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1.3.1函数的单调性2


观察下列各个函数的图象,并说说它们 分别反映了相应函数的哪些变化规律:

1、观察这三个图象,你能说出图象的特征吗? 2、随x的增大,y的值有什么变化?

画出下列函数的图象,观察其变化规律:

f(x) = x

上升 1、从左至右图象上升还是下降 ____?

∞,+∞)

上,随着x的增大,f(x)的值随 2、在区间 (________ 着 ______ 增大 .

画出下列函数的图象,观察其变化规律:

f(x) = x2

∞,0]上, f(x) 的值随着 x 的增大而 1 、在区间 (____ 减小 . ______ 2、 在区间 (0,+∞) _____ 上,f(x)的值随着x的增大而 增大 . _____

x f(x)=x2

… -4 -3 -2 -1 0 1 … 16 9 4 1 0 1

2 4

3 4 … 9 16 …

在区间?0, ? ? ?上任取两个x1 , x2,得到f ( x1 ) ? x12 , 们就说函数f ( x) ? x 在区间?0, ? ? ?上是增函数.
2

f ( x2 ) ? x ,当x1 ? x2时,有f ( x1 ) ? f ( x2 ),这时我
2 2

一、函数单调性定义 1.增函数

一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果对 于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1 , x2,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就说f(x) 在区间D上是增函数.

2.减函数

一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果对 于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1, x2,当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),那么就说f(x)在 区间D上是减函数 .

注意:
1 、函数的单调性是在定义域内的某个区间上 的性质,是函数的局部性质; 2 、必须是对于区间D内的任意两个自变量x1, x2;当x1<x2时,总有f(x1)<f(x2) 或f(x1)>f(x2) 分别是增函数和减函数.

二.函数的单调性定义
如果函数y=f(x)在某个区间上是增函 数或是减函数,那么就说函数y=f(x)在这 一区间具有(严格的)单调性,区间D叫 做y=f(x)的单调区间.

y
o y x x

y

在(-∞,+∞) 是减函数 在(-∞,0) 和(0,+∞) 是减函数
b ? ? - ?, - ? 在? 2a ? ?

在(o y x x

∞,+∞)是
增函数
在(-∞,0) 和(0,+∞) 是增函数
? b ? ? , ?? ? 在 ? 2a ? ?

o
y o

o
y o

x

增函数 ? b ? ? , ?? ? 在 ? 2a ? ? 减函数

增函数 b ? x 在? - ? ? - ?, 2a ? ? 减函数

例1、下图是定义在区间[-5,5]上的函数y=f(x), 根据图象说出函数的单调区间,以及在每个区间 上,它是增函数还是减函数?

解:函数y=f(x)的单调区间有 [-5,-2),[-2,1),[1,3),[3,5]
其中y=f(x)在区间[-5,-2), [1,3)是减函数, 在区间[-2,1), [3,5] 上是增函数。

我们,对于一定量的气体,当其体积V减小时,压 强p将增大。试用函数的单调性证明之。

k 例2、物理学中的玻意耳定律 p ? V (k为正常数 ) 告诉

证明:根据单调性的定义,设V1,V2是定义域 取值 (0,+∞)上的任意两个实数,且V1<V2,则 V2 ? V1 k k 作差 p(V1 ) ? p(V2 ) ? ? ? k 变形 V1 V2 VV 1 2 由V1,V2∈ (0,+∞)且V1<V2,得V1V2>0, V2- V1 >0
又k>0,于是 p(V1 ) ? p(V2 ) ? 0
定号



也就是说,当体积V减少时,压强p将增大.

k 所以,函数 p ? V , V ? (0,??)是减函数.

p(V2 ) ? p(V1 )

结论

三.判断函数单调性的方法步骤
利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单 调性的一般步骤: 1 任取x1,x2∈D,且x1<x2;

2 作差f(x1)-f(x2);
3 变形(通常是因式分解和配方);

4 定号(即判断差f(x1)-f(x2)的正负);
5 下结论(即指出函数f(x)在给定的区间D上的 单调性).

思考?
思考:画出反比例函数的图象.

1 这个函数的定义域是什么?
2 它在定义域I上的单调性怎样?证明你 的结论.

证明:函数f(x)=1/x 在(0,+∞)上是减函数。
证明:设x1,x2是(0,+∞)上任意两个实数, 且x1<x2,则 1 1 x2 ? x1 ? ? f(x1)- f(x2)= x1 x2 x1 x2 由于x1,x2 ? ?0,??? 得x1x2>0,又由x1<x2 得x2-x1>0 所以f(x1)- f(x2)>0, 即f(x1)> f(x2) 因此 f(x)=1/x 在(0,+∞)上是减函数。
取值

作差 变形

定号
判断

四、归纳小结
函数的单调性一般是先根据图象判断,再利 用定义证明.画函数图象通常借助计算机,求函 数的单调区间时必须要注意函数的定义域,单调 性的证明一般分五步:

取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 下结论

五、作业
1. 书面作业:课本P45 习题1.3(A组) 第3、 4题.

讨论
1、法二:作商的方法
f ?x1 ? 由x1<x2时, f ? x2 ?

y

大于或小

o

1 f ?x ? ? x
x

于1来比较f(x1)与f(x2) 的 大小,最后得出结论。

? 2、由图象知:函数在 ?? ?,??上不具有单调性。

讨论一般性
y
y

o

x

o

x

y=kx+b (k>0)

y=kx+b (k<0)

问题:
1、当k变化时函数的单调性有何变化? 2、当b变化时函数的单调性有何变化?

例3.借助计算机作出函数y =-x2 +2 | x | + 3的图象 并指出它的的单调区间.
2+ 2 f?x ? = x ?

x +3
8

6

4

2

-1 0

-5

5

10

-2

-4

-6

-8


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