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2数列的函数特征


1.数列的概念是什么.
2.数列的通项公式的含义是什么.

由上节课的学习我们知道数列可以看作定义 域为正整数集N+(或它的有限子集)的函数,当自 变量从小到大依次取值时,该函数对应的一列函 数值就是这个数列. 而数列的通项公式就类似于函数的解析式, 因此研究数列的性质我们就可以借助数列的通项 公式,而且数列的表示形式也和函数一样,有多 种表示方法

,下面来看几个例子.

我们可以把一个数列用图像来表示:

图1是数列:3,4,5,6,7,8,9的图像.
an
8 6 4 2 O 2 4 6 n

图1

图2是数列: an

1 1 1 的图像. 1 ,,, , ? 3 5 7

1
1 3

O

1

2 图2

3

4

n

图3是数列:2100,2100,2100,…,2100的图像. an 2100

O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 n 图3
思考:通过这几个例子你是否发现用图像来表示数列的好处.

从图中可以看出,数列①的函数图像上升,称这样的

数列为递增数列;数列⑤的函数图像下降,称这样的数列
为递减数列;数列⑥称为常数列. 思考:你是否能归纳一下递增数列、递减数列、常数列的

概念呢?
一般地,一个数列{an},如果从第2项起,每一项都大 于它前面的一项,即an+1> an,那么这个数列叫作递增数列. 如果从第2项起,每一项都小于它前面的一项,即 an+1<an,那么这个数列叫作递减数列. 如果数列{an}的各项都相等,那么这个数列叫作常数列.

规律方法 判断一个数列的增减性,常常用作差的方法,通过判 断差的符号来确定.对n∈N+,当an+1-an>0时,{an}为递 增数列;当an+1-an<0时,{an}为递减数列;当an+1-an=0 时,{an}为常数列;当an+1-an的符号不确定时,{an}既不 是递增的,也不是递减的,也不是常数列.

例3 判断下列无穷数列的增减性.

( 1) 2,1,0, ? 1,? ,3 ? n,?
解 (1)设an ? 3 ? n,那么

1 2 3 n (2) , , ,? , ,? 2 3 4 n ?1

an?1 ? 3 ? (n ? 1) ? 2 ? n,
an?1 ? an ? (2 ? n) ? (3 ? n) ? ?1,
所以an?1 ? an ,因此数列{an }是递减数列.

n (2)设bn ? , 那么 n ?1

n ?1 n ?1 bn ?1 ? ? , (n ? 1) ? 1 n ? 2
n ?1 n 1 bn?1 ? bn ? ? ? ? 0, n ? 2 n ? 1 (n ? 1 ( ) n ? 2)

所以bn?1 ? bn ,因此这个数列是递增数列.

例4 作出数列 ?

并分析数列的增减性.

1 1 1 1 1 n , ,? , ,? , (? ) ,? 的图像, 2 4 8 16 2

an
1 2 1 4

1



3 2




5


O
?
?

4

n

1 4
1 2


图4



图4是这个数列的图像,数列各项的值负正相间,表示

数列的各点相对于横轴上下摆动,它既不是递增的,也不 是递减的.

例5

一辆邮车每天从A地往B地运送邮件,沿途

(包括A,B)共有8站,从A地出发时,装上发往后面7站 的邮件各一个,到达后面各站后卸下前面各站发往该站 的一个邮件,同时装上该站发往下面各站的邮件各一个.

试写出邮件在各站装卸完毕后剩余邮件个数所成的数列,
画出该数列的图像,并判断该数列的增减性. 解 将A,B之间所有站按序1,2,3,4,5,6,7,8编号,通 过计算,上面各站剩余邮件数依次排成数列: 7,12,15,16,15,12,7,0. 填写下表

站号 剩余邮件数

1 7

2 12

3 15

4 16

5 15

6 12

7 7

8 0
用 表 格 来可 表见 示, 数我 列们 也 可 以

该数列的图像如下图所示. a n /件
16

.

O 1 n/站

2

3

4

5

6 7 8

它在{1,2,3,4}上是递增的,在{4,5,6,7,8}上是递减的.

1.在1984年到2004年的6届夏季奥运会上,我国获得的金

牌数依次排成数列:15,5,16,16,28,32.试画出该数列的
图像. an 32

24
16 8

O

1984 1988 1992 1996 2000 2004 n

2.判断下列数列 ?a n ? 的增减性.
n (1)an ? ; n ?1 1 (2)an ? 2 ? ( ) n ; 5 n ? 1 ? (?1) n (n ? 1) (3)an ? 2

n ?1 n (n ? 1)2 ? (n ? 2)n 1 解:(1)an?1 ? an ? ? ? ? , n ? 2 n ?1 (n ? 1)(n ? 2) (n ? 1)(n ? 2)

? an?1 ? an ? 0 ,所以数列{an } 为递增数列.

(2)方法1:
1 n ?1 1 n 1 n 1 8 1 n an ?1 ? an ? 2 ? ( ) ? 2 ? ( ) ? 2 ? ( ) ( ? 1) ? ? ? ( ) , 5 5 5 5 5 5

? an?1 ? an ? 0,
所以数列 {an } 为递减数列
1 x ( ) 方法2:因为函数 y ? 5 是减函数且 2 ? 0, 1 x 1 ?y ?2 ( ? ) 是减函数,所以数列 an ? 2 ? ( ) n 为递减数列. 5 5

n ? 1 ? (n ? 1) ? 1, (3)当n为奇数时,an ? 2 n ? 1 ? (n ? 1) ? n, 当n为偶数时, an ? 2
所以数列 {an } 既不是递增数列也不是递减数列,是摇摆数列.

本节课主要学习了: 1.递增数列、递减数列、常数列. 2.判断数列增减性的方法. 3.数列是一类定义域为正整数集的特殊函数,它也可以

用图像、表格表示.


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