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福建省福州市2011届高三数学毕业班质量检查 理


届高三高中毕业班质量检查数学试题( 福建省福州市 2011 届高三高中毕业班质量检查数学试题(理)
参考公式: 样本数据 x1 , x 2 ,L x n 的标准差 锥体体积公式

S=

1 [( x1 ? x) 2 + ( x 2 ? x) 2 + L + ( x n ? x) 2 ] n

V =

>
1 Sh 3

其中 x 为样本平均数 柱体体积公式

其中 S 为底面面积, 为高 h 球的表面积、体积公式

V = Sh

S = 4πR 2 , V =

4 3 πR 3

其中 S 为底面面积,h 为高 其中 R 为球的半径 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是正确的,将正确答案填写在答题卷相应位置。 ) 1.设 a ∈ R, 且( a ? i ) ? 2i (i 为虚数单位)为正实数,则 a 等于 ( ) B.0

A.1

C.-1

D.0 或-1

2 . 设 全 集 U=R , 集 合 A = {x | x 2 + x + 1 ≥ 0}, B = {x | x ≥ 3} , 则 A I (CU B ) = ( A. {x | x < 3} ) C. {x | x ≤ 0}
2 2

B. {x | 0 < x ≤ 3}

D. {x | x > 3}

3.若 a,b 均为实数,则“ a > b > 0 ”是“ a > b ”的 ( A.充分不必要条件 C.充要条件 ) B.必要不充分条件 D.既非充分也非必要条件

4.函数 f ( x ) = 2 x ? x ? 2 的一个零点所在区间是 A. (0,1) ( ) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,4)

5.直线 x + ( a 2 + 1) y + 1 = 0 的倾斜角的取值范围是 ( A. [0, )

π
4

]

B. ?

? 3π ? ,π ? ? 4 ? ? π π ? ? 3π ? , ?U ,π ? ?4 2? ? 4 ? ?

C



[0, ] U ( , π ) 4 2

π

π

D. ?

6.如图,四边形 ABCD 中,AD//BC,AD=AB, ∠BAD = 90°, ∠BDC = 90° ,将 ?ABD 沿 BD
1

折起,使平面 ABD ⊥ 平 面 BCD,则在三棱 锥 A —BCD 中,下列命题中 正确的是 ( ) A.平面 ABD ⊥ 平面 ABC B.平面 ADC ⊥ 平面 BDC C.平面 ABC ⊥ 平面 BDC D.平面 ADC ⊥ 平面 ABC 7.右边图象中,有一个是函数 f ( x ) =

1 3 x + ax 2 + (a 2 ? 1) x + 1(a ∈ R, a ≠ 0) 的导函数 3

y = f '( x) 的图象,则 f (?1) 等于
( )

A.

8.已知点 G 是 ?ABC 的重心,过 G 作直线与 AB,AC 两边分别交于 M,N 两点,且

1 3

B. ?

1 3

C.

7 3

D. ? 或

1 3

5 3

uuuu r uuu uuur r uuur xy AM = x AB, AN = y AC ,则 的值为 x+ y
( A.3 B. )

1 3

C.2

D.

1 2

9.如果我们把四个都是直角三角形的四面体称为“三节棍体” ,那么从长方体八个顶点中任 取四个顶点,则这四个顶点是“三节棍体”的四个顶点的概率是 ( ) A.

8 35

B.

9 35

C.
3

12 35

D.

13 35

10.设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,已知 (a5 ? 1) + 2011( a5 ? 1) = 1,

(a2007 ? 1)3 + 2011(an 2007 ? 1) = ?1, 则下列结论中正确的是
( A. S 2011 = 2011, a2007 < a5 C. S 2011 = ?2011, a2007 ≤ a5 ) B. S 2011 = 2011, a2007 > a5 D. S 2011 = ?2011, a2007 ≥ a5

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,将正确答案填写在答题卷相应位置) 11 .已知 随机变量 X 服从 正态分 布 N (4,12 ) ,且 P (2 < X ≤ 6) = 0.9544, 则P(X>6) 等 于 12.
π
?

。 。

∫ π | sin x | dx 等于

2

13.右图为函数 f ( x ) = A sin(ω x + ? ) + B (ω > 0, A > 0,| ? |< 一部分,则 f ( x ) 的解析式为 。

π
2

) 图象的

?x ≥ 1 ? ,内有一个圆,向该区域内随机投点,将点落在圆内的概 14.在平面区域 ? y ? 1 ≥ 0 ?3x + 3 y ? 19 ≤ 0 ?
率最大时的圆记为⊙M 则⊙M 的方程为 。

15













{an }中, 0 < a1 < a4 = 1









A = {n | (a1 ?

1 1 1 ) + (a2 ? ) + L + (an ? ) ≤ 0 , n ∈ N *} 则集合 A 中元素的个数 a1 a2 an

为 。 三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写在答题卷相应位置,要写出文字说明、 证明过程或演算步骤。 ) 16. (本小题满分 13 分) 已知数列 {an } 满足如图所示的程序框图。 (I)写出数列 {an } 的一个递推关系式; (II)证明: {an +1 ? 2an } 是等比数列; (III)证明 {

an } 是等差数列,并求 {an } 的通项公式。 2n

17. (本小题满分 13 分)

?ABC 中,角 A,B,C 所对应的边分别为 a,b,c,若
(I)求角 A 的大小;

a?c sin B = b ? c sin A + sin C

(II)若 f ( x ) = 2 cos 2 ( x + A) + cos(2 x ? 2 A) ,求 y = f ( x) 的最小正周期与单调递增 区间。

18. (本小题满分 13 分) 已知某几何体的三视图如图所示,其中 P ', P '', P '' 分别是该几何体的一个顶点 P 在 三个投影面上的投影, A ', B ', C ', D ' 分别是另四个顶点 A,B,C,D 的投影。

3

(I)从①②两个图中选择出该几何体的直观图; (II)求直线 PA 与平面 PBC 所成角的正弦值; (III)设平面 PAD 与平面 ABC 的交线为 l ,求二面角 A— l —B 的大小。 19. (本小题满分 13 分) 某飞船返回仓顺利返回地球后, 为了及时救出航天员, 地面指挥中心在返回仓预计 到达的区域内安排了三个救援中心 (如图 1 分别记为 A, C) B 地在 A 地正东方向上, B, , 两地相距 4km, 假设 P 为航天员着陆点, 两地相距 6km; C 地在 B 地北偏东 30° 方向上, 某一时刻 A 救援中心接到从 P 点发出的求救信号,经过 4s 后,B、C 两个救援中心也同 时接收到这一信号,已知该信号的传播速度为 1km/s。 (I)求 A、C 两上救援中心的距离; (II)求 P 相对 A 的方向角; (III)试分析信号分别从 P 点处和 P 点的正上方 Q 点(如图 2,返回仓经 Q 点垂直落至 P 点)处发出时,A、B 两个救援中心收到信号的时间差的变化情况(变大还是变 小) ,并证明你的结论。

20. (本小题满分 14 分) 设定义在区间 [ x1 , x 2 ] 上的函数 y = f (x ) 的图像为 C,点 A、B 的坐标分别为

( x1 , f ( x1 )), ( x 2 f ( x 2 )) 且 M ( x, f ( x)) 为图像 C 上的任意一点, 为坐标原点, O 当实数 λ
满足 x = λx1 + (1 ? λ ) x 2 时,记向量 ON = λ OA + (1 ? λ )OB.若 | MN |≤ k 恒成立,则 称函数 y = f (x ) 在区间 [ x1 , x 2 ] 上可在标准 k 下线性近似,其中 k 是一个确定的正数。 (Ⅰ)求证:A、B、N 三点共线

4

(Ⅱ)设函数 f ( x) = x 在区间[0,1]上可的标准 k 下线性近似,求 k 的取值范围;
2 m m +1 (Ⅲ)求证:函数 g ( x ) = ln x 在区间 (e , e )(m ∈ R ) 上可在标准 k =

1 下线性近似。 8

(参考数据:e=2.718,ln(e-1)=0.541)

21. (本小题满分 14 分) 本题共有(1)(2)(3)三个选答题,每题 7 分,请考生任选 2 题作答,满分 14 分。 、 、 如果多做,则以所做的前 2 题计分。作答时,先用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题 号涂黑,并将所选题号填入括号中。 (1) (本小题满分 7 分)选修 4—2:矩阵与变换 变换 T1 是逆时针旋转 90°的旋转变换,对应的变换矩阵为 M1,变换 T2 对应的变换 矩阵是 M 2 = ?

?1 1 ? ?; ? 0 1?

(I)求点 P(2,1)在 T1 作用下的点 Q 的坐标; (II)求函数 y = x 2 的图象依次在 T1,T2 变换的作用下所得的曲线方程。

(2) (本小题满分 7 分)选修 4-4:极坐标系与参数方程 从极点 O 作一直线与直线 l : ρ cos θ = 4 相交于 M,在 OM 上取一点 P,使得

OM ? OP = 12.
(Ⅰ)求动点 P 的极坐标方程; (Ⅱ)设 R 为 l 上的任意一点,试求 RP 的最小值。

5

(3) (本小题满分 7 分)选修 4-5:不等式选讲 已知 f ( x ) =| 6 x + a | . (Ⅰ)若不等式 f ( x ) ≥ 4 的解集为 {x | x ≥

1 5 或x ≤ ? } ,求实数 a 的值; 2 6

(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,若 f ( x ) + f ( x ? 1) > b 对一切实数 x 恒成立,求实数 b 的取 值范围。

参考答案 一、选择题 1. B 2. A 二、填空题 11. 0. 0228

3. A

4. B

5. B

6. D

7. B

8. B
2

9. C
2

10. A

12. 4

13. f ( x) = 2 sin(

2x π + ) +1 3 6

14.(x-2)+ y-2)=1. 15. 7 (

三、解答题: 16.解:(Ⅰ)由程序框图可知, 数列{an}的一个递推关系式: a1=1,a2=1,an+2=4an+1-4an, (n∈N+)………4 分 (Ⅱ)由 an+2-2an+1=2(an+1-2an), 且 a2-2a1=-1 ∴ 数列{an+1-2an}是以-1 为首项,2 为公比的等比数列. ………8 分 a 1 a 1 n-1 a (Ⅲ) 由(Ⅱ)有 an+1-2an=-2 , n +1 ? n = ,又 1 = n +1 n 2 2 4 21 2

∴ 数列 { ∴

an 1 } 是以 1 为首项, ? 为公差的等差数列. n 4 2 2

an 1 1 3? n n = + (? )(n ? 1), an = ( ) ? 2 ………13 分 n 2 2 4 4 a?c sin B a?c b 17.解:(Ⅰ)由 ,得 , = = b ? c sin A + sin C b?c a+c 2 2 2 1 π 即 a =b +c -bc,由余弦定理,得: cos A = , A = . ………6 分 2 3 (Ⅱ)f(x)=1+cos(2x+2A)+cos(2x-2A)=1-cos2x

6

故 f(x)的最小正周期 T= π , 由 2k π ≤2x≤2k π + π (k∈Z),得 f(x)的单调递增区间为

2 18.解:(Ⅰ)图①为该几何体的直观图; ………3 分 D (Ⅱ)依题意,平面 PBC⊥平面 ABC, x M 平面 PBC∩平面 ABC=BC,取 BC 中点 O,连接 PO, 则 PO⊥BC,PO⊥平面 ABC D.取 AD 中点 M, A 则 OM⊥B C.如图建立空间直角坐标系 O-xyz.

[kπ , kπ +

π

z

]( k ∈ Z ) .………13 分

P

C O y B

P(0,0,2),A(2,1,0), PA = (2,1,?2) ,
又平面 PBC 的一个法向量为 m = (1,0,0), cos < PA, m >= ∴直线 PA 与平面 PBC 所成角的正弦值为

PA ? m | PA || m |

=

2 , 3

2 .………9 分 3

(Ⅲ)法 1:∵D(2,-1,0), DA = (0,2,0), PA = ( 2,1,?2) , 设 n = ( x, y, z ) 为平面 PAD 的一个法向量,则 ?

r 2y = 0 ,取 n = (1, 0,1) ?2 x + y ? 2 z = 0

?

ur r ur r m?n 1 cos < m, n >= ur r = | m|?| n | 2
∴二面角 A-l-B 的大小为 45°. ………13 分 法 2:平面 PBC∩平面 PAD=l,BC//AD ? BC//平面 PAD ? BC//l,OP⊥l,MP⊥l

? ∠MPO 就是二面角 A-l-B 的平面角, tan ∠MPO = MO = 1 .
PO
∴二面角 A-l-B 的大小为 45°. ………13 分 19.解: (1)以 AB 中点为坐标原点,AB 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系,则

A( ?3, 0) ,B ( 3, 0) ,C 5, 2 3 则 AC =

(

)

(5 + 3)2 + ( 2

3

)

2

= 2 19 km

即 A、C 两个救援中心的距离为 2 19 km .………3 分 (2)∵| PC| =| PB| , 所以 P 在 BC 线段的垂直平分 线上. 又 ∵| PB|?| PA| = 4 ,所以 P 在以 A、B 为焦点的双 曲线的左支上,且 AB = 6

∴双曲线方程为

x y ? = 1 ( x < 0) 4 5

2

2

7

BC 的垂直平分线的方程为 x + 联立两方程解得: x = ?8

3y ? 7 = 0

∴P ?8 , 5 3 ,k PA = tan ∠PAB = ? 3
∴∠PAB=120°所以 P 点在 A 点的北偏西 30°方向上. ………9 分 (3) 如图, PQ = h, PB = x, PA = y ∵ QB ? QA = 设

(

)

x +h ? y +h
2 2 2

2

=

x ?y
2

2

x +h +
2 2

y +h
2

2

= ( x ? y )·

x+y x +h + y +h
2 2 2 2

又∵

x+y x 2 + h2 + y 2 + h2

<1

∴ QB ? QA < PB ? PA ∴

QB

1

?

QA

1

<

PB

1

?

PA

1

即从 P 点的正上方 Q 点处 A、B 收到信号的时间差比从 P 点处 A、B 收到信号的时间差变 小. ………13 分

uuur uuu r uuu r uuur uuu r 20.解(Ⅰ)由 ON =λ OA +(1-λ) OB 得到 BN =λ BA ,

所以 B,N,A 三点共线. ………3 分
uuur uuu r uuu r (Ⅱ)由 x=λ x1+(1-λ) x2 与向量 ON =λ OA +(1-λ) OB ,得 N 与 M 的横坐标

相同. 2 , , 对于 [0,1]上的函数 y=x ,A(0,0) B(1,1) 2 uuuu r uuuu r 则有 MN = x ? x 2 = ? x ? 1 + 1 ,故 MN ∈ ?0,1 ? ; ? ? 2 4 ? 4?

(

)

所以 k 的取值范围是 ? 1 , ∞ .………8 分 + ?4 ?
(Ⅲ)对于定义在 ?em,e m+1 ? 上的函数 y = ln x ,A( em,m ) B( em +1,m + 1 ) , , ? ?
则直线 AB 的方程 y ? m = 令 h( x) = ln x ? m ?
m +1

)

e

1 ( x ? e m ) ,………10 分 m ?e

1 ( x ? e m ) ,其中 x ∈ ?em,em +1 ? ( m ∈ R ) , ? ? e m +1 ? e m

于是 h′( x) = 1 ? m +11 m , x e ?e 列表如下: (e ,e - m e) +
m m+1

x
h' ( x)

e

m

e -e 0

m+1

m

(e -e ,e ) -

m+1

m

m+1

e

m+1

8

h( x )

0



h(e m +1 ? em )



0

uuuu r 则 MN = h ( x ) ,且在 x = e m +1 ? em 处取得最大值,

又 h(e m +1 ? em ) = ln ( e ? 1) ? 21. 解: (1)解: (Ⅰ) M 1 = ?

e?2 1 ≈ 0.123 < ,从而命题成立. e ?1 8

………14 分

? 0 ?1 ? ?, ?1 0 ?

? 2 ? ? ?1 ? M1 ? ? = ? ? , ?1? ? 2 ?

点 P(2,1)在 T1 作用下的点 Q 的坐标为(-1,2) ………4 分 (Ⅱ) M = M 2 M 1 = ? ?1 ? 的点是(x0,y0),则 ? ?

? 1 ? 1? ? ,设(x,y)为变换后图象上任意一点,与之对应的变换前 0? ?

? x0 = y ?1 ? 1?? x0 ? ? x0 ? y 0 ? ? x0 ? y 0 = x ?,∴ ? ?? ? = ? ,即 ? . ?? y ? ? x ? ?1 0 ?? 0 ? ? 0 ? ? x0 = y ? y0 = y ? x
2

故所求的曲线方程为 y-x=y ………7 分 (2)解: (Ⅰ)设动点 P 的极坐标为 ( ρ , θ ) ,点 M 的极坐标为 ( ρ 0 , θ 0 ) ,则 ρρ 0 = 12 , 又 ρ 0 cos θ = 4,∴ ρ = 3 cos θ (扣除极点) 即动点 P 的极坐标方程为 ρ = 3cos θ (扣除极点); ………4 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)易知动点 P 的轨迹是以(1.5,0)为圆心,1.5 为半径的圆, 故 RP 的最小值为 1. ………7 分 (3) 解(Ⅰ)由 f(x)≥4 得|6x+a|≥4,解得 x ≥

4?a ?4?a 或x ≤ ,依题意, 6 6

? 4?a 1 = ? 6 2 ,∴ a = 1 ;………4 分 ?? 4 ? a 5 ? =? 6 ? 6
(Ⅱ)当 a=1 时,f(x)=|6x+1|.f(x+1)=|6x+7|,f(x-1)=|6x-5| f(x+1)+f(x-1)= |6x+7|+|6x-5|≥|(6x+7)-(6x-5)|=12,∴b<12. ………7 分

9


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