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河南省郑州市第四十七中学2015届高三上学期第一次(10月)月考数学试题


河南省郑州市第四十七中学 2015 届高三上学期第一次(10 月)月考数学试题

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分. 1.化简 A.5 的结果为 ( B. ) C.﹣ D.﹣5 ). D.4

2.在极坐标系中,点 A( 1, ? )到直线 ? cos ? ? 2 的距离是( A.1 B.2
2

C.3

3.曲线 C1 的极坐标方程为 ? cos

? ? sin ? , 曲线 C2 的参数方程为 ?

?x ? 3 ? t ( t 为参数) ,以极点为原点, ? y ? 1? t
( )

极轴为 x 轴正半轴建立平面直角坐标系,则曲线 C1 上的点与曲线 C2 上的点最近的距离为 A.2 B. 2 C.

3 2 4


D.

7 2 8

4.下列命题中,真命题的个数有 ( ① ?x ? R, x 2 ? x ?

1 ?0; 4

② ?x ? 0, ln x ?

1 ? 2; ln x
x ?x

③“ a ? b ”是“ ac 2 ? bc 2 ”的充要条件; A.1 个 B.2 个 C.3 个

④ y ? 2 ? 2 是奇函数. D.4 个

5. 对于函数 f ( x) , 若存在常数 a ? 0 , 使得 x 取定义域内的每一个值, 都有 f ( x) ? f (2a ? x) , 则称 f ( x) 为准偶函数,下列函数中是准偶函数的是( A. f ( x) ? 6.曲线 C1 : ? 长 AB 为( ) D. f ( x) ? cos( x ? 1)

x

B. f ( x) ? x

2

C. f ( x) ? tan x

?x ? 1 ? t ? x ? 2 cos ? ,若 C1 , C 2 交于 A、B 两点,则弦 (t为参数),曲线C 2 : ? (?为参数) ?y ? 1? t ? y ? sin ?


A.

4 5

B.
2

4 2 5
2

C. 2

D.4 ,i 为虚数单位,x∈R},则 M∩N 为( )

7.设集合 M={y|y=|cos x﹣sin x|,x∈R},N={x||x﹣ |<

A.(0,1) 8.已知 f ( x) ?

B.(0,1]

C.[0,1)

D.[0,1] )

4 ? x 2 ,若 0 ? x1 ? x2 ? x3 ,则

f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x3 ) 的大小关系是( 、 、 x1 x2 x3

A.


f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x3 ) ? ? x1 x2 x3

B.

f ( x1 ) f ( x3 ) f ( x2 ) ? ? x1 x3 x2
1第

C.

f ( x3 ) f ( x2 ) f ( x1 ) ? ? x3 x2 x1

D.

f ( x2 ) f ( x3 ) f ( x1 ) ? ? x2 x3 x1

9.现有四个函数:① y ? x ? sin x ;② y ? x ? cos x ;③ y ? x? | cos x | ;④ y ? x ? 2 x 的部分图象如下: y y y y

x x X X X 则按照从左到右图象对应的函数序号排列正确的一组是( X o A.①④②③ 10.已知函数 f ( x) ? B.①④③② C.④①②③

x

x

x

) D.③④②① ).

4x ? 1 ,若 x1 ? 0, x2 ? 0 ,且 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 1 ,则 f ( x1 ? x2 ) 的最小值为( 4x ? 1
4 5

A.

1 4

B.

C.2

D.4

11.定义一个集合 A 的所有子集组成的集合叫做集合 A 的幂集,记为 P ? A ? ,用 n ? A ? 表示有限集 A 的元 素个数,给出下列命题:①对于任意集合 A ,都有 A ? P ? A ? ;②存在集合 A ,使得 n ? ? P ? A?? ? ? 3 ;③用

? 表 示 空 集 , 若 A B ? ? , 则 P ? A? P ? B ? ? ? ; ④ 若 A ? B , 则 P ? A? ? P ? B ? ; ⑤ 若
n ? A ? ? n ? B ? ? 1 ,则 n ? ? P ? A?? ? ? 2? n ? ? P ? B ?? ? 其中正确的命题个数为(
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 )

12.函数 y ? f ( x) 的定义域为 [?2,0) ? (0,2] ,其图像上任一点 P ( x, y ) 都位于椭圆 C :

x2 ? y 2 ? 1 上, 4

下列判断①函数 y ? f ( x) 一定是偶函数;②函数 y ? f ( x) 可能既不是偶函数,也不是奇函数;③函数

y ? f ( x) 可能是奇函数;④函数 y ? f ( x) 如果是偶函数,则值域是 [?1, 0)或(0,1] ;⑤函数 y ? f ( x) 值域
是 (?1,1) ,则一定是奇函数.其中正确的命题个数有 ( A.1 B.2 C.3 )个 D.4

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 13.下列说法: x x ①“?x∈R,2 >3”的否定是“?x∈R,2 ≤3”; ②函数 y=sin ? 2 x ?

? ?

??

?? ? ? sin ? ? 2 x ? 的最小正周期是 π ; 3? ?6 ?

③命题“函数 f(x)在 x=x0 处有极值,则 f′(x0)=0”的否命题是真命题;
页 2第

④f(x)是(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数,x>0 时的解析式是 f(x)=2 ,则 x<0 时的 解析式为 f(x)=-2 .其中正确的说法是______. 14 . 若 函 数 f ? x ? 是 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 , 且 在 区 间 [0. ? ?) 上 是 单 调 增 函 数 . 如 果 实 数 t 满 足
-x

x

? 1? f ?ln t ? ? f ? ln ? ? 2 f ?1? ,则 t 的取值范围是 ? t?
15.若三个非零且互不相等的实数 a、b、c 满足

.

,则称 a、 b、c 是调和的;若满 a + c = 2b a b c 足,则称 a、b、c 是等差的.若集合 P 中元素 a、b、c 既是调和的,又是等差的,则称集合 P 为“好集”. 若集合 M ? x x ≤ 2014, x ? Z ,集合 P ? ?a, b, c? ? M . 则 为 ; (2)“好集” P 的个数为

1

?

1

?

2

?

?

( 1 )“好集” P 中的元素最大值

.

16.设 S , T 是 R 的两个非空子集,如果存在 一个从 S 到 T 的函数 y ? f ( x) 满足:(i) T ? { f ( x) | x ? S } ; .. (ii)对任意 x1 , x2 ? S ,当 x1 ? x2 时,恒有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) .那么称这两个集合“保序同构”.现给出以下 4 对集合 . ① S ? R, T ? {?1,1} ;② S ? N , T ? N ;③ S ? {x | ?1 ? x ? 3}, T ? {x | ?8 ? x ? 10} ; ④
*

S ? {x | 0 ? x ? 1}, T ? R ,其中,“保序同构”的集合对的对应的序号是
(写出所有“保序同构”的集合对的对应的序号). 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 70 分.解答须写出文字说明,证明过程或演算步骤.
? ?x=2+tcos α , 17. (本题满分 10 分)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为? (t 是参数,0≤α ?y=1+tsin α ? 2 <π ),以原点 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ρ2= . 1+cos2θ (1)求曲线 C1 的普通方程和曲线 C2 的直角坐标方程; π (2)当 α= 时,曲线 C1 和 C2 相交于 M,N 两点,求以线段 MN 为直径的圆的直角坐标方程. 4

18. (本题满分 12 分)已知直线 L 经过点 P(1,1),倾斜角 α =

?
6

.

(1)写出直线 L 的参数方程; 2 2 (2)设 L 与圆 x +y =4 相交于两点 A、B,求点 P 到 A、B 两点的距离之积.
x 19(本题满分 12 分) .已知函数 f ( x) ? ?( x ? 2)( x ? m) (其中 m ? ?2 ) . g ( x) ? 2 ? 2 .

(1)若命题“ log 2 g ( x) ? 1 ”是假命题,求 x 的取值范围;
页 3第

(2)设命题 p : ?x ? R , f ( x) ? 0 或 g ( x) ? 0 ;命题 q : ?x ? (?1, 0) , f ( x) ? g ( x) ? 0 .若 p ? q 是 真命题,求 m 的取值范围.

20. (本题满分 12 分)集合 A ? {x | ( x ? 1)( x ? 2a ? 3) ? 0} ,函数 y ? lg (1)若 a ? 1 ,求集合 A ? CR B ;

x ? ( a 2 ? 2) 的定义域为集合 B. 2a ? x

(2)已知 a ? ?1 且“ x ? A ”是“ x ? B ”的必要不充分条件,求实数 a 的取值范围.

21. (本题满分 12 分) 设命题 p : 函数 f ( x) ? lg(ax 2 ? x ? 1 a ) 的定义域为 R, 命题 q : 不等式 3 x ? 1 ? 1 ? ax

16

对一切正实数 x 均成立,如果命题 p ? q 为真, p ? q 为假,求实数 a 的取值范围.

22. (本题满分 12 分)已知真命题:“函数 y ? f ( x) 的图像关于点 P (a、 b) 成中心对称图形”的充要条件 为“函数 y ? f ( x ? a ) ? b 是奇函数”. (1)将函数 g ( x) ? x ? 3 x 的图像向左平移 1 个单位,再向上平移 2 个单位,求此时图像对应的函数解析式,
3 2

并利用题设中的真命题求函数 g ( x) 图像对称中心的坐标; (2)求函数 h( x) ? log 2

2x 图像对称中心的坐标; 4? x

(3)已知命题:“函数 y ? f ( x) 的图像关于某直线成轴对称图像”的充要条件为“存在实数 a 和 b,使得函 数 y ? f ( x ? a ) ? b 是偶函数”.判断该命题的真假.如果是真命题,请给予证明;如果是假命题,请说明理 由,并类比题设的真命题对它进行修改,使之成为真命题(不必证明).



4第

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 70 分.解答须写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17 解: 【解】(1)对于曲线 C1 消去参数 t, π 当 α≠ 时,C1:y-1=tan α (x-2); 2 π 当 α= 时,C1:x=2. 2 对于曲线 C2:ρ2+ρ2cos2θ =2,x2+y2+x2=2, y2 则 C2:x2+ =1. 2 π (2)当 α= 时,曲线 C1 的方程为 x-y-1=0,联立 C1,C2 的方程消去 y 得 2x2+(x-1)2-2=0,即 3x2 4 -2x-1=0. 设 M(x1,y1),N(x2,y2),则 |MN|= 1+k2· (x1+x2)2-4x1x2 = 2× 圆心为?

?2? +4= 2× ?3? 3

2

16 4 2 = , 9 3

1 2 x1+x2 y1+y2? ,- ?, ,即? , 3 3? ? 2 ? ? 2 1 2 2 2 8 x- ? +?y+ ? = . 从而所求圆方程为? ? 3? ? 3? 9

? ? 3 ? x=1+tcos , ? x=1+ t, ? ? ? 6 2 ? ? ? 1 ? y=1+tsin , ? y=1+ t ? 6 即? ? 2 18.解:(1)直线的参数方程为 ? (t 为参数). ? 3 x=1+ t, ? ? 2 2 ? 2 ? ? 3 ? 1 ? ? y=1+ 1 t 1 + t ? ? ? ?1+ t ? 2 ? ? ? + ? 2 ? =4,t2+( 3 +1)t-2=0,t1t2=- 2 (2)把直线 ? 代入 x2+y2=4,得 ?
2,则点 P 到 A、B 两点的距离之积为 2. 19.解: (1)命题“

log 2 g ( x) ? 1 ”是假命题,则 x<2,

(2)因为 p ? q 是真命题,则 p 和 q 都为真命题.



5第

②∵当 x ? (?1, 0) 时, g ( x) ? 2 ? 2 ? 0 ,
x

∴问题转化为 ?x ? (?1, 0) ,使得 f ( x) ? 0 , 即 f ( x) ? 0 的解集与 (?1, 0) 的交集非空. 即 (?2, m)

(?1, 0) ? ? ,则 m ? ?1 ,

综合①②可知满足条件的 m 的取值范围是 ?1 ? m ? 1 法二:当 x ? 1 时, g ( x) ? 2 ? 2 ? 0 ,因为 p 是真命题,则 f ( x) ? 0 ,
x

? f (1) ? ?(1 ? 2)(1 ? m) ? 0 ,即 m ? 1
当 ?1 ? x ? 0 时, g ( x) ? 2 ? 2 ? 0 ,因为 q 是真命题,则 ?x ? (?1, 0) ,使 f ( x) ? 0 ,
x

? f (?1) ? ?(?1 ? 2)(?1 ? m) ? 0 ,即 m ? ?1
综上所述, ?1 ? m ? 1 . 考点:1.复合命题真值表;2.全称命题和存在性命题;3.方程与不等式知识. 20.解:

A ? CR B ; (2) 由于 a ? ?1 则 (1) 当 a ? 1 时,化简集合 A ,求出集合 B ;再求出 CR B 后就可求出 2a ? 3 ? 1, a 2 ? 2 ? 2a ? (a ? 1) 2 ? 1 ? 0 ? a 2 ? 2 ? 2a 所以可用 a 的式子表示出集合 A 和 B,又因为
“ x ? A ”是“ x ? B ”的必要不充分条件,所以 的取值范围. 试 题 解 析 : (1) 若

B? A
?

,从而可列出关于 a 的不等式,就可求得实数 a

a ? 1 , 则 集 合 A ? {x ( x ? 1)( x ? 5) ? 0} ? (1,5) , 集 合



6第

B ? {x

x?3 x?3 ? 0} ? {x ? 0} ? (2,3) 2? x x?2

所以 C R B ? (??,2] ? [3,??) ,从而有

A ? CR B ? (1,2] ? [3,5) ;

21.解:因为命题 p ? q 为真, p ? q 为假,所以命题 p 与命题 q 一真一假. p 为真

??? ax 2 ? x ?

a ?0 16

?a ? 0 3x ? 1 ? 1 3x 3 ?? ?a?2 a? ? ? ??0 x x( 3 x ? 1 ? 1) 3 x ? 1 ? 1 对一切 x ? 0 均成 恒成立, ? ,q 为真 ???

?a ? 2 ?a ? 2 ? ? 3 3 ? ? 3 3 3 3 ? ? a? a? a? ?a?2 ? ? 2 3 x ? 1 ? 1 ? 2 1 ? 3x ? 1 2 或? 2 ,即 2 2 ,因此 ? 立,又 从而 .
p 为真

??? ax 2 ? x ?

a ?0 16 恒成立,

?a ? 0 ?? ?a?2 ? ? 0 a ? 0 ? 当 时不合,
a? 3x ? 1 ? 1 3x 3 ? ? x x( 3 x ? 1 ? 1) 3 x ? 1 ? 1 对一切 x ? 0 均成立,

q 为真 ???

又 3x ? 1 ? 1 ? 2

?

3 3 ? 1 ? 3x ? 1 2



7第

(2)设

h( x) ? log 2

2x b) ,由题设知函数 h( x ? a ) ? b 是奇函数. 4 ? x 的对称中心为 P(a,

设 f ( x ) ? h ( x ? a ) ? b, 则

f ( x) ? log 2

2( x ? a) 2 x ? 2a ?b f ( x) ? log 2 ?b 4 ? ( x ? a) 4?a? x ,即 .

2 x ? 2a ?0 由不等式 4 ? a ? x 的解集关于原点对称,得 a ? 2 . f ( x) ? log 2 2( x ? 2) ? b, x ? (?2, 2) 2? x .

此时

任取 x ? (?2, 2) ,由 f (? x) ? f ( x) ? 0 ,得 b ? 1 ,

所以函数

h( x) ? log 2

2x 1) . 4 ? x 图像对称中心的坐标是 (2,

(3)此命题是假命题. 举 反 例 说 明 : 函 数 f ( x) ? x 的 图 像 关 于 直 线 y ? ? x 成 轴 对 称 图 像 , 但 是 对 任 意 实 数 a 和 b , 函 数

y ? f ( x ? a ) ? b ,即 y ? x ? a ? b 总不是偶函数.
修改后的真命题: “函数 y ? f ( x) 的图像关于直线 x ? a 成轴对称图像”的充要条件是“函数 y ? f ( x ? a ) 是偶函数”.



8第


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