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高中数学必修5:等差数列与等比数列知识对比表


高中数学必修 5:等差数列与等比数列知识比较一览表
等差数列 一般地,如果一个数列 {an } 从第 2 项起,每一项与它 的前一项的差等于同一个常数 d,那么这个数列就叫 做等差数列.这个常数 d 叫公差. 等差数列的单调性: 数列 {an } 为等差数列,则 当公差 d ? 0 ,则为递增等差数列, 当公差 d ? 0 ,则为递减等差数列, 当公差 d ? 0 ,则

为常数列. 等比数列 一般地,如果一个数列 {an } 从第 2 项起,每一项 与它的前一项的比等于同一个常数 q, 那么这个数 列就叫等比数列.这个常数 q 叫公比. 等比数列的单调性: 数列 {an } 为等比数列,则 当 q ? 1 时, {a1 ? 0,则{an }为递减数列 ; 当 0<q ? 1时, {a1 ? 0,则{an }为递增数列 当 q<0 时,该数列为摆动数列. 等差数列的判定方法 等比数列的判定方法 (1)定义法:若 an ? an?1 ? d 或 (1)用定义:对任意 n,都有 an?1 ? an ? d (常数 n ? N ? ) ? ?an ? 是等差数列. a an?1 ? qan或 n?1 ? q(q为常数,an ? 0) (2)等差中项:数列 ?an ? 是等差数列 a 判定 方法
a1 ? 0,则{an }为递减数列

定 义

a1 ? 0,则{an }为递增数列

当 q=1 时,该数列为常数列,也为等差数列;

? 2an ? an-1 ? an?1 (n ? 2) ? 2an?1 ? an ? an?2 (3)通项公式: an ? kn ? b ( k , b 是常数) ? 数列 ?an ? 是等差数列 (4)前n项和公式:数列 ?an ? 是等差数列 ? Sn ? An2 ? Bn ,(其中A、B是常数)。

n

? {an } 为等比数列
(2)等比中项: an ? an?1an?1 ( an ?1an ?1 ? 0) ? {an } 为等比数列 (3)通项公式: an ? A ? Bn ? A ? B ? 0? ? {an } 为等比数列 (4)前 n 项和公式: Sn ? A ? A ? Bn或Sn ? A ' Bn ? A ' ? A, B, A ', B '为常数? ? {an } 为等比数列
2

等差数列的证明方法:只能依据定义: 证明 方法 定义法:若 an ? an?1 ? d 或 an?1 ? an ? d (常数 n ? N ) ? ?an ? 是等差数列.
?

等比数列的证明方法:只能依据定义: 若 an ? q ? q ? 0 ? ? n ? 2, 且n ? N * ? 或 an?1 ? qan
an?1

? {an } 为等比数列
①an?1 ? an ? a2 ? a1 递推 关系 ②an?1 ? an ? d (n? N )
*

①an?1 ? a2 ( n ? N )
*

(n? N )
*

an

a1

③an?1 ? an ? an ? an?1 ( n ? 2, n ? N * )



an ?1 * ? q ( q ? 0, n ? N ) an

* ③an ?1 ? an ( n ? 2, n ? N ) an an ?1

① an ? a1 ? (n ?1)d ? dn ? a1 ? d = kn ? b

推广: an ? am ? ?n ? m?d (m、 n ? N )
*

特别的,当 m=1 时,便得到等差数列的通项公式. 此公式比等差数列的通项公式更具有一般性. 通项 公式

a1 n q ? A ? Bn ? A ? B ? 0? q * n ?m 推广: an ? am ? q (m、 n ? N )
①an ? a1q
n ?1

?

an ? am a ? a1 ,d ? n , a1 ? an ? ?n ? 1?d n?m n ?1 * ②an ? pn ? q ( p, q为常数, n ? N ) 是关于 n 的一次函数,且斜率为公差 d d?
S1 (n ? 1) ③ 由 S n 的定义, an = ? ? ?S n ? S n?1 (n ? 2)

特别的,当 m=1 时,便得到等比数列的通项公式., 此公式比等比数列的通项公式更具有一般性.

q n?m ?

a an n ?1 ,q ? n , a1 ? an ? q1?n am a1
n

②an ? p ? q ( p, q是常数, q ? 0, p ? 0, n ? N * ) ③ 由 S n 的定义,
?S1 ?n ? 1? * (n? N ) ? an ? ? S n ? S ?n ? 2? ? n?1

(n? N )
*

1

等差中项: 等差 中项 等比 中项 (1)如果 a , A , b 成等差数列,那么 A 叫做 a 与
a?b 或 2A ? a ? b 2

等比中项: (1)如果 a, A, b 成等比数列,那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项.即: A ? ab 或 A ? ? ab 注意:同号的两个数才有等比中项,并且它们的 等比中项有两个(两个等比中项互为相反数) (2)数列 ?an ? 是等比数列 ? an 2 ? an?1 ? an?1
2

b 的等差中项.即: A ?

(2)等差中项:数列 ?an ? 是等差数列 若 ?an ? 等差数列:

? 2an ? an-1 ? an?1 (n ? 2) ? 2an?1 ? an ? an?2
若 {an } 为等比数列, ① 当 q ? 1 时,等比数列通项公式 ① 当公差 d ? 0 时,等差数列的通项公式 an ? a1 ? (n ?1)d ? dn ? a1 ? d 是关于 n 的一次函数, 且斜率为公差 d . ②an?1 ? an?1 ? 2an , n ? N , n ? 2 .
*

③ 当 m ? n ? p ? q 时,则有 am ? an ? a p ? aq (m、n p、q ? N*) 特别地, a1 ? an ? a2 ? an?1 ? a3 ? an?2 ? ??? 当 m ? n ? 2 p 时,则有 am ? an ? 2a p . (注:扩充到 3 项、4 项??都可以,但要保证等号 两边项数相同,下标系数之和相等.) ④?an ? 、 ?bn ? 为等差数列,则 ?an ? bn ? , 主要 性质

a1 n q ? A ? B n ? A ? B ? 0 ? 是关于 n q 的带有系数的类指数函数,底数为公比 q an ? a1q n ?1 ?
2 an?1an?1 ? an ,n ? N?,n ? 2 ② 若 p+q=s+r, p、q、s、r? N*,则 a p aq ? as ar .

特别地, a1 ? an ? a2 ? an?1 ? a3an?2 ??? 当 m ? n ? 2k 时,得 an ? am ? ak 2 , ③ 对任意 c>0,c ? 1, 若 an 恒大于 0, 则 ?logc an ? 为 ④ 若 ?an ? 、 ?bn ? 为两等比数列, 等差数列.

??an ? b?, ??1an ? ?2bn? 都为等差数列. a ⑤ 若 ?an ? 为等差数列, 对任意 c>0,c ? 1, ?c ? 为等比
n

数列.

⑥ 若 ?bn ? 为正项等差自然数列,则 abn 为等差数列. ⑦ 每隔 k(k ? N )项取出一项 ( am , am?k , am?2k , am?3k , ??? )仍为等差数列.
*

? ?

a k 则 ?an bn ? { } , {k ? an } , {an k } , {k ? an ? bn } { n } bn an
(k 为非零常数)均为等比数列. ⑤ 如果 {an } 是各项均为正数的等比数列, ⑥?bn ? 为正项等差自然数列, 则 abn 为等比数列. ⑦ 数列 {an } 为等比数列,每隔 k(k ? N )项取出一
*

⑧ 等差数列依次 n 项之和仍是等差数列.即 S n , S 2n ? S n , S3n ? S 2n ,?为等差数列, 且公差为 k d . ⑨ 若 a p ? q, aq ? p, ,且 p ? q , 则 a p ?q ? 0 (p、q ? N ).
*

则数列 {log a an } 是等差数列.

? ?

2

项 ( am , am?k , am?2k , am?3k , ??? ) 构成公比是 q 等比数列
2

k ?1



⑧ 等比数列依次 n 项之积,构成公比是 q n 的等比 数列.即数列 a1 ? a2 ????? an , an?1 ? an?2 ????? a2n ,
2

a2n?1 ? a2n?2 ??????a3n 为公比是 q k 的等比数列. ⑨ 等比数列依次 n 项和,是公比为 q n 的等比数列. n 即 S n , S 2n ? S n , S 3n ? S 2n ,?是公比为 q 的等差
数列. ①2Sn ? n(a1 ? an ) ,即 S n ? ②Sn ? na1 ? 前n项 和公式

n n(n ? 1) d d d ? n 2 ? (a1 ? )n ② 当 q ? 1 时, S ? a1 ?1 ? q ? ? a1 ? an q n 2 2 2 1? q 1? q * 2 ③Sn ? An ? Bn ( A, B是常数, n ? N ) 是关于 n 的 a a ? 1 ? 1 qn ? A ? A ? Bn ? A ' Bn ? A ' 二次函数且常数项为 0. 1? q 1? q ④ 求 Sn 的最值: 法 1:因等差数列前 n 项和是关于 n 的二次函数,故 * 可转化为求二次函数的最值,但要注意数列特殊性. ( A, B, A ', B ' 为常数, n ? N ) 法 2: (1) “首正”的递减等差数列中,前 n 项和的最

n(a1 ? an ) 2

① 当 q ? 1 时, Sn ? na1

大值是所有非负项之和,
2

an ? 0 可得 S 达到最大值 即当 a1 ? 0,d ? 0,由 ? n ? ?an?1 ? 0

时的 n 值. (2) “首负”的递增等差数列中,前 n 项和的最小值 是所有非正项之和.

?a ? 0 即 当 a1 ? 0,d ? 0,由 ? n 可得 Sn 达到最小 a ? 0 ? n ?1
值时的 n 值.或求 ?an ?中正负分界项. 法3:直接利用二次函数的对称性:由于等差数列前n 项和的图像是过原点的二次函数,故n取离二次函数 对称轴最近的整数时, S n 取最大值(或最小值) .若

S p = S q则其对称轴为 n ?
① 前 n 和项

p?q . 2

n(n ? 1) d d Sn ? na1 ? d ? n 2 ? (a1 ? )n 是关于 n 2 2 2

① 前 n 项和
Sn ? a1 ?1 ? q n ? 1? q ? a1 ? a1q n a1 a ? 1 qn ? A ? A ? Bn ? A ' Bn ? A ' 1? q 1? q 1? q

的二次函数且常数项为 0. ②S n , S 2n ? S n , S 3n ? S 2n ,?为等差数列. ③Sm?n ? Sm ? Sn ? mnd .

系数和常数项是互为相反数的类指数函数,底数 为公比 q . ②S n , S 2n ? S n , S 3n ? S 2n ,?为等比数列. ③Sm?n ? Sm ? qm Sn ? Sn ? qn Sm ④S mn ? S m (1 ? q m ? q 2m ? ? ? q ( n?1) m ) = S n (1 ? q n ? q 2n ? ? ? q ( m?1) n ) . 若|q|<1,则 lim S n ? S ? a1 . n?? 1? q ⑤ 在等比数列 {an } 中, 当项数为 2n (n ? N )时, S 偶 ? qS奇 ,.
*

1 ?S ? ④ 数列 ? n ? 为等差数列,且公差为原公差的 . 2 ?n? ⑤ 若 Sm ? Sn , m ? n, 则 Sm?n ? 0 . ⑥ 若 S p ? q, S q ? p, 且 p ? q ,
则 S p?q ? ?( p ? q), p、q ? N .
*



⑧ 当项数为 2n,则 S 2n ? n?an ? an?1 ?, 前n项 和性质 且 S偶 - S奇 ? nd , S奇 ? a n S偶 a n ?1 项数为奇数的等差数列各项和等于项数乘以中间项. 即当项数为 2n-1, 则 an 是项数为 2n-1 的等差数列的 中间项: S 2n-1 ? ?2n - 1? ? a n , 且 S奇 - S偶 ? a n ,

Sn Sn?m ? Sm * ,n>2m,m、n ? N . ? n n ? 2m

若项数为 2n+1 (n ? N )时, qS偶 ? S奇 ? a1
*

⑥a1 ? a2 ????? an = a1 ? q ⑦

n

n ? n ?1? 2

= ?a1 ? a n ? 2

n

S奇 S偶

?

n , n -1

( S 奇 ? nan , S偶 ? ?n - 1?a n ). 当项数为奇数 2n ? 1 时, an ?1 是项数为 2n+1 的等差 数列的中间项:
S2 n?1 ?

? 2n ? 1?? a1 ? a2n?1 ? ?
2

? 2n ? 1? an?1 .

⑨?an ? 、 ?bn ? 为等差数列的前 n 和分别为 An 、 Bn , 则

an A2 n ?1 . ? bn B2 n ?1
3

等差数列相关技巧: (1)等差数列的通项公式及前 n 和公式中,涉及到 5 个元素: a1 、 d 、 n 、 an 及 Sn ,其中 a1 、 d 称作 为基本元素。只要已知这 5 个元素中的任意 3 个,便 可求出其余 2 个,即知 3 求 2. (2)设项技巧: ①一般可设通项 an ? a1 ? (n ?1)d ②奇数个数成等差, 可设为?, a ? 2d , a ? d , a, a ? d , a ? 2d ? (公差为 d ) ; 相关 技巧 ③偶数个数成等差, 可设为 a ? 3d , a ? d , a ? d , a ? 3d ,? (注意;公差为 2 d ) (3) Sn ? Sn?1 ? an (n ? 2) ,对于任何数列都适用, 但求通项时记住讨论当 n ? 1 的情况. (4)解决等差数列问题时,通常考虑两类方法:

等比数列相关技巧: (1)等比数列的通项公式及前 n 和公式中,涉及 到 5 个元素: a1 、 q 、 n 、 an 及 Sn ,其中 a1 、 q 称作为基本元素。 只要已知这 5 个元素中的任意 3 个,便可求出其余 2 个,即知 3 求 2. (2)为减少运算量,要注意设项的技巧,一般可 设为通项: an ? a1q n?1 如奇数个数成等比,可设为?,

a a , , a, aq, aq 2 ? q2 q
(公比为 q ,中间项用 a 表示) . 注意隐含条件公比 q 的正负. (3)注意:在含有参数的数列时,若是等比数列, 一定要考虑到公比 q ? 1 的特殊情况. (4)解决等比数列问题时,通常考虑两类方法: ①基本量法:转化为关于 a1 和 q 的方程(组) ; 以化繁为简,减少运算量. 关于等差、等比两个引申: ; an ? kan?1 ? b 模式(其中 k , b 为常数, n ? 2 ) . an ? pan?1 ? pn 模式(其中 p 为常数, n ? 2 )

①基本量法:即运用条件转化为关于 a1 和 d 的方程; ②巧妙运用等比数列的性质,一般地运用性质可 ②巧妙运用等差数列的性质, 一般地运用性质可以化 繁为简,减少运算量.

其它

4

5


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