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向量法证明线面平行及垂直问题教案


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龙文学校个性化辅导教案提纲
教师:_______ 学生:_______ 年级:______ 授课时间:_____年___月___日_____——_____段 一、授课目的与考点分析:向量法证明线面平行及垂直
掌握空间向量的坐标表示和坐标运算,会找直线的方向向量和平面的法向量,并通过它们研究线面

关系,会用向量 法求空间距离.

二、授课内容及过程:
考点 1.利用空间向量证明空间垂直问题 例 1:已知三棱锥 P-ABC 中, PA⊥面 ABC, AB⊥AC, PA=AC=
1 2 A B , 为 AB 上一点, N AB=4AN,M,S 分别为 PB,BC

的中点.证明:CM⊥SN; 证明:设 PA=1,以 A 为原点,射线 AB,AC,AP 分别为 x,y,z 轴正向建立空 间直角坐标系如图, P(0,0,1) C(0,1,0) B(2,0,0) 则 , , ,M(1,0, S(1,
1 1 2

) ,N(

1 2

,0,0) ,

,0) C M ? (1, ? 1, ), S N ? ( ?

???? ?

1

??? ?

1 2

,?

1 2

, 0) ,

2 2 ???? ??? ? ? 1 1 因为 C M ? S N ? ? ? ? 0 ? 0 , 2 2

所以 CM⊥SN .

【点评】对坐标系易建立的空间线线垂直判定(证明)问题,常用向量法,即通 过证明所证直线的方向向量的数量积为 0 证明两直线垂直. 例 2:在长方体 A B C D ? A1 B1C 1 D 1 中, E 、 F 分别是棱 B C , C C 1 上的点, C F = A B = 2C E , A B : A D : A A1 =
1 : 2 : 4 .证明 A F ? 平面 A1 E D

解析:如图所示,建立空间直角坐标系,点 A 为坐标原点,设 A B ? 1 ,依题意得
? 3 ? D (0, 2, 0 ) , F (1, 2,1) , A1 (0, 0, 4 ) , E ? 1, , 0 ? ? 2 ?

已 知 A F ? (1, 2,1) , E A1 ? ? ? 1, ?
?

????

????

?

???? ???? 1 ? ???? ? ? , 4 ? , E D ? ? ? 1, , 0 ? 于 是 A F · E A1 =0 , 2 2 ? ? ?
3

???? ???? A F · E D =0.因此, A F ? E A1 , A F ? E D ,又 E A1 ? E D ? E

所以 A F ? 平面 A1 E D 【点评】对坐标系易建立的空间线面垂直问题,通常用向量法,先求出平面的法向量和直线的方向向量,证明平面 法向量与直线的方向向量平行或者直接用向量法证明直线与平面内两条相交直线垂直,再用线面垂直判定定理即可. 例 3: 在如图所示的几何体中, 四边形 A B C D 是正方形,M A ? 平面 A B C D ,P D // M A ,E 、G 、F 分别为 M B 、 P B 、 P C 的中点,且 A D ? P D ? 2 M A .求证:平面 E F G ? 平面 P D C .

解析:以 A 为原点,向量 D A , A B , A M 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴的正方向,如 图 建 立 坐 标 系 , 设 AM=1 , 则 AD=AB=PD=2, 则 B(0,2,0),C( - 2,2,0),D( - 2,0,0),P(-2,0,2), M(0,0,1),则 E(0,1,
???? ????
1 2

??? ??? ???? ? ? ?

),G(-1,1,1),F(-2,1,1),

∴ E G =(-1,0,

1 2

), G F =(-1,0,0),设平面 EFG 的法向量 m =( x , y , z ) ,则

???? ???? 1 E G ? m = ? x ? z =0 且 G F ? m = ? x =0, y =1, x = z =0, m = 取 则 ∴ (0, 1,0) , 2
??? ?

易证面 PDC 的法向量为 D A =(2,0,0),
??? ?

∵ m ? D A = 2 ? 0 ? 0 ? 1 ? 0 ? 0 =0,

??? ?

∴m ⊥DA ,

∴平面 E F G ? 平面 P D C

【点评】对于易建立空间坐标系的面面垂直问题,常向量法,即先建立坐标系,求出两个平面的法向量,通过证明 这两个平面的法向量垂直,即得面面垂直. 考点 2.利用空间向量处理空间平行关系 例 4:在正方体 A B C D ? A1 B1C 1 D 1 ,E 是棱 D D 1 的中点。在棱 C 1 D 1 上是否存在一点 F,使 B 1 F ∥平面 A1 B E ?证明你 的结论。 解析:以 A 为坐标原点,如图建立坐标系,设正方形的棱长为 2,则 B(2,0,0),E(0,2,1), A1 (0,0,2), B1 (2,0,2),∴ B E =(-2,2,1), B A1 =(-2,0,2) ,
??? ?

????

设面 B E A1 的法向量为 m =( x , y , z ) ,则
???? ??? ? 3 m ? B E = ? 2 x ? 2 y ? z =0 且 m ? B A1 = 2 x ? 2 z =0,取 x =1,则 z =-1, y = , 2 3 ∴ m =(1, ,-1),假设在棱 C 1 D 1 上存在一点 F,使 B 1 F ∥平面 A1 B E , 2 ??? ? ??? ? 3 设 F( x 0 ,2,2)(0≤ x 0 ≤2),则 B F =( x 0 ? 2 ,2,2) 则 m ? B F = 1 ? ( x 0 ? 2 ) ? ? 2 ? ( ? 1) ? 2 =0, , 2

解得 x 0 =1, ∴当 F 为 C 1 D 1 中点时, B 1 F ∥平面 A1 B E . 【点评】对于易建立坐标系的线面平行问题的向量解法,有两种思路: (1)用共面向量定理,证明直线的方向向量 能用平面内两条相交直线的方向向量表示出来,即这三个向量共线,根据共面向量概念和直线在平面外,可得线面 平行; (2)求出平面法向量,然后证明法向量与直线的方向向量垂直即可.对于探索性问题,通常先假设成立,设出 相关点的坐标,利用相关知识,列出关于坐标的方程,若方程有解,则存在,否则不存在.注意, (1)设点的坐标时, 利用点在某线段上,设出点分线段所成的比,用比表示坐标可以减少未知量,简化计算;(2)注意点的坐标的范围. 例 5 在三棱柱 A B C ? A1 B1C 1 中, 侧棱垂直于底面, 在底面 ABC 中 ? A B C = 9 0 ,D 是 BC 上一点, A1 B ∥面 A C 1 D , 且
0

D 1 为 B1 C 1 的中点,求证:面 A1 B D 1 ∥面 A C 1 D .

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解析: B 点为原点, 以 如图建立坐标系, AB= a , 设 BC= 2 b ,B B1 = c , A a ,0,0) 则 ( ,
C 1 (0, 2 b , c ), B1 (0,0, c ), A1 ( a ,0, c ),
????

∴ D 1 (0, b , c ),设 D(0, y 0 ,

0)(0≤ y 0 ≤ 2b ) ,∴ A D =(- a , y 0 ,0), A C 1 =(- a , 2b , c ),
???? ???? ? B A1 =( a ,0, c ), B D 1 =(0, b , c ) ,设面 A C 1 D 的法向量为 m =( x1 , y 1 , z 1 ),

???? ?

则 m ? A D = ? a x1 ? y 0 y 1 =0 且 m ? A C 1 = ? ax1 ? 2 by1 ? cz1 =0,取 y 1 = a ,则 x1 = y 0 , ) , 又∵ A1 B ∥面 A C 1 D , c c ???? ay ? 2ab ab ∴ m ? B A1 = a y 0 ? c ? 0 =0,解得 y 0 = b , ∴ m =( b , a , ? ) , c c ???? ???? ? 设面 A1 B D 1 的法向量为 n =( x 2 , y 2 , z 2 ),则 n ? B A1 = a x 2 ? cz 2 =0 且 n ? B D1 = b y 2 ? cz 2 =0,
z1 =
ay0 ? 2ab

????

???? ?

,则 m =( y 0 , a ,

ay0 ? 2ab

取 z 2 =1,则 x 2 = ? ∴n =?
c ab m,

c a

, y2 = ?

c b

,则 n =( ?

c a

,?

c b

,1),

∴m ∥n ,

∴面 A1 B D 1 ∥面 A C 1 D .

【点评】对面面平行问题的向量方解法有两种思路, (1)利用向量证明一个面内两条相交直线分别与另一个平面平 行,根据面面判定定理即得; (2)求出两个平面的法向量,证明这两个法向量平行,则这两个面就平行. 六、本次作业及点评: 课后练习

四、学生对本次课的评价: ○ 特别满意 ○ 满意 ○ 一般 ○ 差 学生签字:______________ 五、教师评定: 1、学生上次作业评价: ○ 好 ○ 较好 ○ 较好 ○ 一般 ○ 一般 ○ 差 ○ 差 教师签字:_______________ 2、学生本次上课情况评价: ○ 好


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