:点是平行四边形 ABCD 所在平面外一点, Q 是 PA 的中点, 求证:PC//平面 BQD.
Q

P

D A

B

C

归纳: 4、如图,两个正方形 ABCD 和 ABEF 所在的平面相交于 AB,M,N 分别是对角线 AC,BF 上的 点,AM=FN,求证:MN//平面 BCE.
A M D B E N F

C

小结 1:证明线面平行的方法常常转化为面外线与面内线平行,而证明两线平行的方法常有: , , , 题型二、面面平行的判定与性质 1、 在正方体ABCD ? A 中,求证:平面AB1D1 // 平面C1BC. 1B 1C1D 1

D1

C1

A1 C

B1

D

归纳:

A

B

2、如图,已知正三棱柱ABC ? A1B1C1中,点D为AC 1 1的中点,求证: (1) BC1 // 平面AB1D;(2)D1为AC的中点,求证:平面B1DA // 平面BC1D1.
B1 D A1 C1

B

C

归纳:

3、已知平面? // 平面?,AB, CD是异面直线,A ?? , C ?? , B ? ? , D ? ? , E, F 分别为AB,CD的中点,求证:EF // ? // ?
?
E A C

F

?

B

D

归纳: 练习: 1. 如图, D, E 分别是正三棱柱 ABC ? A1B1C1 的棱 AA1 、 B1C1 的中点, 求证: A1 E // 平面 BDC1 ;

2.在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, E 、 F 分别为

D 为棱 CC1 上任一点. AC 1 1、 B 1C1 的中点,
求证:直线 EF ∥平面 ABD ;

A

B

C

D A1 E
第2题

B1

F

C1

E F 分别是棱 BC ,C1D1 的中点,求证:EF // 3、如图, 在正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, ,
平面 BB1D1D .

D1 A1

F

C1
B1

D

C
B E

A

4. 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, ABCD 是平行四边形,M , N 分别是 AB , PC 的中点. 求证: MN // 平面 PAD .

P

N
D

C
B

A

M

线面平行练习题 1

1. 三棱柱 ABC—A1B1C1 中,若 D 为 BB1 上一点, M 为 AB 的中点,N 为 BC 的中点. 求证:MN∥平面 A1C1D;
y c y

2、如图,在底面为平行四边形的四棱锥 P—ABCD 中,点 E 是 PD 的中点. 求证:PB//平面 AEC;
P

E A B D C

3.四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,M、N 分别是 AB、PC 的中点, 求证:MN∥平面 PAD;

线面平行练习题 2
4.在四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,M,N 分别是 AB,PC 的中点. 求证:MN∥平面 PAD;
P

N A M B C D

5、如图,在三棱柱 ABC—A1B1C1 中, D 是 AC 的中点。 求证:AB1//平面 DBC1
A1 C1

B1

D A C

B

4、如图,在正方体ABCD——A1B1C1D1中,O是底面ABCD 对角线的交点.求证:C1O//平面AD1B1.

线面平行练习题 3 7. 已知ABC-A 1B 1C1是底面是正三角形的棱柱,

D是AC的中点,求证:AB1 // 平面DBC1.
A1 A D C1 C

B1

B

8.正四棱锥 S ? ABCD 中, E 是侧棱 SC 的中点.求证:直线 SA // 平面 BDE

S E C

D

A

B

9. 已知四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,E、F 分别是 AB、PD 的中点. 求证:AF//平面 PEC P

F D A E B C

线面平行练习题 4
10. ABCD-A1B1C1D1 是正四棱柱, E 是棱 BC 的中点。 求证: BD1//平面 C1DE

11.在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, D 为 BC 中点.求证: A1B // 平面 ADC1 ;
C
1

A
1

B
1

C D .

A B

12. 在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,M,N 分别是 CC1,AB 的中点. 求证:CN //平面 AB1M. C
1

B1 A1

M

C N A

B

面面平行

1、已知正方体 ABCD ? A1B1C1D1 , O 是底 ABCD 对角线的交点. 求证:(1) C1O∥面 AB1D1 ;(2)面 OC1 D // 面AB1 D1 .
A1 D O A B D1 B1 C1

C

2.在长方体 ABCDA1B1C1D1 中,E、F、E1、F1 分别是 AB、CD、A1B1、C1D1 的中点. 求证:平面 A1EFD1∥平面 BCF1E1.

4.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F、G、P、Q、R 分别是所在棱 AB、BC、BB?、A?D?、 D?C?、DD?的中点,求证:平面 PQR∥平面 EFG。 D? Q C?
P A? R G D F A E B C B?

5.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,O 为底面 ABCD 的中心,P 是 DD1 的中 点,设 Q 是 CC1 上的点,问:当点 Q 在什么位置时,平面 D1BQ∥平面 PAO?

6:已知四棱锥 P-ABCD 中,地面 ABCD 为平行四边形,点 M,N,Q 分别为 PA,BD,PD 上的 中点,求证:平面 MNQ∥平面 PBC
P

A B

M N

Q D C

练习 2: 正方体 ABCD-A1B1C1D1,中,M,N,E,F 分别为棱 A1B1,A1D1,B1C1,C1D1 的中点,求 证: 平面 AMN∥平面 EFDB
D A B C

D1 A1 B1

C1

练习 3: 平面内两正方形 ABCD 与 ABEF, 点 M, N 分别在对角线 AC,FB 上,且 AM:MC=FN:NB,沿 AB 折起,使得∠DAF=900 (1)证明:折叠后 MN//平面 CBE; (2) 若 AM:MC=2: 3, 在线段 AB 上是否存在一点 G, 使平面 MGN// 平面 CBE?若存在,试确定点 G 的位置.

直线、平面平行的判定及其性质(人教版 A) 测试题
一、选择题 1.下列条件中,能判断两个平面平行的是( ) A.一个平面内的一条直线平行于另一个平面; B.一个平面内的两条直线平行于另一个平面 C.一个平面内有无数条直线平行于另一个平面 D.一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面 2、已知直线 a 与直线 b 垂直,a 平行于平面α ,则 b 与α 的位置关系是( A.b∥α C.b 与α 相交 3. 直线 a,b, c 及平面 ?,? ,使 a // b 成立的条件是( B.b α

)

D.以上都有可能 )

A. a // ? , b ? ? B. a // ? , b // ? C. a // c, b // c D. a // ? , ? ? ? ? b 4.若直线 m 不平行于平面 ? ,且 m ? ? ,则下列结论成立的是( ) A. ? 内的所有直线与 m 异面 B. ? 内不存在与 m 平行的直线 C. ? 内存在唯一的直线与 m 平行 D. ? 内的直线与 m 都相交 5.下列命题中,假命题的个数是( )

① 一条直线平行于一个平面,这条直线就和这个平面内的任何直线不相交;② 过平面 外一点有且只有一条直线和这个平面平行;③ 过直线外一点有且只有一个平面和这条直线平 行;④ 平行于同一条直线的两条直线和同一平面平行;⑤ a 和 b 异面,则经过 b 存在唯一 一个平面与 ? 平行 A.4 B.3 C.2 D.1 6.已知空间四边形 ABCD 中, M , N 分别是 AB, CD 的中点,则下列判断正确的是( ) A. MN ? 1 ? AC ? BC ?
2

B. MN ? 1 ? AC ? BC ?
2

C. MN ? 1 ? AC ? BC ?
2

D. MN ? 1 ? AC ? BC ?
2

7 .? , β 是两个不重合的平面, a, b 是两条不同直线, 在下列条件下, 可判定 ? ∥β 的是 ( A. ? ,β 都平行于直线 a,b B. ? 内有三个不共线点到 β 的距离相等 C.a,b 是 ? 内两条直线,且 a∥β,b∥β D.a,b 是两条异面直线且 a∥ ? ,b∥ ? ,a∥β,b∥β 8.两条直线 a,b 满足 a∥b,b ? ,则 a 与平面 ? 的关系是( ) A.a∥ ? B.a 与 ? 相交 C.a 与 ? 不相交 D.a ? 9.设 a , b 表示直线, ? , ? 表示平面,P 是空间一点,下面命题中正确的是( ) A. a ? ? ,则 a // ? C. ? // ? , a ? ? , b ? ? ,则 a // b B. a // ? , b ? ? ,则 a // b D. P ? a, P ? ? , a // ? , ? // ? ,则 a ? ?



10. 一条直线若同时平行于两个相交平面, 那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是 ( ) A.异面 B.相交 C.平行 D.不能确定 11.下列四个命题中,正确的是( ) ①夹在两条平行线间的平行线段相等;②夹在两条平行线间的相等线段平行;③如果一条 直线和一个平面平行,那么夹在这条直线和平面间的平行线段相等;④如果一条直线和一个 平面平行,那么夹在这条直线和平面间的相等线段平行 A.①③ B.①② C.②③ D.③④ 12.在下列命题中,假命题的是 A. 若平面α 内的任一直线平行于平面β ,则α ∥β B. 若两个平面没有公共点,则两个平面平行 C. 若平面α ∥平面β ,任取直线 a ? α ,则必有 a∥β D. 若两条直线夹在两个平行平面间的线段长相等,则两条直线平行 一、选择题 1、直线和平面平行是指该直线与平面内的( (A)一条直线不相交 (C)无数条直线不相交 (B)两条直线不相交 (D)任意一条直线都不相交 ) )

2、已知 a ||? ,b? ?,则必有(

() A a | | b (C)a,b 相交

异面 () B a , b

( D)a,b 平行或异面


3、若直线 a,b 都与平面?平行,则 a 和 b 的位置关系是( (A)平行 (B)相交 (C)异面

(D)平行或相交或是异面直线 4、下列四个命题中,正确命题的个数是( )个

(1)过直线外一点,只能作一条直线与这条直线平行; (2)过平面外一点,只能作一条直线与这个平面平行; (3)过直线外一点,只能作一个平面与这条直线平行; (4)过两条异面直线中的一条直线,只能作一个平面与另一条直线平行。 (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 )

5、下列命题中,错误的命题是(

(A)如果两条平行直线中的一条和一个平面相交,那么另一条直线也和这个 平面相交; (B)一条直线和另一条直线平行,它就和经过另一条直线的任何平面都平行; (C)经过两条异面直线中的一条直线,有一个平面与另一条直线平行; (D)空间四边形相邻两边的中点的连线,平行于经过另外两边的平面。 6.一条直线若同时平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线( A.异面 B.相交 C.平行 D.不确定 )

7.已知平面 α 、β 和直线 m,给出条件:①m∥α ;②m⊥α ;③m?α ;④α ⊥β ;⑤α ∥β . 为使 m∥β ,应选择下面四个选项中的 ( A.①④ B.①⑤ ) D.③⑤

C.②⑤

8.下列命题正确的是 ( ) A 一直线与平面平行,则它与平面内任一直线平行 B 一直线与平面平行,则平面内有且只有一个直线与已知直线平行 C 一直线与平面平行,则平面内有无数直线与已知直线平行,它们在平面内彼此平行 D 一直线与平面平行,则平面内任意直线都与已知直线异面 9.若直线 l 与平面α 的一条平行线平行,则 l 和α 的位置关系是 ( ) A

l ??

B l // ?

C l ? ?或l // ?

D l和?相交 )

10.若直线 a 在平面α 内,直线 a,b 是异面直线,则直线 b 和α 平面的位置关系是 ( A.相交 B。平行 C。相交或平行 D。相交且垂直 11.下列各命题:

(1) 经过两条平行直线中一条直线的平面必平行于另一条直线; (2) 若一条直线平行于两相交平面,则这条直线和交线平行; (3) 空间四边形中三条边的中点所确定平面和这个空间四边形的两条对角线都平行。 其中假命题的个数为 ( ) A 0 B 1 C 2 D 3 12.若一个平面内的两条直线分别平行于零一个平面内的两条直线,则这两个平面的位置关 系是( ) A.一定平行 B.一定相交 C.平行或相交 D.以上判断都不对 13、已知 m、n 表示两条直线, ? , ? , ? 表示三个平面,下列命题中正确的个数是( ①若 ? ? ? ? m, ? ? ? ? n, 且m // n, 则? // ? ②若 m,n 相交且都在 ?、 ?外,m // ? , m // ? , n // ? , n // ? , 则? // ? ③若 ? ? ? ? l , m // ? , m // ? , n // ? , n // ? , 则m // n ④若 m// ? ,n// ? , 则m // n A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 ) )

14. a 是平面 ? 外一条直线,过 a 作平面 ? ,使 ? ∥ ? ,这样的 ? (

A.只能作一个 B.至少可以做一个 C.不存在 D.至多可以作一个 15.有以下三个命题: ① 两个平面分别经过两条平行直线,则这两个平面平行; ②经过平面外一条直线,必能作出与已知平面平行的平面; ③平面 ? ∥平面 ? ,直线 a ? ? , 直线b ? ? , 那么直线 a,b 的位置关系可能是平行或异面.其 中正确命题的个数为( ) A. B.1 C.2 D.3 16. 以下命题(其中 a,b 表示直线,? 表示平面) ①若 a∥b,b??,则 a∥? ②若 a∥?,b∥?,则 a∥b ③若 a∥b,b∥?,则 a∥? ④若 a∥?,b??,则 a∥b 其中正确命题的个数是 ( ) A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 17.判断下列命题是否正确,若正确,请简述理由,若不正确,请给出反例. (1) 如果 a、b 是两条直线,且 a∥b,那么 a 平行于经过 b 的任何平面;( (2) 如果直线 a、b 和平面 α 满足 a∥α , b∥α ,那么 a∥b ;( ) (3) 如果直线 a、b 和平面 α 满足 a∥b, a∥α ,b ? α , 那么 b∥α ;( (4) 过平面外一点和这个平面平行的直线只有一条.( )

) )

例 1.下列命题中正确的是( ) ① 若一个平面内有两条直线都与另一个平面平行,则这两个平面平行 ②若一个平面内有无数条直线都与另一个平面平行,则这两个平面平行 ③若一个平面内任何一条直线都平行于零一个平面,则这两个平面平行 ④若一个平面内的两条相交直线分别平行于零一个平面,则这两个平面平行 A. ①③ B. ②④ C. ②③④ D. ③④ 例 2.已知 m,n 是两条直线, ? , ? 是两个平面,以下命题: ①m,n 相交且都在平面

? , ? 外,m∥ ? ,m∥ ? , n∥ ? ,n∥ ? ,则 ? ∥ ? ;②若 m∥ ? , m∥ ? ,则 ? ∥ ? ;③m
∥ ? ,n∥ ? , m∥n, 则 ? ∥ ? .其中正确命题的个数是( A.0 B.1 C.2 D.3 )

练习 2:设 a,b 是两条直线, ? , ? 是两个平面,则下面推理正确的个数为 (1) a ? ? , b ? ? , a∥ ? , b∥ ? , ? ? ∥ ? . (2) ? ∥ ? , a ? ? , b ? ? , ? a∥b (3)a∥ ? , ? ? ? ? l , ? a∥ l (4) a∥ ? , a∥ ? ? ? ∥ ? .

二、填空题 13.如下图所示,四个正方体中,A,B 为正方体的两个顶点,M,N,P 分别为其所在棱的中 点,能得到 AB//面 MNP 的图形的序号的是







④ .

14.正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 为 DD 1 中点,则 BD1 和平面 ACE 位置关系是

15.a,b,c为三条不重合的直线,α,β,γ 为三个不重合的平面,直线均不在平面内,给 出六个命题: a ∥ c? a ∥? ? ? ∥c ? ① ? ? a ∥ b; ② ? ? a ∥ b; ③ ? ?? ∥?; b ∥c ? b ∥? ? ? ∥ c?


? ∥ c?

? ∥? ? ? ∥? ? ? ? a ∥? ; ⑤ ? ?? ∥??⑥ ? ? a ∥? ? a ∥c ? ? ∥? ? a ∥? ?

其中正确的命题是________________. 16.如图,正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F,G,H 分别是棱 CC1,C1D1,DD1,DC 中点,N 是 BC 中点,点 M 在四边形 EFGH 及其内部运动,则 M 满足____________时, 有 MN∥平面 B1BD D1.

三、解答题 17.如图,正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的底面边长是 2,侧棱长是 3,D 是 AC 的
C1 A1 B1

C D A B

中点.求证: B1C // 平面 A1 BD .

18、已知 E、F、G、H 为空间四边形 ABCD 的边 AB、BC、CD、DA 上的点,且EH∥FG. 求证:EH∥BD.
A E B F H D G C

19、如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中, D 为 AC 的中点,求证: AB1 // 平面BC1 D;

C 20.如图,在正四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? AB ? a ,点 E 在棱 PC 上.B问点 E 在何处时, 1 1 PA // 平面EBD ,并加以证明. A
1

B D
D

C
E C

P

A

二、解答题 11.如图,在底面为平行四边形的四棱锥 PABCD 中,E 是 PC 的中点.求证:PA∥平面 BDE.

A

B

【练习 3: P 为平行四边形 ABCD 所在平面外一点, E ? PA , F ? AC ,且 求证: EF // 面 PCD 。
P

PE CF ? , EB FA

E A

D H F C

B

练习 5 正方体 ABCD-A1B1C1D1,中,M,N,E,F 分别为棱 A1B1,A1D1,B1C1,C1D1 的中点,求证: 平面 AMN∥平面 EFDB
D A B C

D A
1 1

C B
1 1

例 5. 如图,P 是 ?ABC 所在平面外一点,A1 ,B1 ,C1 分别是 ?PBC,?PCA,?PAB 的重心, 求证:平面 ABC∥:平面 A1B1C1
P


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