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集合知识点总结及习题


集合复习
? ( 1) 元 素 与 集 合 的 关 系 : 属 于 ( ? ) 和 不 属 于 ( ? ) ? ? ? ( 2) 集 合 中 元 素 的 特 性 : 确 定 性 、 互 异 性 、 无 序 性 ? ? 集合与元素 ? ? ( 3) 集 合 的 分 类 : 按 集 合 中 元 素 的 个 数 多 少 分 为 : 有 限 集 、 无 限 集 、 空 集 ?

? ? ( 4) 集 合 的 表 示 方 法 : 列 举 法 、 描 述 法 ( 自 然 语 言 描 述 、 特 征 性 质 描 述 ) 、 图 示 法 、 区 间 法 ? ? ? ? ? 子 集 : 若 x ? A ? x ? B, 则 A ? B, 即 A是 B的 子 集 。 ? ? ? ? n n ? 1、 若 集 合 A中 有 n 个 元 素 , 则 集 合 A的 子 集 有 2 个 , 真 子 集 有 ( 2 - 1) 个 。 ? ? ? ? ? ? ? ? 2、 任 何 一 个 集 合 是 它 本 身 的 子 集 , 即 A ? A ? ? 注 ? ? ? ?关 系 ? ? ? 3、 对 于 集 合 A , B , C , 如 果 A ? B , 且 B ? C , 那 么 A ? C . ? ? ? ? 4、 空 集 是 任 何 集 合 的 ( 真 ) 子 集 。 ? ? ? ? ? ? 真 子 集 : 若 A ? B 且 A ? B 即 至 少 存 在 x ? B 但 x ? A) , 则 A 是 B 的 真 子 集 。 ? ( 0 0 集合 ? ? ? ? ? ?集 合 相 等 : A ? B且 A ? B ? A ? B ? ? ? ? ? ? 定 义 : A ? B ? ? x / x ? A且 x ? B ? ?集 合 与 集 合 ? ? ?交 集 ? ? ? ? 性 质 : A ? A ? A, A ? ? ? ? , A ? B ? B ? A, A ? B ? A , A ? B ? B , A ? B ? A ? B ? A ? ? ? ? ? ? ? ? 定 义 : A ? B ? ? x / x ? A或 x ? B ? ? ? ? ? 并集 ? ? ? ? ? 性 质 : A ? A ? A, A ? ? ? A, A ? B ? B ? A , A ? B ? A , A ? B ? B , A ? B ? A ? B ? B ? ? ? ?运 算 ? ? ? C ard ( A ? B ) ? C ard ( A ) ? C ard ( B ) - C ard ( A ? B ) ? ? ? ? ?定 义 : C U A ? ? x / x ? U 且 x ? A? ? A ? ? ? ? ? ? 补 集 ? 性 质 :C A ) ? A ? ? ,C A ) ? A ? U , C ( C A ) ? A, C ( A ? B ) ? ( C A ) ? ( C B ), ? ( U ( U U U U U U ? ? ? ? ? C U ( A ? B ) ? (C U A ) ? (C U B ) ? ? ? ? ? ?

一、集合有关概念 1. 集合的含义 2. 集合的中元素的三个特性: (1)元素的确定性如:世界上最高的山 (2)元素的互异性如:由 HAPPY 的字母组成的集合{H,A,P,Y} (3)元素的无序性: 如:{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 3.元素与集合的关系——(不)属于关系 (1)集合用大写的拉丁字母 A、B、C?表示 元素用小写的拉丁字母 a、b、c?表示

1

(2)若 a 是集合 A 的元素,就说 a 属于集合 A,记作 a∈A; 若不是集合 A 的元素,就说 a 不属于集合 A,记作 a ? A; 4.集合的表示方法:列举法与描述法。 (1)列举法:将集合中的元素一一列举出来,写在大括号内表示集合 的方法 格式:{ a,b,c,d } 适用:一般元素较少的有限集合用列举法表示 (2)描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法。 格式:{x |x 满足的条件} 例如:{x?R| x-3>2} 或{x| x-3>2} 适用:一般元素较多的有限集合或无限集合用描述法表示 ? 注意:常用数集及其记法: 非负整数集(即自然数集) 记作:N={0,1,2,3,?} 正整数集 N*或 N+ = {1,2,3,?} 整数集 Z {?,-3,-2,-1,0,1,2,3,?} 有理数集 Q 实数集 R 有时,集合还用语言描述法和 Venn 图法表示 例如:语言描述法: {不是直角三角形的三角形} Venn 图: 4、集合的分类: (1)有限集 (2)无限集 (3)空集 含有有限个元素的集合 含有无限个元素的集合 不含任何元素的集合 例:{x∈R|x2=-5}

二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 定义:若对任意的 x∈A,都有 x∈B,则称集合 A 是集合 B 的子集, 记为 A 注意:① A
? B

(或 B ? A)

? B

有两种可能(1)A 是 B 的一部分,;(2)A 与 B 是同一

集合。

2

②符号∈与 ? 的区别
? ? 反之: 集合 A 不包含于集合 B,或集合 B 不包含集合 A,记作 A ? B 或 B ? A

2.“相等”关系:A=B 定义:如果 A?B 同时 B?A 那么 A=B B={-1,1} “元素相同则两集合相等”

实例:设 A={x|x2-1=0}

3.真子集:如果 A?B,且存在元素 x∈B,但 x ? A,那么就说集合 A 是集合 B 的真子集,记作 A 4.性质 ① 任何一个集合是它本身的子集。A?A ②如果 A?B, B?C ,那么 A?C ③ 如果 A?B 同时 B?A 那么 A=B B(或 B A)

5. 不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集。 ? 有 n 个元素的集合,含有 2n 个子集,2n-1 个真子集 三、集合的运算
运算 类型 定 义 交 集 并 集 补 集

由所有属于 A 且属于 B 的元 素所组成的集合,叫做 A,B

由所有属于集合 A 或属 于集合 B 的元素所组成

的交集.记作 A ? B(读作 的集合,叫做 A,B 的并 ‘A 交 B’),即 A ? B= {x|x ? A,且 x ? B}. 集.记作:A ? B(读作 ‘A 并 B’),即 A ? B ={x|x ? A,或 x ? B}). 韦 恩 图 示

设 S 是一个集合,A 是 S 的一个子集, 由 S 中所有不属于 A 的元素组成的集 合,叫做 S 中子集 A 的补集(或余集) 记作 C S
A

,即

CSA= { x | x ? S , 且 x ? A }

A

B

A

B

S A

图1

图2

性 质

A ? A=A A ? Φ =Φ A ? B=B ? A A? B? A A? B? B A?B﹤=﹥A ? B=A

A ? A=A A ? Φ =A A ? B=B ? A A? B? A A? B? B A?B﹤=﹥A ? B=B

(CuA) ? (CuB) = Cu (A ? B) (CuA) ? (CuB) = Cu(A ? B) A ? (CuA)=U A ? (CuA)= Φ .

3

第一章:集合与函数的概念 第一课时:集合 1.1 集合的含义与表示 1.1.1 集合的含义:我们一般把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫做集合,简称集。通常用大 写字母 A、B、C 等表示集合,用小写字母 a、b、c 等表示元素,元素与集合之间的关系是属于和不属于。 元素 a 属于集合 A,记做 a∈A,反之,元素 a 不属于集合 A,记做 a ? A。 1.1.2 集合中的元素的特征: ①确定性:如世界上最高的山; ②互异性:由 HAPPY 的字母组成的集合{H,A,P,Y}; ③无序性:如集合{a、b、c}和集合{b、a、c}是同一个集合。 1.1.3 集合的表示方法:①列举法;②描述法;③Venn 图;④用数轴表示集合。 常用数集及记法有 非负整数集(即自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 N N+或 N* Z Q R 1.1.4 集合的分类: ①根据集合中元素的个数可分为有限集、无限集和空集。 ②根据集合中元素的属性可分为数集、点集、序数对等。 本节精讲: 一. 如何判断一些对象是否组成一个集合: 判断一组对象能否组成集合, 主要是要看这组对象是否是确定的, 即对任何一个对象,要么在这组之中,要么不在,二者必居其一,如果这组对象是确定的,那么,这组 对象就能够组成一个集合。 例:看下面几个例子,判断每个例子中的对象能否组成一个集合。 (1)大于等于 1,且小于等于 100 的所有整数; 2 (2)方程 x =4 的实数根; (3)平面内所有的直角三角形; (4)正方形的全体; (5)∏的近似值的全体; (6)平面集合中所有的难证明的题; (7)著名的数学家; (8)平面直角坐标系中 x 轴上方的所有点。 解: 练习: 考察下列各组对象能否组成一个集合,若能组成集合,请指出集合中的元素,若不能,请说明理由: (1) 平面直角坐标系内 x 轴上方的一些点; (2) 平面直角坐标系内以原点为圆心,以 1 为半径的园内的所有的点; 2 (3) 一元二次方程 x +bx-1=0 的根; (4) 平面内两边之和小于第三边的三角形 2 2 2 (5) x ,x +1,x +2; 2 (6) y=x,y=x+1,y=ax +bx+c(a≠0); 2 2 2 (7) 2x +3x-8=0,x -4=0,x -9=0; (8) 新华书店中意思的小说全体。 二.有关元素与集合的关系的问题:确定元素与集合之间的关系,即元素是否在集合中,还要看元素的属性 是否与集合中元素的属性相同。 2 2 例:集合 A={y|y=x +1},集合 B={(x,y)| y=x +1},(A、B 中 x∈R,y∈R)选项中元素与集合之间的关系都正确 的是( ) A、2∈A,且 2∈B B、(1,2)∈A,且(1,2)∈B C、2∈A,且(3,10)∈B D、(3,10)∈A,且 2∈B 解:C 练习: + 3.1415 Q; ∏ Q; 0 R; 1 {(x,y)|y=2x-3}; -8 Z;

4

三.有关集合中元素的性质的问题:集合中的元素有三个性质:分别是①确定性②互异性③无序性 2 例:集合 A 是由元素 n -n,n-1 和 1 组成的,其中 n∈Z,求 n 的取值范围。 解:n 是不等于 1 且不等于 2 的整数。 练习: 2 1. 已知集合 M={a,a+d,a+2d},N={a,aq,aq },a≠0,且 M 与 N 中的元素完全相同,求 d 和 q 的值。 2. 已知集合 A={x,
y x

,1},B={x ,x+y,0},若 A=B,则 x
2

2

2009

+y

2010

的值为

,A=B=

.

3. (1)若-3∈{a-3,2a-1,a -4}求实数 a 的值;
2

(2)若

1? m 1? m

∈{m},求实数 m 的值。

4.已知集合 M={2,a,b},N={2a,2,b },且 M=N,求 a,b 的值。 2 5.已知集合 A={x|ax +2x+1=0,a∈R},(1)若 A 中只有一个元素,求 a 的值; (2)若 A 中至多有一个元素,求 a 的取值范围。 四.集合的表示法:三种表示方法 练习; 1. 用列举法表示下列集合。 2 2 (1) 方程 x +y =2d 的解集为 ; x-y=0 2 (2)集合 A={y|y=x -1,|x|≤2,x∈Z}用列举法表示为 (3)集合 B={
8 1? x

; ; ;

∈Z|x∈N}用列举法表示为 +
|b | b

(4)集合 C={x|=

|a | a

,a,b 是非零实数}用列举法表示为

2.用描述法表示下列集合。 (1)大于 2 的整数 a 的集合; (2)使函数 y=
2 2

1 x ? x ? 1 ?? x ? 1 ?
2

有意义的实数 x 的集合;

(3){1、2 、3 、4 、?} 3.用 Venn 图法表示下列集合及他们之间的关系: (1)A={四边形},B={梯形},C={平行四边形},D={菱形},E={矩形},F={正方形}; (2)某班共 30 人,其中 15 人喜欢篮球,10 人喜欢兵乓球,8 人对这两项运动都不喜欢,则喜欢篮球但不 喜欢乒乓球的人数为 ,用 Venn 图表示为: 。 五.有关集合的分类: 六.集合概念的综合问题: 练习 1. 若
3? t 1? t ? ?t ? ,则 t 的值为

_____________;

2. 设集合 A={y|y=x2+ax+1,x∈R},B={(x,y)|y= x2+ax+1, x∈R },试求当参数 a=2 时的集合 A 和 B; 3. 已知集合 A={x|ax2-3x+2=0,a∈R},求(1)若集合 A 为空集,则 a 的取值范围;(2)若集合 A 中只有一 个元素,求 a 的值,并写出集合 A;(3)若集合 A 中至少有一个元素,则 a 的取值范围。 1.1 课后作业: 1.判断下列各组对象能否组成集合: (1)不等式 3 x ? 2 ? 0 的整数解的全体; (2)我班中身高较高的同学; (3)直线 y ? 2 x ? 1 上所有的点; (4)不大于 10 且不小于 1 的奇数。
5

2.用符号 ? 或 ? 填空: (1)2______ N (2) 2 ______ Q (3)0______

? 0?

(4) b ______ ? a , b , c ?
2

* (5)0______ N (6) 2 3 _ _ _ _ x x ?

?

11

?

(7) 3 _ _ _ _ ? x x ? n ? 1, n ? N (9) ? ? 1,1 ? _ _ _ _ ? ? x , y ? y ? x
2

*

? (8) ? ? 1,1 ? _ _ _ _ ? y

y ? x

2

?

?

3.写出下列集合中的元素(并用列举法表示): (1)既是素数又是偶数的整数组成的集合 (2)大于 10 而小于 20 的合数组成的集合 4.用适当的方法表示: 2 (1)(x+1) =0 的解集; (2)方程组 ?
?x ? y ? 1 ?x ? y ? 0

的解集;

(3)方程 3x-2y+1=0 的解集; (4)不等式 2x-1≥0 的解集; (5)奇数集; (6)被 5 除余 1 的自然数组成的集合。 2 5.集合{1,a }中 a 的取值范围。 1.2 集合间的基本关系 1.2.1 子集:一般地,两个集合 A 和 B,如果 集合 A 中的任意一个元素都是集合 B 中的元素, 我们就说这两个集合有包含关系,称集合 A 为集合 B 的子集,记做 A ? B(或 B ? A),读作“A 包含于 B” (或“B 包含 A”) 。如右图示。比如说,集合 A={1、2、3},集合 B={1、2、3、4、5},那么,集合 A 中的元素 1、2、3 都属于集合 B,所以,集合 A 为集合 B 的子集,记做 A ? B(或 B ? A)。 1.2.2 集合相等:如果集合 A ? B 且 B ? A 时,集合 A 中的元素与集合 B 中的元素是一样的,因此,集合 A 与集合 B 相等,记做 A=B。或 A ? B。 1.2.3 真子集:如果集合 A ? B ,但存在元素 x ? B ,且 x ? A ,我们称集合 A 是集合 B 的真子集。记作: A B(或 B A) 也可记作: A ? B (或 B ? A ) 1.2.4 空集:我们把不含任何元素的集合叫做空集,记做 ? ,并规定:空集是任何非空集合的子集(当然 是真子集) 本节精讲: 一. 集合间的包含与相等的问题:对于集合相等,我们要从以下三个方面入手: ① 若集合 A ? B 且 B ? A 时,则 A=B;反之,如果 A=B,则集合 A ? B 且 B ? A。这就给出了我们证明两个集 合相等的方法,即欲要证明 A=B,只需要证明 A ? B 和 B ? A 都成立就行了。 ② 两个集合相等,则所含元素完全相同,与集合中元素的顺序无关。 ③ 要判断两个集合是否相等,对于元素较少的有限集合,可以用列举法将元素列举出来,看看两个集合中 的元素是否完全相同;若是无限集合,则因从“互为子集”两个方面入手。 例:若集合 A ? { x | x ? a } , B ? { x | 2 x ? 5 ? 0} ,且满足 A ? B ,求实数 a 的取值范围. 解:
6

练习: 1.已知 A A. C.

? {x | x

2

? p x ? q ? 0}
2

,B

? { x | x ? 3 x ? 2 ? 0} 且 A ? B
2

,求实数 p、q 所满足的条件.

2. 若 {1, 2} ? { x | x

? b x ? c ? 0} ,则(

).

b ? ? 3, c ? 2

B. D.

b ? 3, c ? ? 2

b ? ?2, c ? 3

b ? 2, c ? ?3

3. 已知集合 P={x|x2+x-6=0}与集合 Q={x|ax+1=0},满足 Q≠ P,求 a 的取值组成的集合 A。 二. 有关子集以及子集个数的问题: 例 1:判定以下关系是否正确
(1 ){a} ? {a}

?

(2){1,2,3}={3,2,1}

? (3 )? ≠ {0 }

(4)0∈{0} (5) ? ={0} (6) ? ∈{0} 解 根据子集、真子集以及集合相等的概念知①②③④是正确的,后两个都是错误的.说明:含元素 0 的集合非空. 例 2:列举集合{1,2,3}的所有子集. 分析:子集中分别含 1,2,3 三个元素中的 0、1、2 或者 3 个. 解:含有 0 个元素的子集有: ? 含有 1 个元素的子集有{1},{2},{3}; 含有 2 个元素的子集有{1,2},{1,3},{2,3}; 含有 3 个元素的子集有{1,2,3}.共有子集 8 个. 例 3:已知{a、b} ? A ? {a、b、c、d},则满足条件集合 A 的个数为________. 分析:A 中必含有元素 a,b,又 A 是{a,b,c,d}子集,所以满足条件的 A 有:{a,b},{a,b,c}, {a,b,d},{a、b、c、d}。 解:共 3 个. 例 4:设集合 A={x|x=5-4a+a2,a∈R},B={y|y=4b2+4b+2,b∈R},则下列关系式中正确的 是 。
A. A= B ? C. A ≠ B B. A ? B ? D. A ≠ B

解:A 例 5:已知集合 A={2,4,6,8,9},B={1,2,3,5,8},又知非空集合 C 是这样一个集合:其各 元素都加 2 后,就变为 A 的一个子集;若各元素都减 2 后,则变为 B 的一个子集,求集合 C. 分析:逆向操作:A 中元素减 2 得 0,2,4,6,7,则 C 中元素必在其中;B 中元素加 2 得 3,4,5,7, 10,则 C 中元素必在其中;所以 C 中元素只能是 4 或 7. 答:C={4}或{7}或{4,7}. 练习:
1. 在 以 下 五 个 写 法 中 : ① { 0 } ∈ { 0 , 1, 2 } ② ? ? { 0 } ③ { 0 , 1,


2 } ? { 1, 2 , 0 } ④ 0 ∈ ? ⑤ 1∈ { x| x ? { 1, 2 } } 写 法 正 确 的 个 数 有

A.1 个

B.2 个

C.3 个
y x

D.4 个

2 . 集 合 A = {(x, y)|

= 1 } 与 B = {(x, y)| y = x} 的 关 系 是

7

A. A = B C. A ? B

B. A ? B ≠ ? D. A ≠ B

3 . 满 足 条 件 { 0 , 1 } ? M ? { 0 , 1, 2 , 3 , 4 } 的 不 同 集 合 M 的 个 数 是


A.8 个 B.7 个 C.6 个 D.5 个 4.设 I={0,1,2,3,4,5},A={0,1,3,5},B={0},则: ①0________A ②{0}________B ③CIA________CIB
④1 CIB ⑤? C IA ⑥ A B

5.已知 A={x|x=(2n+1)π , n∈Z},B={y|y=(4k±1)π ,k∈Z},那么 A 与 B 的关系为 6.已知集合 A={1,3,a},B={1,a2-a+1},且 A ? B,求 a 的值。 7.已知集合 A={x∈R|x2+3x+3=0},B={y∈B|y2-5y+6=0},
A ? P ? B, 求 满 足 条 件 的 集 合 P.




8.已知集合 A={x|x=a2+1,a∈N},B={x|x=b2-4b+5,b∈N},求证:A=B。

课后作业:

A组 1.写出集合{1,2,3}的所有子集,并指出哪些是它的真子集。 2.下列命题:①空集没有子集;②任何集合至少有两个子集;③空集是任何集合的真子集; ④若 ?
? A

,则 A

? ?

。其中正确的有( C、2 个

) D、3 个
? ? 1? x ? 2 ? y ? 3

A、0 个 3.设 x , y ? 4.已知 A

B、1 个

R , A ? ?( x , y )

? y ? 3 ? x ? 2 ?, B ? ? ( x , y ) ?

,则 A,B 的关系是_____________ ,求实数 a 的取值范围。

? ?x

? 2 ? x ? 5 ? , B ? ?x a ? 1 ? x ? 2 a ? 1? , B ? A
? ?? 1, 3 , 2 m ? 1? ,集合 B ? ?3 , m
2

5.已知集合 A

? ,若 B

? A

,则实数 m 的值。

6.设集合 A ? ?x 1 ? x ? 3 ? , B ? ?x x ? a ? 0 ? ,若 A 是 B 的真子集,求实数 a 的取值范围。 7.用适当的符号填空: ① a ____ ?a , b , c ? ④ ?0 ,1? ____ N ② 0 ____ ?x x ? 0 ?
2 2 ③ ? ______ ?x ? R x ? 1 ? 0 ?

⑤ ?0 ? _____

?x

x

2

? x

?

⑥ ?2 ,1? _____

?x

x

2

? 3x ? 2 ? 0

?

8.判断下列两个集合之间的关系: ① A ? ?1,2 , 4 ? , B ? ?x x 是 8 的约数 ? _________________ ② A ? ?x x ? 3 k , k ? N ? , B ? ?x x ? 6 z , z ? N ?
8

__________________

③ A ? ?x x ? 20 m , m ? N ? ? , B ? ?x x 是 4 与 10 的公倍数 ?

__________________

9.设集合 A ? ?x x 2 ? 4 x ? 0 ? , B ? ?x x 2 ? 2 ( a ? 1) x ? a 2 ? 1 ? 0 , x ? R ? ,若 B ? A ,求实数 a 的

值。
10.下列选项中的 M 与 P 表示同一集合的是( A、 M ? ?x ? R x 2 ? 0 . 01 ? 0 ? , P ? ?x x 2 ? 0 ? B、 M ? ?( x , y ) y ? x 2 ? 2 , x ? R ? , P ? ?( x , y ) x ? y 2 ? 2 , y ? R ? C、 M ? ?y y ? x 2 ? 1, x ? R ? , P ? ?x x ? ( y ? 1) 2 ? 1, y ? R ? D、 M ? ? y y ? 2 k , k ? Z ? , P ? ?x x ? 4 k ? 2 , k ? Z ? 11.试写出满足条件?
M



?0 , ,2 ? 的所有集合 M 1 ?0 , ,2 ? 的所有集合 M 1
2

12.写出满足条件 ?0 ? ? M 13.已知 ?1 , x ?

?2 x ? 1,1, x

? 6 ,求 x
2

?

14.已知集合 A ? ?a , a ? b , a ? 2 b ? , B ? ?a , ac , ac 15.已知集合 A ? ?x 1 ? ax ? 2 ? , B ? ?x
2

? ,若 A=B,求 c 的值。
B 的实数 a 的取值范围。

? 1 ? x ? 1? ,求满足 A

16.设集合 A ? ?2 , 8 , a ? , B ? ?2 , a ? 3 a ? 4 ? ,且 B

A,求 a 的值。

B组 1.下列命题:①空集没有子集;②任何集合至少有两个子集;③空集是任何集合的真子集;④若? 则 A ? ?其中正确的是( A、0 个 B、1 个 ) C、2 个 D、3 个 ) A,

2.已知集合 A ? ?1, 2 , 3 , 4 ? ,且 A 中至少含有一个奇数,则这样的集合 A 有( A、13 个
? ?

B、12 个
k? ? ? 2 ?

C、11 个
?
? ? ,k ? Z ? ,N ? ?x 4 ? ?

D、10 个
x ? k? 4 ?

3.设集合 M ? ? x x ?

?

? , k ? Z ? ,则( 2 ?



A、M=N 4. 已 知 集 合 A ? ?x

B、M

N

C、 M ? N

D、N

M A,则实数 k 的取值范围是

? 3 ? x ? 2 ? , B ? ?x 2 k ? 1 ? x ? 2 k ? 1? , 且 B

_________________。 5.已知集合 A ? ?x ax A、1
2

? 2 x ? a ? 0 , a ? R ,若集合 A 有且仅有 2 个子集,则 a 的取值是(

?



B、 ? 1

C、0,1

D、 ? 1 ,0,1
9

6.设 a , b ? R ,集合 ?1 , a ? b , a ? ? ? 0 ,
?

?

b

? , b ? ,则 b ? a ? ( a ?



A、1

B、 ? 1

C、2

D、 ? 2

7.已知 U ? ?1, 2 , 3 , 4 ? , A ? ?1, 3 ? ,则 C U A ? _________________ 8.已知 U ? ?1 , 3 ? , A ? ?1, 3 ? ,则 C U A ? _________________ 9.已知集合 A ? ?? 1,2 ? , B ? ?x x 2 ? 2 ax ? b ? 0 ? ,若 B ? ?且 B 10.如果数集 ?0 ,1, x ? 2 ? 中有 3 个元素,那么 x 不能取哪些值?
?2x ? 1 ? 0 ?3 x ? 6 ? 0

A,求实数 a , b 的值。

11.不等式组 ?

的解集为 A , U ? R ,试求 A 及 C U A

12.已知集合 A ? ?x

? 2 ? x ? 5 ? , B ? ?x m ? 1 ? x ? 2 m ? 1?

(1)、若 B ? A ,求实数 m 的取值范围。 (2)、若 x ? Z ,求 A 的非空真子集的个数。

1.3 集合的基本运算 1.3.1 并集:一般地,由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合,称为集合 A 与 B 的并集,记作 A ∪B,(读作“A 并 B”).即 A∪B={x|x∈A,或 x∈B}。如图 1-3-1 所示。 例如,设 A={4,5,6,8}, B={3,5,7,8},求 A∪B. 解: A∪B={4,5,6,8} ∪ {3,5,7,8}={3,4,5,6,7,8} 再比如说,设集合 A={x|-1<x<2},集合 B={x|1<x<3},求 A∪B. U 解: A∪B={x|-1<x<2} ∪ {x|1<x<3}={x|-1<x<3}

CUA

A

图 1-3-1 图 1-3-2 图 1-3-3 1.3.2 交集:一般地,由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素组成的集合,称为 A 与 B 的交集,记作 A∩B,(读 作“A 交 B”),即 A∩B={x|x∈A,且 x∈B}。如图 1-3-2 所示。 例如,设 A={4,5,6,8}, B={3,5,7,8},求 A∩B. 解: A∩B.={4,5,6,8}∩{3,5,7,8}={5 ,8} 再比如说,新华中学开运动会,设 A={x|x 是新华中学高一年级参加百米赛跑的同学} B={x|x 是新华中学高一年级参加跳高比赛的同学},求 A∩B. 解:A∩B={x|x 是新华中学高一年级既参加百米赛跑又参加跳高比赛的同学}. 1.3.4 补集:一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中所涉的所有元素,那么就称这个集合为全集,通常记 作 U. 对于一个集合 A,由全集 U 中不属于 A 的所有元素组成的集合称为集合 A 相对于全集 U 的补集, 记作 C U A ? { x | x ? U , 且 x ? A } 简称为集合 A 的补集. ,如图 1-3-3 所示。
10

例如,设 U={x|x 是小于 9 的正整数},A={1,2,3},B={3,4,5,6},求 CuA,CuB 解:根据题意可知,U={1,2,3,4,5,6,7,8},所以 CuA={4,5,6,7,8}; CuB={1,2,7,8} . 1.3.5 集合中,一些常用的运算性质:
(1) A ? A ? A ; (2) A ? ? ? ? ; (3) A ? B ? B ? A ; (4) A ? B ? A , A ? B ? B ; (5) A ? B 则 A ? B ? A ; ( 6 ) A ? A ? A ; ( 7 ) A ? ? ? A ; ( 8 ) A ? B ? B ? A ; ( 9 ) A ? Cu ( A ) ? U ; (10 )( A ? B ) ? C ? A ? ( B ? C ); (11 ) A ? ( A ? B ); (12 ) Cu ( A ? B ) ? ( CuA ) ? C u B ; (13 ) Cu ( A ? B ) ? ( CuA ) ? C u B

本节精讲 一. 有关两个集合的并集、交集的问题 )个.( )

1.已知集合 M={直线},N={圆},则 M∩N 的元素个数为( A.0 B.1 C.2

D.不确定 )

2.(2010· 江西理,2)若集合 A={x||x|≤1,x∈R },B={y|y=x2,x∈R},则 A∩B=( A.{x|-1≤x≤1} B.{x|x≥0} C.{x|0≤x≤1} D.?

3.(09· 山东文)集合 A={0,2,a},B={1,a2}.若 A∪B={0,1,2,4,16},则 a 的值为( A.0 B.1 C.2 D.4 )

)

4.(2010· 福建文,1)若集合 A={x|1≤x≤3},B={x|x>2},则 A∩B 等于( A.{x|2<x≤3} B.{x|x≥1} C.{x|2≤x<3} D.{x|x>2}

5.设集合 A={x|-1≤x<2},B={x|x<a},若 A∩B≠?,则 a 的取值范围是( A.a<2 B.a>-2 C.a>-1 D.-1<a≤2

)

6.(08· 山东文)满足 M?{a1,a2,a3,a4},且 M∩{a1,a2,a3}={a1,a2}的集合 M 的个数是( A.1 B.2 C.3
? ? ? ?

)

D.4
? ?x-1<0 ?,则 A∩B=( ? x-4 ? ? ?

7.(09· 全国Ⅱ理)设集合 A={x|x>3},B=?x? A.? B.(3,4)

)

C.(-2,1)

D.(4,+∞)

8. P、 为两个非空实数集合, 设 Q 定义集合 P+Q={x|x=a+b, a∈P, b∈Q}, P={0,1,2}, 若 Q={- 1,1,6},则 P+Q 中所有元素的和是( A.9 B.8 ) C.27 D.26 )

9.已知集合 A={x|x=2k+1,k∈N*},B={x|x=k+3,k∈N},则 A∩B 等于( A.B B.A C.N D.R

10.当 x∈A 时,若 x-1?A,且 x+1?A,则称 x 为 A 的一个“孤立元素”,由 A 的所有孤立元素组成 的集合称为 A 的“孤星集”,若集合 M={0,1,3}的孤星集为 M′,集合 N={0,3,4}的孤星集为 N′,则 M′∪N′=( A.{0,1,3,4} 二、填空题 11.若集合 A={2,4,x},B={2,x2},且 A∪B={2,4,x},则 x=________. ) B.{1,4} C.{1,3} D.{0,3}

11

12.已知 A={x|x2+px+q=x},B={x|(x-1)2+p(x-1)+q=x+1},当 A={2}时,集合 B=________. 13. (胶州三中 2009~2010 高一期末)设 A={x|x2-px+15=0}, B={x|x2+qx+r=0}且 A∪B={2,3,5}, A∩B={3},则 p=______;q=______;r=______. 三、解答题 14.已知 A={x|a≤x≤a+3},B={x|x<-1 或 x>5} (1)若 A∩B=?,求 a 的取值范围. (2)若 A∪B=B,a 的取值范围又如何? 15.设集合 M={1,2,m2-3m-1},N={-1,3},若 M∩N={3},求 m. 16.已知 A={1,x,-1},B={-1,1-x}. (1)若 A∩B={1,-1},求 x. 1 (2)若 A∪B={1,-1, },求 A∩B. 2 (3)若 B?A,求 A∪B. 1 1 当 x= 时,A∪B={1, ,-1}. 2 2 17.某班参加数学课外活动小组的有 22 人,参加物理课外活动小组的有 18 人,参加化学课外活动小 组的有 16 人,至少参加一科课外活动小组的有 36 人,则三科课外活动小组都参加的同学至多有多少人?

18.已知集合 A={x|3x-7>0},B={x|x 是不大于 8 的自然数},C={x|x≤a,a 为常数},D={x|x≥a, a 为常数}. (1)求 A∩B; (2)若 A∩C≠?,求 a 的取值集合; 7 (3)若 A∩C={x| <x≤3},求 a 的取值集合; 3 (4)若 A∩D={x|x≥-2},求 a 的取值集合; (5)若 B∩C=?,求 a 的取值集合; (6)若 B∩D 中含有元素 2,求 a 的取值集合. 二. 有关全集、补集、空集的问题

例 1 判定以下关系是否正确
? ( 1 ) { a } ? { a } ;(2){1,2,3}={3,2,1}; ( 3 ) ? ≠ { 0 } ;(4)0∈{0}

例 2 列举集合{1,2,3}的所有子集.
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? 例 3 已 知 { a , b } ? A ≠ { a , b , c , d } , 则 满 足 条 件 集 合 A 的 个 数 为 ________.

? 例 4 设 U为 全 集 , 集 合 M 、 N ≠ U, 且 N ? M , 则

[

]

例 5 设集合 A={x|x=5-4a+a2,a∈R},B={y|y=4b2+4b+2,b∈R},则下列关系式中正确的是 [
A. A= B ? C. A ≠ B B. A ? B ? D. A ≠ B

]

M 与 P 的关系是 [ A.M= UP B.M=P
C. M ?


]

P

D. M ? P

例 7 下列命题中正确的是 [ A. U( UA)={A}
B. 若 A∩ B= B, 则 A ? B ? C . 若 A = { 1, ? , { 2 } } , 则 { 2 } ≠ A
D . 若 A = { 1, 2 , 3 } , B = { x| x ? A } , 则 A ∈ B

]

例 8 已知集合 A={2,4,6,8,9},B={1,2,3,5,8},又知非空集合 C 是这样一个集合:其各 元素都加 2 后,就变为 A 的一个子集;若各元素都减 2 后,则变为 B 的一个子集,求集合 C. 例 9 设 S={1,2,3,4},且 M={x∈S|x2-5x+p=0},若 SM={1,4},则 p=________. 例 10 已知集合 S={2,3,a2+2a-3},A={|a+1|,2}, SA={a+3},求 a 的值.
kπ 2
kπ 4 π 2

例 1 1 (1 9 9 3年 北 京 高 考 题 ) 集 合 M = {x| x=



π 4

, k∈ Z}, N = {

x| x=



, k∈ Z}则

[ A.M=N

]

13

? B. M ≠ N ? C. M ≠ N

D.M 与 N 没有相同元素 三.有关集合综合运算的问题 四.学习利用 Venn 图求解集合的运算 五.有关集合新定义运算的问题

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