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三角函数的恒等变化


三角恒等变换
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2.两角和与差、二倍角公式 cos(α + β )=cosα cosβ -sinα sinβ ; cos(α -β )=cosα cosβ + sinα sinβ sin(α +β )=sinα cosβ + cosα sinβ , sin(α -β )=sinα cosβ - cosα sinβ
tan(α

+β ) =

tan ? ? tan ? 1 ? tan ? tan ? tan ? ? tan ? 1 ? tan ? tan ?

tan(α -β ) =

sin 2? ? 2 sin ? cos?
2 sin ? cos?
tan 2? ? 2 tan ? 1 ? tan 2 ?

cos2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2 cos2 ? ? 1 ? 1 ? 2 sin

cos2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2 cos2 ? ? 1 ? 1 ? 2 sin 2 ?
cos 2 ? ? 1 ? cos 2? , 2 sin 2 ? ? 1 ? cos 2? 2

asinα + bcosα =
值由 tg ? =

a 2 ? b 2 sin(α + ? ). (其中 ? 所在位置由 a,b 的符号确定, ? 的

b 确定)。 a

正、余弦函数的两角和与差、二倍角公式中的 ?,? 是任意角,即对任意角 ?,? 来说公式 都成立.要注意正切函数自身的定义域对正切函数的两角和与差公式及二倍角公式中 ?,? 的范围的限制.

π ?,? 中有一个角是 2 的整数倍时,利用正、余弦函数的诱导公式比较简便,和 3.当 (差)角公式可以看成是诱导公式的推广,诱导公式可以看成是和(差)角公式的特例. 4.二倍角公式的推导过程充分体现了由一般到特殊的化归思想,使二倍角三角函数能 够用它的简单三角函数表示. 5.要注意两角和与差以及二倍角的相对性,熟悉“角的演变”规律,
如 2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ) ; ? ? (? ? ? ) ? ? ? (? ? ? ) ? ? ;

??

? ??
2

?

? ??
2

? (? ? 2? ) ? (? ? ? )



2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ) ;

? ? ? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ) , 15? ? 45? ? 30? ;
π π ?π ? ?? ? ? ? ?? ? 4 2 ?4 ?, ? 3π ? ?π ? π ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (? ? ? ) ? ? 4 ? ?4 ? 2 ;

? 3? 还有 ? 有 2 的倍角, 3? 是 2 的倍角等.三角函数式中往往出现较多的差异角,注意观察
角与角之间的和、差、倍、半、互补、互余等关系,运用角的变换,化复角为单角或想方设 法减少未知角的数目,沟通条件角与结论角的联系,使问题顺利获解. 6.在三角函数运算、求值、证明中,有时需要将常数转化为三角函数值,尤其要重视常数
2 2 “1”的各种变形,这样,就增加了多种可用的工具.常见的代换有: 1 ? sin ? ? cos ? ,

1 ? tan 45? 等,在具体的三角变换过程中,可以添加在任意位置,往往能起到意想不到的效

果. 7.三角公式作为恒等式,在运用时,不能仅局限于它的正用,还应熟悉公式的逆用和变形
tan(? ? ? ) ? tan ? ? tan ? 1 ? tan ? tan ?

应 用 . 比 如 对 于 公 式

, 应 注 意 其 两 种 变 形 :

tan ? ? tan ? ? tan(? ? ? )(1 ? tan ? tan ? ) 和 ·

1 ? tan ? tan ? ? ·

tan ? + tan ? tan(? ? ? ) ,这些都是在解题中

经常用到的.

练习: 1.函数 f ( x) ? sin x cos x 最小值是 A.-1 B. ?

1 2

C.

1 2

D.1

2.若函数 f ( x) ? (1 ? 3 tan x)cos x , 0 ? x ? C. 3 ? 1

?
2

,则 f ( x ) 的最大值为

A.1

B. 2

D. 3 ? 2

3、已知函数 f ( x) ? 3sin ? x ? cos ? x(? ? 0) , y ? f ( x) 的图像与直线 y ? 2 的两个相邻交点 的距离等于 ? ,则 f ( x ) 的单调递增区间是 (A) [k? ? ? , k? ? 5? ], k ? Z 12 12 (C) [k? ? ? , k? ? ? ], k ? Z 3 6

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(B) [k? ? 5? , k? ? 11? ], k ? Z 12 12 (D) [k? ? ? , k? ? 2? ], k ? Z 6 3
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4、在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, B ? (Ⅰ)求 sin C 的值; (Ⅱ)求 ?ABC 的面积. (Ⅰ)∵A、B、C 为△ABC 的内角,且 B ? ∴C ?

?
3

, cos A ?

4 ,b ? 3 . 5

?
3

, cos A ?

2? 3 ? A,sin A ? , 3 5

4 , 5

∴ sin C ? sin ?

3 1 3? 4 3 ? 2? ? . ? A? ? cos A ? sin A ? 2 10 ? 3 ? 2
3 3? 4 3 ,sin C ? , 5 10

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 sin A ? 又∵ B ?

, b ? 3 ,∴在△ABC 中,由正弦定理,得 3 b sin A 6 ? . ∴a ? sin B 5
∴△ABC 的面积 S ?

?

1 1 6 3 ? 4 3 36 ? 9 3 ab sin C ? ? ? 3 ? ? . 2 2 5 10 50

变式练习:△ ABC 中, A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,

tan C ?
(1)求 A, C ;

sin A ? sin B , sin( B ? A) ? cos C . cos A ? cos B

(2)若 S?ABC ? 3 ? 3 ,求 a , c .

w.w.w. k. s.5.u.c.o.m

5、设函数 f(x)=cos(2x+

? 2 )+sin x. 3
1 C 1 , f( )=- , C 为锐角, sinA. 且 求 3 4 3

(Ⅰ)求函数 f(x)的最大值和最小正周期. (Ⅱ) A,B,C 为 ? ABC 的三个内角, cosB= 设 若

6、已知 tan

?
2

=2,求: (I) tan(? ?

?
4

) 的值;

(II)

6sin ? ? cos ? 的值. 3sin ? ? 2 cos ?

7、求函数 y ? 7 ? 4sin x cos x ? 4cos2 x ? 4cos4 x 的最大值与最小值。

课后练习:
? ? 1、 sin105 cos105 的值为





1
A. 4

1 B.- 4
f ( x) ? cos 2 x ? 1 2 的周期为

3 C. 4

3 D.- 4

2、函数





? A. 4
tan(? ? ? ) ?
3、已知

? B. 2

C. 2?

D. ?

2 ? ? 1 tan(? ? ) tan( ? ? ) ? 5, 4 等于 4 4 ,则





1 A. 6

13 B. 22

3 C. 22

13 D. 18
( )

1 ? tan15 ? 4、化简 ,其结果是 1 ? tan15 ?
A.1 B. ?1 C. 3 D. ? 3

x ? [0, ] 6 的最小值为 5. 函数 y ? sin x ? cos x ,
4 2

?





3 A. 4

13 7 B. 16 C. 8

D.1

π π 1 6. 曲线 y=2sin(x + )cos(x - )和直线 y= 在 y 轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为 4 4 2 P1,P2,P3,?,则|P2P4|等于 A .π B .2π ( C. 3π D .4π ( ) )

7. 锐角三角形 ABC 中,若 A ? 2 B ,则下列叙述正确的是

① sin 3B ? sin 2c ②

tan

3B c tan ? 1 2 2

?
③6

?B?

?
4

a ? ( 2, 3] ④b
D.④① ( )

A.①② B.②③ C.③④ ? 3 ? ? ? ( , ? ),sin ? ? , tan(? ? ) 2 5 则 4 等于 8. 已知

1 A. 7

B. 7

1 C. 7 ?

D. ?7 ( )

9. 设 a b c 分别是Δ ABC 的三个内角 ABC 所对的边,则 a2=b(b+c)是 A=2B 的 A.充要条件 B.充分而不必要条件 C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

10. 如果 ?A1B1C1 的三个内角的余弦值分别等于 ?A2 B2C2 的三个内角的正弦值,则( A. B. C.



?A1B1C1 和 ?A2 B2C2 都是锐角三角形 ?A1B1C1 和 ?A2 B2C2 都是钝角三角形

?A1B1C1 是钝角三角形, ?A2 B2C2 是锐角三角形 ?A1B1C1 是锐角三角形, ?A2 B2C2 是钝角三角形
? 3? ? ,? ? 4 ? ,sin( ?

D.

?? 11. 已知 ? , ? ?

3 , sin ? ? ? ? ? ? 12 , cos?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? )=- 5 4 ? 13 则 ? 4 ? =___ ? 2 3 ,则 sin A ? cos A ? _______ y ?| sin( 2 x ?

_.

12. 若 ?ABC 的内角 A 满足

sin 2 A ?

?
3

)|

13. 给出下面的 3 个命题: (1)函数

? 的最小正周期是 2 ; (2)函数

y ? sin( x ?

3? 5? 5? 3? [? , ) x? y ? sin( 2 x ? ) ) 2 上单调递增; 4 是函数 2 的图象的 2 在区间 (3)


一条对称轴.其中正确命题的序号是

14 已 知 ?ABC 中 , a 、 b 、 c 是 三 个 内 角 A 、 B 、 C 的 对 边 , 关 于 x 的 不 等 式

x2 cos C ? 4 x sin C ? 6 ? 0 的解集是空集.
(1)求角 C 的最大值;

c?
(2)若

7 3 S? 3 2 , ?ABC 的面积 2 ,求当角 C 取最大值时 a ? b 的值.


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