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等差数列与等比数列知识点类比表


一、等差数列与等比数列知识点类比表 等差数列 定义 递推 公式 通项 公式 中项 前
n

等比数列
a n ?1 an ? q ( q ? 0, 且 为 常 数 , n ≥ 2 )

a n ? 1 ? a n ? d ( d 为常数, n ? 2 )
a n ? a n ?1 ? d a n ? a1 ? ( n ? 1) d 或 a n ? a m ? ( n ? m ) d
a , b , c 成等差数列的充要条件: 2b ? a ? c

a n ? a n ?1 q

a n ? a1 q

n ?1

( a1 , q ? 0 )或 a n ? a m q

n?m

a , b , c 成等比数列的充要条件: b ? ac
2

① Sn ?

n ? a1 ? a n ? 2


d ? ?d ? 2 ? d ? ? ? n ? ? a 1? ? n 2 ? ? 2 ? ?

项 和

② S n ? n a1 ?

n ? n ? 1? 2

? n a 1 ( q ? 1) ? S n ? ? a ?1 ? q n ? a ?a q 1 ? 1 n ( q ? 1) ? 1? q 1? q ?

① an ? am ? (n ? m )d 重 要 性 质
*

① an ? am ? q

n?m

②等和性: m ? n ? p ? q ( m 、n 、 p 、q ? ? ) ②等积性: m ? n ? p ? q( m 、 、p 、 ? ? * ) 若 , n q 若 , 则 am ? an ? a p ? aq 则 am ? an ? a p ? aq
2 q ③若 2 n ? p ? q( n 、p 、 ? ? )则 2 a n ? a p ? a q . ③若 2 n ? p ? q( n 、p 、 ? ? * ) 则 a n ? a p ? a q , q ,
*

④ s k , s 2 k ? s k , s 3 k ? s 2 k ,... 构成的数列是等差数列. 设 d 为等差数列 ?a n ? 的公差,则 d>0 ? ?a n ? 是递增数列; d<0 ? ?a n ? 是递减数列; d=0 ? ?a n ? 是常数数列.

④ S k , S 2 k ? S k , S 3 k ? S 2 k ,... 构成的数列是等比数列.
? a1 ? 0 ?a1 ? 0 ,或? ? ? ?q ? 1 ?0 ? q ? 1

?a n ? 递增数列;

单 调 性:

q=1 ? ?a n ? 是常数数列; q<0 ? ?a n ? 是摆动数列

?a1 ? 0 ?a1 ? 0 ? 0 ? q ? 1, 或 ? q ? 1 ? ?a n ? 递减数列; ? ?

证明一个数列为等比数列的方法: 证 明 方 法 证明一个数列为等差数列的方法: 1.定义法 a n ? 1 ? a n ? d ( 常 数 ) 2.中项法
a n ?1 ? a n ? 1 ? 2 a n ( n ? 2 )

1.定义法 2.中项法

a n ?1 an

? q (常 数 )
2

3. 通项公式法: a n ? pn ? q ( p , q 为常数) 4. 前 n 项和公式法: s n ? A n 2 ? Bn (A,B 为常数)

a n ?1 ? a n ?1 ? a n ( n ? 2 )
n

3. 通项公式法: a n ? A q (A,q 为不为 0 的常数) 4. 前 n 项和公式法: n s 三数等比:
a q
? B qn? B
2

( q ? 0, q ? 1

B?0

)

设元 技巧

三数等差: a ? d , a , a ? d 四数等差: a ? 3 d , a ? d , a ? d , a ? 3 d
? s1 ? s n ? s n ?1

, a , a q或 a , a q , a q
2 3

四数等比: a , a q , a q , a q
( n ? 1) (n ? 2)

二、数列的项 a n 与前 n 项和 S n 的关系: a n ? ?

注意:一定不要忘记对 n 取值的讨论!最后,还应检验当 n=1 的情况是否符合当 n ? 2 的关系式,从而决定 能否将其合并。


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