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高一数学知识点总结--必修5


高中数学必修 5 知识点
第一章:解三角形 1 、正弦定理:在

??? C

中, a 、 b 、 c 分别为角

?

、 ? 、 C 的对边,

R

为 ??? C 的外接圆的半径,则有

a b c ? ? ? 2R .

sin ? sin ? sin C 2、正弦定理的变形公式:① a ? 2 R sin ? , b ? 2 R sin ? , c ? 2 R sin C ; a b c ② sin ? ? , sin ? ? , sin C ? ; (正弦定理的变形经常用在有三角函数的等式中) 2R 2R 2R ③ a : b : c ? sin ? : sin ? : sin C ; a?b?c a b c ? ? ? ④ . sin ? ? sin ? ? sin C sin ? sin ? sin C 1 1 1 3、三角形面积公式: S ???C ? bc sin ? ? ab sin C ? ac sin ? . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4、余 定理:在 ??? C 中,有 a ? b ? c ? 2bc cos ? , b ? a ? c ? 2ac cos ? , c2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C . b2 ? c 2 ? a 2 a 2 ? c 2 ? b2 a 2 ? b2 ? c 2 cos ? ? cos C ? 5、余弦定理的推论: , cos ? ? , . 2bc 2ab 2ac 2 2 2 ? 6、设 a 、 b 、 c 是 ??? C 的角 ? 、 ? 、 C 的对边,则:①若 a ? b ? c ,则 C ? 90 为直角三角形; 2 2 2 2 2 2 ? ? ②若 a ? b ? c ,则 C ? 90 为锐角三角形;③若 a ? b ? c ,则 C ? 90 为钝角三角形.
第二章:数列 1、数列:按照一定顺序排列着的一列数. 2、数列的项:数列中的每一个数. 3、有穷数列:项数有限的数列. 4、无穷数列:项数无限的数列. 5、递增数列:从第 2 项起,每一项都不小于它的前一项的数列. 6、递减数列:从第 2 项起,每一项都不大于它的前一项的数列. 7、常数列:各项相等的数列. 8、摆动数列:从第 2 项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列. 9、数列的通项公式:表示数列

?an ? 的第 n 项与序号 n 之间的关系的公式.

10、数列的递推公式:表示任一项 an 与它的前一项 an ?1 (或前几项)间的关系的公式. 11、如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,则这个数列称为等差数列,这个常数称为等差 数列的公差. 12、由三个数 a , ? , b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列,则 ? 称为 a 与 b 的等差中项.若 b 则称 b 为 a 与 c 的等差中项. 13、若等差数列

?

a?c , 2

?an ? 的首项是 a1 ,公差是 d ,则 an ? a1 ? ? n ?1? d .
? am ? ? n ? m? d ;② a1 ? an ? ? n ?1? d ;③ d ?
an ? a1 n ?1
;④ n

通项公式的变形:① an

?

d?

an ? am . n?m * 14、若 ?an ? 是等差数列,且 m ? n ? p ? q ( m 、 n 、 p 、 q ? ? ) ,则 am ? an ? a p ? aq ;若 ?an ? 是等差数列,

an ? a1 ? 1 ;⑤ d

且 2n

? p ? q ( n 、 p 、 q ? ?* ) ,则 2an ? a p ? aq ;下角标成等差数列的项仍是等差数列;连续 m 项和构成的数列成

等差数列。

n ? a1 ? an ? n ? n ? 1? d. ;② Sn ? na1 ? 2 2 * 16 、 等 差 数 列 的 前 n 项 和 的 性 质 : ① 若 项 数 为 2n ? n ? ? ? , 则 S2n ? n ? an ? an?1 ? , 且 S偶 ? S奇 ? nd ,
15、等差数列的前 n 项和的公式:① S n

?

第 1 页 共 5 页

. S偶 ? ? n ?1? an )

S奇 a ? n .②若项数为 2n ? 1? n ? ? * ? ,则 S2n?1 ? ? 2n ?1? an ,且 S奇 ?S 偶 ? a S偶 an?1

n



S奇 n (其中 S奇 ? nan , ? S偶 n ? 1

17、如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,则这个数列称为等比数列,这个常数称为等比 数列的公比. 18、在 a 与 b 中间插入一个数 G ,使 a , G , b 成等比数列,则 G 称为 a 与 b 的等比中项.若 G
2

? ab ,则称 G 为

a 与 b 的等比中项.
19、若等比数列

?an ? 的首项是 a1 ,公比是 q ,则 an ? a1qn?1 .
? amqn?m ;② a1 ? an q?? n?1? ;③ q n?1 ?
an a1
;④ q
n?m

20、通项公式的变形:① an 21、若 且 2n

?

,则 am ? an ? a p ? aq ;若 ?an ? 是等比数列, ?an ? 是等比数列,且 m ? n ? p ? q ( m 、 n 、 p 、 q ? ?* )

an am



2 ,则 an ? ap ? aq ;下角标成等差数列的项仍是等比数列;连续 m 项和构成的数列成等 ? p ? q ( n 、 p 、 q ? ?* )

比数列。

?na1 ? q ? 1? ? 22、等比数列 ?an ? 的前 n 项和的公式: S n ? ? a ?1 ? q n ? . a1 ? an q 1 ? q ? 1 ? ? ? 1? q ? 1? q a a q ? 1 时, Sn ? 1 ? 1 q n ,即常数项与 qn 项系数互为相反数。 1? q 1? q S偶 * 23、等比数列的前 n 项和的性质:①若项数为 2n ? n ? ? ? ,则 ?q. S奇
② Sn?m

? Sn ? qn ? Sm .

③ Sn , S2n

? Sn , S3n ? S2 n 成等比数列

24、 an 与 Sn 的关系: an

? ? Sn ? Sn ?1 ? n ? 2 ? ?? ? n ? 1? ? ? S1

一些方法: 一、求通项公式的方法: 1、由数列的前几项求通项公式:待定系数法 ①若相邻两项相减后为同一个常数设为 an

? kn ? b ,列两个方程求解;

②若相邻两项相减两次后为同一个常数设为 an 2、由递推公式求通项公式:

? an2 ? bn ? c ,列三个方程求解;

③若相邻两项相减后相除后为同一个常数设为 an ①若化简后为 an?1

? aqn ? b ,q 为相除后的常数,列两个方程求解;

? an ? d 形式,可用等差数列的通项公式代入求解; ②若化简后为 an?1 ? an ? f (n), 形式,可用叠加法求解; ③若化简后为 an?1 ? an ? q 形式,可用等比数列的通项公式代入求解; ④若化简后为 an?1 ? kan ? b 形式,则可化为 (an?1 ? x) ? k (an ? x) ,从而新数列 {an ? x} 是等比数列,用等比数 列求解 {an ? x} 的通项公式,再反过来求原来那个。 (其中 x 是用待定系数法来求得)
3、由求和公式求通项公式: ① a1

? S1



an ? S n ? S n?1

③检验 a1是否满足 an ,若满足则为 an ,不满足用分段函数写。

4、其他 (1) an 例如: an

? an?1 ? f ? n? 形式, f ? n ? 便于求和,方法:迭加;

? an?1 ? n ? 1 有: an ? an?1 ? n ? 1

第 2 页 共 5 页

a2 ? a1 ? 3 a3 ? a2 ? 4 ? an ? an ?1 ? n ? 1 各式相加得an ? a1 ? 3 ? 4 ? ? ? n ? 1 ? a1 ?
(2) an

? n ? 4 ?? n ? 1?
2

? an?1 ? an an?1 形式,同除以 an an?1 ,构造倒数为等差数列; ? an?1 ? 2an an?1 ,则
an ? an?1 1 1 ?2? ? an an?1 an?1 an
,即 ?

例如: an (3) an

? qan?1 ? m 形式, q ? 1 ,方法:构造: an ? x ? q ? an?1 ? x ? 为等比数列;

?1? ? 为以-2 为公差的等差数列。 ? an ?

例如: an (4) an (5) an

? qan?1 ? pn ? r 形式:构造: an ? xn ? y ? q ? an?1 ? x ? n ?1? ? y ? 为等比数列;

? 2an?1 ? 2 ,通过待定系数法求得: an ? 2 ? 2 ? an?1 ? 2? ,即 ?an ? 2? 等比,公比为 2。

? qan?1 ? pn 形式,同除 p n ,转化为上面的几种情况进行构造; an q an ?1 q n ? 1 ,若 ? 1 转化为(1)的方法,若不为 1,转化为(3)的方法 因为 an ? qan?1 ? p ,则 n ? n ?1 p p p p
二、等差数列的求和最值问题: (二次函数的配方法;通项公式求临界项法) ①若 ?

? ak ? 0 ?a1 ? 0 ,则 S n 有最大值,当 n=k 时取到的最大值 k 满足 ? ?d ? 0 ?ak ?1 ? 0

②若 ?

? ak ? 0 ?a1 ? 0 ,则 S n 有最小值,当 n=k 时取到的最大值 k 满足 ? ?d ? 0 ?ak ?1 ? 0

三、数列求和的方法: ①叠加法:倒序相加,具备等差数列的相关特点的,倒序之后和为定值; ②错位相减法:适用于通项公式为等差的一次函数乘以等比的数列形式,如: an

? ? 2n ?1? ? 3n ;

③分式时拆项累加相约法:适用于分式形式的通项公式,把一项拆成两个或多个的差的形式。如:

an ?

1 1 1 1 1? 1 1 ? ? ? , an ? 等; ? ? ? n ? n ? 1? n n ? 1 ? 2n ?1?? 2n ? 1? 2 ? 2n ?1 2n ? 1 ? ?
? 2n ? n ?1 等;

④一项内含有多部分的拆开分别求和法:适用于通项中能分成两个或几个可以方便求和的部分,如: an 四、综合性问题中

①等差数列中一些在加法和乘法中设一些数为 a ? d和a ? d 类型,这样可以相加约掉,相乘为平方差; ②等比数列中一些在加法和乘法中设一些数为 aq和 第三章:不等式 1、 a ? b ? 0 ? a ? b ; a ? b ? 0 ? a ? b ; a ? b ? 0 ? a ? b . 比较两个数的大小可以用相减法;相除法;平方法;开方法;倒数法等等。

a 类型,这样可以相乘约掉。 q

? b ? b ? a ;② a ? b, b ? c ? a ? c ;③ a ? b ? a ? c ? b ? c ; ④ a ? b, c ? 0 ? ac ? bc , a ? b, c ? 0 ? ac ? bc ;⑤ a ? b, c ? d ? a ? c ? b ? d ;
2、不等式的性质: ① a ⑥a ⑧a

? b ? 0, c ? d ? 0 ? ac ? bd ;⑦ a ? b ? 0 ? an ? bn ? n ??, n ? 1? ;

? b ? 0 ? n a ? n b ? n ? ?, n ? 1? .

3、一元二次不等式:只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是 2 的不等式. 4、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系: 判别式 ?

? b2 ? 4ac

??0

??0

??0

第 3 页 共 5 页

二次函数

y ? ax2 ? bx ? c

? a ? 0? 的图象
有两个相异实数 一
2













ax ? bx ? c ? 0 ? a ? 0? 的根

?b ? ? x1,2 ? 2a

有两个相等实数 根 x1

? x2 ? ?

b 2a

没有实数根

? x1 ? x2 ?
ax ? bx ? c ? 0
2

一元二 次 不 等式的 解集

? a ? 0?
ax2 ? bx ? c ? 0

?x x ? x 或x ? x ?
1 2

? b? ?x x ? ? ? 2a ? ?
?

R

? a ? 0?

?x x

1

? x ? x2 ?

?

5、二元一次不等式:含有两个未知数,并且未知数的次数是 1 的不等式. 6、二元一次不等式组:由几个二元一次不等式组成的不等式组. 7、二元一次不等式(组)的解集:满足二元一次不等式组的 x 和

y 的取值构成有序数对 ? x, y ? ,所有这样的有序数对

? x, y ? 构成的集合.
8、在平面直角坐标系中,已知直线 ?x ? ?y ? C ①若 ? ②若 ?

? 0 ,坐标平面内的点 ? ? x0 , y0 ? .

? 0 , ?x0 ? ?y0 ? C ? 0 ,则点 ? ? x0 , y0 ? 在直线 ?x ? ?y ? C ? 0 的上方.
? 0 , ?x0 ? ?y0 ? C ? 0 ,则点 ? ? x0 , y0 ? 在直线 ?x ? ?y ? C ? 0 的下方.

9、在平面直角坐标系中,已知直线 ?x ? ?y ? C ①若

? ?0 ,则 ?x ? ?y ?C ? 0 下方的区域. y ?C ? 0 表 示 直 线 ?x ? ?y ?C ? 0 下 方 的 区 域 ; ?x ? ?y ? C ? 0 表 示 直 线 ② 若 ? ? 0 , 则 ?x ? ? ?x ? ?y ?C ? 0 上方的区域. 10、线性约束条件:由 x , y 的不等式(或方程)组成的不等式组,是 x , y 的线性约束条件. 目标函数:欲达到最大值或最小值所涉及的变量 x , y 的解析式. 线性目标函数:目标函数为 x , y 的一次解析式.
线性规划问题:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题. 可行解:满足线性约束条件的解

? 0. ?x ? ?y ?C ? 0 表 示 直 线 ?x ? ?y ?C ? 0 上 方 的 区 域 ; ?x ? ?y ? C ? 0 表 示 直 线

? x, y ? .

可行域:所有可行解组成的集合. 最优解:使目标函数取得最大值或最小值的可行解. 11、设 a 、 b 是两个正数,则 12、均值不等式定理:

a?b 称为正数 a 、 b 的算术平均数, ab 称为正数 a 、 b 的几何平均数. 2 a?b ? ab . 若 a ? 0 , b ? 0 ,则 a ? b ? 2 ab ,即 2

13、常用的基本不等式: ①a
2

? b2 ? 2ab ? a, b ? R? ;
a 2 ? b2 ? a, b ? R ? ; 2

② ab ?

第 4 页 共 5 页

a 2 ? b2 ? a ? b ? ? a?b ? ;④ ?? ? ? a ? 0, b ? 0? ? ? a, b ? R ? . 2 ? 2 ? ? 2 ? 14、极值定理:设 x 、 y 都为正数,则有 s2 ⑴若 x ? y ? s (和为定值) ,则当 x ? y 时,积 xy 取得最大值 . 4 ⑵若 xy ? p (积为定值) ,则当 x ? y 时,和 x ? y 取得最小值 2 p .
③ ab ? ?

2

2

第 5 页 共 5 页


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