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江西省宜春市2013届高三五校联考 数学文


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宜春地区 2013 届高三五校联考文科数学试题
命题人:樟树中学 阎国友 审题人: 许小芬 一、选择题(每题 5 分,共 50 分) 1.设三个集合 A,B,C 满足 A∪B=B∩C,则一定有( ) (A)A ? C ; (B) C ? A ; (C) A ? C (D) A ? C 2.设 M(s,t)是顶点在原点、始边在 X 轴的非负半轴的 840 角的终边上的一点,则 (A) ? 3; (B) ?
0

s 的值为( t



3 . 3 3..设 p: “定义在 R 上的可导函数在 x ? x0 处取得极值” ,q:“ f ? ? x0 ? ? 0 ”,则 p 是 q 的( )条件
(C) 3; (D) (A)充分不必要; 4.设 0.9

3 ; 3

?

1.1 m

?

? ?1.1

(B) 必要不充分;

0.9 m

?

(C)充分且必要; )

(D) 既不充分也不必要 。

,则 m 的取值范围是(

(A) (-∞,0);

5.定义在 R 上的函数满足以下三个条件:①对任意的 x∈R,都有 f ? x ? 4? ? f ? x ? ; ;② 对任意的

(B) (0,+∞);

(C) (1,+∞)

(D) (0,1).

x1, x2 ??0,2? 且 x1 ? x2 ,都有 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ;③函数 f ? x ? 2? 的图像关于 Y 轴对称,则下列结
(B) f ? 7? ? f ? 4.5? ? f ? 6.5? (D) f ? 4.5? ? f ? 6.5? ? f ? 7?
2

论正确的是( )

(A) f ? 4.5? ? f ? 7? ? f ? 6.5? (C) f ? 7? ? f ? 6.5? ? f ? 4.5?

6.设 abc ? 0 ,则二次函数 f ? x ? ? ax ? bx ? c 的图像可能是( ) y y

o

x (A) y

o

x (B) y

o

x

o

x

(C) 7.△ABC 中,若 BD ? 2DC ,且 AD ? xAB ? yAC ,则 (A) 3; (B)2; (C)

(D)

??? ?

????

??? ?

??? ?

??? ?

1 ; 2

y 的值为( ) x 1 (D) . 3

8.从一个等差数列中可取出若干项依次构成一个等比数列,如等差数列:1,2,3,4,5,6,7,8, 9,??中的第 1 项、第 2 项、第 4 项、第 8 项,??,依次构成一个等比数列:1,2,4,8,??,
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这个等比数列的第 3 项是原等差数列的第 4 项。若一个公差非零的等差数列 ?an ? 的第 2 项 a2 ,第 5 项 a5 ,第 11 项 a11 依次是一个等比数列的前 3 项,则这个等比数列的第 10 项是原等差数列的第( 项 (A) 1535; (B)1536; (C) 2012; (D) 2013. 2 2 9.设实数 x, y 满足 x ? y ? x ? 3 y ? 2 ? 0 ,当 x ?? ?2, 2? 时, x ? y 的最大值是( ) (A) 0; (B)3; (C)6; (D)9. 10 对于任意的四棱锥,平面 ? 与其四条侧棱都相交且截面是平行四边形,符合上述条件的平面 ? 共 有( )个 (A) 0 ; (B) 1 ; (C) 2 ; (D) 无数. 二、填空题(每题 5 分,共 25 分) 11.不等式 ? x ? 1? 16 ? x <0 的解集为
2



.

2 y 主视图 1 左视图 0 P A x (5,0) (第 13 题图)

(第 12 题图) 俯视图

12.一个几何体的三视图如图所示,则此几何体的表面积为 13.如图,是函数 y ? Asin ??x ? ? ? , ? ?? ? ? ? ? ? 的图像的一段,O 是坐标原点,P 是图像的最高 点,A 点坐标为(5,0) ,若 OP ? 10, OP ? OA ? 15, 则此函数的解析式为

??? ?

??? ??? ? ?

2g ? x??1 ? x ? 3 , x ? g ? x ?
14.设 g ? x ? ? 3 ? log2 x, f ? x ? ? ,则 f ? x ? 的值域是

24 ? g ? x ? ? x 2 , x ? g ? x ?
15.一质点从原点出发,第 1 次移动到点(1,0 ) ,每次都从到达点出发,第 2 次移动到点 (1,2) ,第 3 次移动到点(-2,2) ,第 4 次移动到点(-2,-2) ,第 5 次移动到点(3,-2)第 6 次移 动到点(3,4) ,第 7 次移动到点(-4,4) ,第 8 次移动到点(-4,-4) ,第 9 次移动到点(5,-4) , 第 10 次移动到点(5,6) ,??,依次类推,到 2012 次移动前,此质点到达位置的坐标是
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三.解答题 16 , 本 题 12 分 ) △ ABC 中 , A,C 为 锐 角 , 角 A , B , C 所 对 的 边 之 长 依 次 为 a, b, c , 且 (

sin A ?

5 4 , cos 2C ? . 5 5

⑴求 cos ? A ? C ? 的值 ⑵若 a ? c ? 2 ?1, 求 a, b, c 的值。 17. (本题 12 分)某物流公司购买了一块长 AM=30 米、宽 AN=20 米的矩形地块,规划建设占地如 图中矩形 ABCD 的仓库,其余地方为道路或停车场,要求顶点 C 在地块对角线 MN 上,顶点 B,D 分别在边 AM,AN 上,设 AB 长度为 x 米. ⑴要使仓库占地面积不小于 144 平方米,求 x 的取值范围; ⑵若规划建设的仓库是高度与 AB 的长度相等的长方体建筑,问 AB 的长度是多少时,仓库的库容量 最大?(墙地及楼板所占空间忽略不计) N C P

D

A 18(本题 12 分).若实数 x,y,m 满足 x ? m ? y ? m ,则称 x 比 y 更接近 m。 ⑴若 x 比 4 更接近 1,求 x 的取值范围;
2 ⑵ a ? 0 时,若 x ? a 比 ? a ? 1? x 更接近 0,求 x 的取值范围。 2

B

M

19. (本题 12 分)△ABC 中,AC=3,BC=4,AB=5. P 在平面 ABC 的射影为 AB 的中点 D. ⑴求证:AB 与 PC 不垂直; ⑵当∠APC= 60 时, ①求三棱锥 P---ABC 的体积; ②求二面角 P---AC---B 的正切值。
0

P

A D C B

20. (本题 13 分)称数列 ?an?1 ? an ? 为数列 ?an ? 的一阶差数列。若数列 ?an ? 中,a1 ? 3, a4 ? 24. 且

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?an?1 ? an ? 的一阶差数列为常数列 2,2,2,??,
⑴求 a2 , a3 ; ⑵求数列 ?an ? 的通项公式 an ; ⑶设 sn ?

3 1 1 1 ? ? ?? ? , ,求证:对一切 n ? N ? , sn ? . 4 a1 a2 an

21.(本题 14 分)已知函数 f ? x ? ?

x3 a ? 1 2 ? x ? bx ? a, ,其导函数 f ? ? x ? 的图像经过原点。 3 2

⑴若存在 x0 ? ? ??,0? ,使曲线 y ? f ? x ? 在点 x0 , f ? x0 ? 处的切线的斜率等于 ?4 ,求 a 的取值范 围; ; ⑵当 a ? 0 时,求 f ? x ? 的零点的个数。

?

?

宜春市 2013 届高三五校联考 数学答题卷(文)
一、选择题(每题 5 分,共 50 分) 题号 答案 二、填空题(每题 5 分,共 20 分) 11.___________12.______________13.______________14.______________15.______________ 三、解答题(6个小题,共计75分) 16 , 本 题 12 分 ) △ ABC 中 , A,C 为 锐 角 , 角 A , B , C 所 对 的 边 之 长 依 次 为 a, b, c , 且 ( 1 2 3 4 5 6 7 8 座位号 9 10

5 4 , cos 2C ? . 5 5 ⑴求 cos ? A ? C ? 的值; sin A ?
⑵若 a ? c ? 2 ?1, 求 a, b, c 的值。

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17. (本题 12 分)某物流公司购买了一块长 AM=30 米、宽 AN=20 米的矩形地块,规划建设占地如 图中矩形 ABCD 的仓库,其余地方为道路或停车场,要求顶点 C 在地块对角线 MN 上,顶点 B,D 分别在边 AM,AN 上,设 AB 长度为 x 米. ⑴要使仓库占地面积不小于 144 平方米,求 x 的取值范围; ⑵若规划建设的仓库是高度与 AB 的长度相等的长方体建筑,问 AB 的长度是多少时,仓库的库容量 最大?(墙地及楼板所占空间忽略不计) P N C

D

A

B

M

18(本题 12 分).若实数 x,y,m 满足 x ? m ? y ? m ,则称 x 比 y 更接近 m。 ⑴若 x 比 4 更接近 1,求 x 的取值范围;
2
2 ⑵ a ? 0 时,若 x ? a 比 ? a ? 1? x 更接近 0,求 x 的取值范围。

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19. (本题 12 分)△ABC 中,AC=3,BC=4,AB=5. P 在平面 ABC 的射影为 AB 的中点 D. ⑴求证:AB 与 PC 不垂直; A ⑵当∠APC= 60 时, ①求三棱锥 P---ABC 的体积; ②求二面角 P---AC---B 的正切值。 C
0

D B

20. (本题 13 分)称数列 ?an?1 ? an ? 为数列 ?an ? 的一阶差数列。若数列 ?an ? 中,a1 ? 3, a4 ? 24. 且

?an?1 ? an ? 的一阶差数列为常数列 2,2,2,??.
⑴求 a2 , a3 ; ⑵求数列 ?an ? 的通项公式 an ; ⑶设 sn ?

3 1 1 1 ? ? ?? ? , ,求证:对一切 n ? N ? , sn ? . 4 a1 a2 an

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21.(本题 14 分)已知函数 f ? x ? ?

x3 a ? 1 2 ? x ? bx ? a, ,其导函数 f ? ? x ? 的图像经过原点。 3 2

⑴若存在 x0 ? ? ??,0? ,使曲线 y ? f ? x ? 在点 x0 , f ? x0 ? 处的切线的斜率等于 ?4 ,求 a 的取值范 围; ; ⑵当 a ? 0 时,求 f ? x ? 的零点的个数。

?

?

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宜春地区 2013 届高三五校联考文科数学参考答案及评分标准 一、选择题,每题 5 分. 答案: ABABA CBACD 二、填空题,每题 5 分 11.(-4,1) ;12. 三、解答题 16.解:⑴由 cos 2C ?

5 ?1 ?? ?? ? ? 2 ;13. y ? sin ? x ? ? ;14. ?0,??? ;15.(-1006,1006). 4? 2 ?4

4 1 3 及二倍角余弦公式、A,B 是锐角得 sin C ? (3 分) , cos C ? 5 10 10
(4 分)

由 sin A ?

1 2 得 cos A ? 5 5

∴ cos ? A ? C ? ? cos A cos C ? sin Asin C ?

2 3 1 1 2 ? ? ? ? 2 5 10 5 10

(6 分)

⑵应用正弦定理,由条件得 2R sin A ? 2R sin C ? 2 ?1, 得 2R ? 10

( 9 分)

sin B ?

2 , ∴ a ? 2R sin A ? 2 ; b ? 2R sin B ? 5 ; c ? 2 R sin C ? 1 2
2 x 3

(12 分)

17.解:⑴由题意, AD ? 20 ?

( 2 分)

2 ? ? S ABCD ? AB ? AD ? x ? 30 ? x ? ? 144 3 ? ?
得 12 ? x ? 18 ⑵ V库容 ? x ? 20 ?
2

( 4 分) ( 6 分)

? ?

8000 2 ? (立方米) x ? ,当 x ? 20 (米)时, V 最大为 3 3 ?
(2 分)

(12 分)18.解:

2 ⑴由题意, x ? 1 ? 3

∴ ?3 ? x ? 1 ? 3
2

(3 分) (5 分)

得 x ? ? ?2, 2?
2 ⑵据题意, x ? a ? ? a ? 1? x ,

?x

2

? a ? ? ?? a ? 1? x ? , ? ?
2 2

? x 2 ? ? a ? 1? x ? a ? ? ? x 2 ? ? a ? 1? x ? a ? ? ? x ? 1?? x ? a ?? x ? 1?? x ? a ? ? ? ? ?
·8·

?0

(8 分)

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当 0 ? a ? 1 时, x ? ? ?1, ?a ? ? ? a,1? ; 当 a ? 1 时,这样的 x 不存在; 当 a ? 1 时, x ? ? ?a, ?1? ? ?1, a ? (12 分)

19.解:⑴证明:连 CD,若 AB⊥PC,则 AB⊥CD,CD 是线段 AB 的垂直平分线,则 AC=BC, 这与 AC≠BC 矛盾。故 AB 与 PC 不垂直。 (4 分) P ⑵①由勾股定理,∠ACB 是直角,D 是斜边 AB 的中点, ∴CD=AD,PA=PC,△PAC 为正三角形, (6 分) PC=AC=3,CD=

5 11 , PD ? , 2 2
(8 分)

A E D C B (10 分) (12 分)

1 1 11 VP ? ABC ? ? ? 4 ? 3 ? ? 11 3 2 2

②取 AC 的中点 E,连 PE、DE,则∠PED 就是所求二面角的平面角, 由于 DE=2,故所求角的正切值为

11 4

20.解:由于数列 ?an?1 ? an ? 的一阶差数列为常数列 2,2,2,??,知数列 ?an?1 ? an ? 是公差为 2 的等 差数列。 ⑴由 ? a4 ? a3 ? ? ? a3 ? a2 ? ? 2, ? a3 ? a2 ? ? ? a2 ? a1 ? ? 2 得 a2 ? 8, a3 ? 15. ⑵ 数 列 (4 分)

?an?1 ? an ?

是 首 项 为

5 , 公 差 为

2

的 等 差 数 列 , n?2 时 (8 分) (9 分)

sn?1 ? an ? a1 ? 5 ? n ?1? ? ? n ?1?? n ? 2? ? n2 ? 2n ? 3 , an ? n2 ? 2n ,
2 ? 而 a1 ? 3 也恰适合以上通项公式,故 an ? n ? 2n n ? N

?

?

⑶对一切 n ? N , sn ?

?

1 1 1 1 1 1 ? ? ?? ? ? ? ??? ? a1 a2 an 1? 3 2 ? 4 n ? n ? 2?

=

1 1 ? 3 1 ?? 1 ? ? 1 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? 1 ? 1 ?1 (13 分) ? ? ??1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?1 ? ? 2 ?? 3 ? ? 2 4 ? ? 3 5 ? ? n n ? 2 ?? 2 ? 2 n ? 1 n ? 2 ? 4
(2 分)

2 2 21.解: f ? ? x ? ? x ? ?a ? 1? x ? b ,由 f ? ? 0? ? 0 得 f ? ? x ? ? x ? ? a ? 1? x .

⑴当 x0 ? 0 时, f ? ? x0 ? ? x0 ? ? a ? 1? x0 ? ?4 , a ? x0 ?
2

4 ? 1 ? ?5 , x0

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∴ a 的取值范围是 ? ??, ?5? .

(5 分)

⑵ f ? ? x ? ? x2 ? ? a ? 1? x . ? x ? x ? ? a ? 1? ? , f ? x ? 在 ? ??,0? 上递增,在 ?0, a ? 1 上递减,又在 ? ? ?

?a ?1, ??? 上递增,
而 f ? ?a ? 1? ? ?

(8 分)

5 5 5 3 5 3 ? a ? 1? ? a ? ? a 3 ? a 2 ? a ? ? 0 6 6 2 2 6

f ? 0? ? a ? 0 ,
2 1 1? 3 1 ? 1? 3 ? f ? a ? 1? ? a ? ? a ? 1? ? ? ? a ? 3 ? a ? ? ? ? ? 0 6 6? 2 ? 4? ? ? ?

5 5? 2 4?1 f ?? a ? 2 ? ? ? ? a ? 2 ? ? a 2 ? a ? ? ? a ? 0 ? ? 6 6? ?3
2

(12 分)

又 ?a ? 1 ? 0 ? a ? 1 ? ? a ? 2 ? ,故 f ? x ? 在 ? ?a ? 1,0 ? , ? 0, a ? 1? , a ? 1, ? a ? 2 ? 所以 f ? x ? 共有 3 个零点 。 (14 分)

?

2

? 内各有一个零点,

·10·


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