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高中数学竞赛综合练习(12)


高中数学竞赛综合练习题(12)
班级:__________学号:__________姓名:___________

一、填空题
1. 函数 y ?

sin x cos x ? 1 的值域是___________ sin x ? cos x ? 1
n 2 ? 9 为正整数,则 n ? ________ .

r />
2. 设 a, b, c 为 RT△ACB 的三边长, 点(m, n)在直线 ax+by+c=0 上. 则 m2+n2 的最小值是
___________

3. 若 n ? N ,且 n ? 24 ?
2

4. 掷 6 次骰子, 令第 i 次得到的数为 a i , 若存在正整数 k 使得 中 m, n 是互质的正整数. 则 log 6 m ? log 7 n =
2 2

?a
i ?1

k

i

? 6 的概率 p ?

n ,其 m

.

5. 已知点 P 在曲线 y=ex 上,点 Q 在曲线 y=lnx 上,则 PQ 的最小值是_______

) 6. 已 知 多 项 式 f (x) 满 足 : f ( x ? x? 3 ) ? 2 f ( x ? 3x? 5 ?

2

x ? 1x0? 6

1x ? 则 ) 7, ( R

f (2011) ? _________
7. 四面体 OABC 中, 已知∠AOB=450,∠AOC=∠BOC=300, 则二面角 A-OC-B 的平面角 ? 的余弦值是 __________ 8. 设向量 ? π [0, ], 2

? ( x ? 3, x), ? ? (2 sin? cos? , a sin? ? a cos? ) 满足对任意 x ? R 和 θ∈

| ? ? ? |? 2 恒成立.

则实数 a 的取值范围是________________.

9、设 [x] 表示不超过 x 的最大整数,则 [log 3 1] ? [log 3 2] ? [log 3 3] ? ? ? [log 3 500 ] ?
2 10、设 p 是给定的奇质数,正整数 k 使得 k ? pk 也是一个正整数,则 k=____________

二、解答题 11.设数列 {an } 满足 a0 ? N ? , an ?1 ?
2 a an .求证:当 0 ? n ? 0 ? 1 时, [a n ] ? a0 ? n . (其 an ? 1 2

中 [ x] 表示不超过 x 的最大整数).

12. 过点 (2,3) 作动直线 l 交椭圆

x2 过 ? y 2 ? 1 于两个不同的点 P, Q , P, Q 作椭圆的切线, 4 两条切线的交点为 M , ⑴ 求点 M 的轨迹方程; ⑵ 设 O 为坐标原点,当四边形 POQM 的面积为 4 时,求直线 l 的方程.

13. 已 知 实 函 数 f ( x, y ) 满 足 ① f ( x , 0 )? 1, ② f ( f ( x, y), z) ? f ( z, xy) ? z.
f ( x, y ) 的表达式.



14. 正五边形的每个顶点对应一个整数,使得这 5 个整数和为正。若其中三个相连顶点相应 的 整 数 依 次 为 x, y, z , 而 中 间 的 y ? 0 , 则 要 进 行 如 下 操 作 : 整 数 x, y, z 分 别 换 为 x ? y, ? y, z ? y ,只要所得的 5 个整数中至少有一个负时,这种操作就继续进行,问:是否
这样的操作进行有限次后必定终止。

高中数学竞赛综合练习题(12)答案
1.解:令 sinx+cosx=t, 则 t= 2 sin(x ?

?
4

) ? [? 2 ,?1) ? (?1, 2 ] ,2sinxcosx=t2-1,
t+1 在

sin x cos x ? 1 1 t2 ?3 1 2 1 2 ? ? ? (t ? 1 ? ) ? (t ? 1 ? ) ?1 关 于 sin x ? cos x ? 1 2 t ? 1 2 t ?1 2 t ?1 [1 ? 2 ,0) 和 y?
(0,1 ? 2 ] 上 均 递 增 , 所 以 ,

y?

1? 2 2



y?

1? 2 2

,

即 值 域

(??,

1? 2 1? 2 ]?[ ,??) . 2 2

2. 解:因(m2+n2)c2=(m2+n2)(a2+b2)=(ma)2+(nb)2+(mb)2+(na)2 ≥ (ma)2+(nb)2+2mnab=(ma+nb)2=c2, 所 以 m2+n2 ≥ 1, 等 号 成 立 仅 当 mb=na 且 am+bn+c=0,

a b ,? ), 所以 m2+n2 最小值是 1. c c 33 2 2 2 2 3. 解: n ? 24 ? n ? 9 ? 由 知 n ? 24 ? n ? 9 可能为 1,3, 11, 33, 从而 2 2 n ? 24 ? n ? 9 解得 n ? 5. 1 1 2 4.解:当 k ? 1 时,概率为 ;当 k ? 2 时, 6 ? 1 ? 5 ? 2 ? 4 ? 3 ? 3 ,概率为 5 ? ( ) ; 6 6 1 3 1 3 当 k ? 3 时, 6 ? 1 ? 1 ? 4 ? 1 ? 2 ? 3 ? 2 ? 2 ? 2 ,概率为 (3 ? 6 ? 1) ? ( ) ? 10 ? ( ) ; 6 6 1 4 1 4 当 k ? 4 时, 6 ? 1 ? 1 ? 1 ? 3 ? 1 ? 1 ? 2 ? 2 ,概率为 (4 ? 6) ? ( ) ? 10 ? ( ) ; 6 6 1 5 1 6 当 k ? 5 时, 6 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 2 ,概率为 5 ? ( ) ;当 k ? 6 时,概率为 ( ) ;故 6 6 5 1 1 1 1 1 1 1 1 7 p ? ? 5 ? ( )2 ? 10 ? ( )3 ? 10 ? ( )4 ? 5 ? ( )5 ? ( )6 ? ? (1 ? )5 ? 6 , 即 n ? 75 , m ? 66 , 从 而 6 6 6 6 6 6 6 6 6 log 6 m ? log 7 n ? 1 .
解得(m, n)=( ? 5. 解:因曲线 y=ex 与 y=lnx 关于直线 y=x 对称.所求 PQ 的最小值为曲线 y=ex 上的点到直 线 y=x 最 小 距 离 的 两 倍 , 设 P(x, ex) 为 y=ex 上 任 意 点 , 则 P 到 直 线 y=x 的 距 离

d ( x) ?


| ex ? x | 2 x e ?1 2

?

ex ? x 2

,

d / ( x) ?
min=

? 0 ? x ? 0, d / ( x) ? 0 ? x ? 0 , 所 以 , d ( x) min ? d (0) ?

2 ,即 2

PQ

2.
2 2 2 2 2

6.解: 解:用 1 ? x 代替原式中的 x 得: f ( x ? 3x ? 5) ? 2 f ( x ? x ? 3) ? 6 x ? 2 x ? 13 解 二 元 一 次 方 程 组 得 f ( x ? x ? 3) ? 2 x ? 2 x ? 3 , 所 以 : f ( x) ? 2 x ? 3 , 则 . f ( 2 0 1 1) 4 0 1 9 ? (分析得 f ( x) 为一次多项式,可直接求 f ( x) 解析式) A 7. 解:不妨设 AC⊥OC⊥BC,∠ACB= ? ,∠AOC=∠BOC= ? ,∠AOB= ? . C O B

因 OA ? OB ? (OC ? CA ) ? (OC ? CB) = | OC | ? CA ? CB 即 | OA || OB | cos ? ?| OA | cos? ? | OB | cos? ? | CA || CB | cos? , 两端除以 | OA || OB | 并注意到

2

| CA | | OA |

? sin ? ,

| CB | | OB |

? ? , 即得 cos ? ? cos

2

? ? sin 2 ? cos?

,

将 ? =450, ? =300 代入得 解

2 3 1 ? ? cos? , 所以, cos? ? 2 2 ? 3 . 2 4 4
: 令
2

8.

sin? ? cos? ? t ,



2 t ? [1, 2 ] , 2 sin? cos? ? t ? 1, ? ? ? ? (t ? x ? 2, x ? at) ,

1 1 ? x ? 2) 2 ? ( x ? at) 2 ? (t 2 ? x ? 2 ? x ? at) 2 ? (t 2 ? at ? 2) 2 , 2 2 2 2 2 所以, | ? ? ? |? 2 ? (t ? x ? 2) ? ( x ? at) ? 2 对任意 x ? R 恒成立 1 2 2 2 4 2 ? (t ? at ? 2) ? 2 ? t ? at ? 0 或 t ? at ? 4 ? 0 ? a ? t 或 a ? t ? 对任 2 t
因 (t
2



t ? [1, 2 ] 恒成立 ? a ? 1或 a ? 5 .
n n ?1 9、解:设 [log 3 x] ? n ,则 n ? log 3 x ? n ? 1 , 3 ? x ? 3

n ? 0时, ? x ? 31 ,符合条件的整数 x 有 2 个 30 n ? 1时, ? x ? 32 ,符合条件的整数 x 有 6 个 31
n ? 2时, ? x ? 33 ,符合条件的整数 x 有 18 个 32 n ? 3时, ? x ? 34 ,符合条件的整数 x 有 54 个 33 n ? 4时, ? x ? 35 ,符合条件的整数 x 有 162 个 34 n ? 5时, ? x ? 36 ,结合 x ? 500 ,符合条件的整数 x 有 258 个 35
共 0 ? 2 ? 1? 6 ? 2 ?18 ? 3 ? 54 ? 4 ?162 ? 5 ? 258 =2142 10、解:设 k ? pk ? n, n ? N , 则 k ? pk ? n ? 0, k ?
2 * 2 2

p ? p 2 ? 4n 2 2 2 ,从而 p ? 4n 2

是平方数,设为 m , m ? N , 则 (m ? 2n)(m ? 2n) ? p
2 *

2

? p2 ? 1 m? ? ? m ? 2n ? 1 ? 2 ? p是质数,且p ? 3, ? ? , 解得 ? 2 2 ? m ? 2n ? p ?n ? p ? 1 ? ? 4

?k ?

p ? m 2 p ? ( p 2 ? 1) ( p ? 1) 2 。 (负值舍去) ? ,故k ? 2 4 4
2 an a ? n ? 0 知数 an ? 1 an ? 1

11. 证明:对于任何正整数 n ,由递推知 an ? 0 .由 an ? an ?1 ? an ? 列 {an } 递减. 又对任意 n ? N , an ? a0 ?
*

? (a
i ?1

n

i

? ai ?1 ) ? a0 ? ?

n ai ?1 1 ? a0 ? ? (1 ? ) 1 ? ai ?1 i ?1 1 ? ai ?1 i ?1

n

? a0 ? n ? ?
当 n ? 1 时,

1 ?a0 ? n .即有 a n ? a0 ? n ,从而 an ?1 ? a0 ? (n ? 1) .于是, i ?1 1 ? ai ?1

n

?1? a
i ?1

n

1

?

i ?1

1 ? 1; 1 ? a0

1 n n a ? ? ? 1. 当 2 ? n ? 0 ? 1 时,由 {an } 递减得 1 ? a n ?1 a 0 ? n ? 2 2 i ?1 1 ? a i ?1 n 1 ? a0 ? n ? 1 .所以, [an ] ? a0 ? n . 故 a 0 ? n ? an ? a0 ? n ? ? i ?1 1 ? ai ?1 12. 解(1)依题意设直线 l 方程为 y ? k ( x ? 2) ? 3 ,与椭圆联立得

?

n

(1 ? 4k 2 ) x 2 ? 8k (3 ? 2k ) x ? 4(4k 2 ? 12 k ? 8) ? 0 , ? 64(3 ? 2k ) , ? ? 0 得 k ? 由 ?
设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y 2 ) , 则 过 P, Q 椭 圆 的 切 线 分 别 为

2 3

x1 x ? y1 y ? 1 … … ① 和 4

x2 x ? y 2 y ? 1 ……② 4
① ? x 2 ? ② ? x1 ,并且由 y1 ? k ( x1 ? 2) ? 3 及 y 2 ? k ( x2 ? 2) ? 3 得 y ? 同理 x ?

? 4k 3 (k ? ) ,故点 M 的轨迹方程为 x ? 6 y ? 2 ? 0 (在椭圆外) 3 ? 2k 2 3 ? 2k 64 (3k ? 2)(1 ? k 2 ) (2) PQ ? ,O 到 PQ 的距离为 d1 ? ,M 到 PQ 的距离为 2 1 ? 4k 1? k 2 4 3k ? 2 4k 2 ? 1 , d1 ? d 2 ? , d2 ? 3k ? 2 1 ? k 2 3 ? 2k 1 ? k 2
四边形 POQM 的面积 S ?

1 3 (k ? ) , 3 ? 2k 2

1 4 3k ? 2 (d1 ? d 2 ) ? PQ ? 2 3 ? 2k

当 S ? 4 时解得 k ? 1 或 k ? 13. 解 把①代入②,有

11 ,直线 l 为 x ? y ? 1 ? 0 或 11x ? 4 y ? 10 ? 0 4


f ?1, y ? ? f ? f ? x, 0 ? , y ? ? f ? y, 0 ? ? y ? 1 ? y ,
进而

f ? x,1? ? f ?1 ? ? x ? 1? ,1?

? f f ?1, ? x ? 1? ? ,1

?

?

(由③)

? f ?1,1? ? x ? 1? ? ? 1 ? ?1 ? ? x ? 1? ? ? 1 ? ?

? x ?1
一方面由④有



f ? f ? x, y ? ,1? ? f ? x, y ? ? 1,
另一方面由②、③有



f ? f ? x, y ? ,1? ? f ?1, xy ? ? 1 ? 1 ? xy ? 1.
由⑤⑥得 即



f ? x, y ? ? 1 ? 1 ? xy ? 1 , f ? x, y ? ? xy ? 1 .

检验知 f ? x, y ? ? xy ? 1 为所求. 14.解:必定终止。变换前后三个数和虽然不变,但是平方和变小,若不终止,整数的平方 和为 0,即各整数均为零,还得终止。


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