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2015年上海市高中数学竞赛试卷


2015 年上海市高中数学竞赛试卷
2015 年 3 月 29 日上午 9:30~11:30 【说明】解答本试卷不得使用计算器.解答请写在答题纸上. 一、填空题(本题满分 60 分,前 4 小题每小题 7 分,后 4 小题每小题 8 分) 1 . 等 差 数 列 an 中 , 对 任 意 正 整 数 n , 都 有 an
1

an

/>
4n 5 8, 则

a2015

. 2.对整数 n 3 ,记 f (n) log2 3 log3 4

logn 1 n ,则 f (22 ) f (23 )

f (210 )



3. 有 10 个大小相同的小球,其中 5 个是红球,5 个是白球.现将这 10 个 球任意排成一排,并从左至右依次编号为 1,2,…,10. 则红球的编号数之和大 于白球的编号数之和的排法共有 种. 4. 在直角坐标平面 xOy 上,圆 O : x2

y2 1 ,圆 O1 :( x 3)2

y2

4 .过 x 轴

的左半轴上一点 M 作圆 O 的切线,与圆 O 相切于点 A ,与圆 O1 分别相交于点
B, C ,若 AB

BC ,则点 M 的坐标为
4 ) 3(sin5 cos5 ),



5. 已 知 cos( 是

,

,则

的取值范围

. 6. 投掷两次骰子,设第一次出现的点数为 a ,第二次出现的点数为 b ,则使
ax b 0 有两个小于 1 的不相等实根的概率

得 关 于 x 的 二 次 方 程 x2 为 7. . (用数字作答) 已知集合

A

x , y x m, y

3m 2, m N , B

x , y x n, y a(a2 n 1), n N ,
个.

则使得 A B

的整数 a 共有

8. 若实数 x, y 满足 x 3 x 1 3 y 2 二、解答题

y ,则 x y 的最大值为



9. (本题满分 14 分)在直角坐标平面 xOy 上,已知点 A, B 在双曲线

C : 2 x2 4 x y 2

0 上,且使得△ OAB 是以 O 为直角顶点的等腰直角三角形,求

所有这样的△ OAB 的个数.

10. (本题满分 14 分)已知 p 为素数, n 为正整数.非负整数 a0 , a1, 小于 p ,且满足

, an 均

a0 a1 a2 a0 a1 p a2 p 2
求素数 p .

an 13, an p n 2015.

11. (本题满分 16 分)如图,已知△ ABC 的面积为 1,过△ ABC 内一点 O 分 别引三条边的平行线 DE, FG, HI ,点 D, E, F , G, H , I 均在△ ABC 的边上,求六 边形 DGHEFI 的面积的最小值.
A G H D B O E F C

I

12. (本题满分 16 分)设 n 是正整数,数列 A : a1, a2 , 成的数列,即 ak

, an 是由数 0 或 1 组

0 或 1 (1 k

n) .
/ , an ,其中

/ , (1)若 n 3 ,由数列 A 定义另一个数列 A / : a1/ , a2

ak/
这里 a0

0, 若ak 1, 若ak

1 1

k 1, 2, ak 1 ,

ak 1 ,

,n ,

an , an 1 a1 .
/ ak

求使得 ak 解题过程)

1, k 1, 2,

, n 的所有数列 A . (本小题只需写出结果,不需

(2)求使得 a1 a2

an 除以 4 余 3 的数列 A 的个数.

2015 年上海市高中数学竞赛答案
一、 填空题 (本题满分 60 分, 前 4 小题每小题 7 分, 后 4 小题每小题 8 分) 1. 4000 . 3. 126 . 5. ?π , ? 7. 10 . 二、解答题 9. (本题满分 14 分)在 直角坐标平面 xOy 上,已知点 A, B 在 双曲线 2. 54 . 4. ( ?4, 0 ) .

3π 4

π
4

,π .

6.

1 . 12

8. 9 + 3 15 .

C : 2 x 2 + 4 x ? y 2 = 0 上,且使得△ OAB 是以 O 为直角顶点的等腰直角三角形,求
所有这样的△ OAB 的个数. 解 设 lOA : y = kx (k ≠ 0) ,则 lOB : y = ?
1 x .由 k

y = kx, 2x2 + 4 x ? y 2 = 0
得 所以 2 ? k 2 ≠ 0 , x A =

(2 ? k ) x
2

2

+ 4x = 0 ,

4 4 ,于是 OA = 1 + k 2 2 . k ?2 k ?2
2

………4 分

1 4 4k = 1+ k 2 同理可得, OB = 1 + ( ) 2 . k ( 1 )2 ? 2 2k 2 ? 1 k

………6 分

因为△ OAB 是以 O 为直角顶点的等腰直角三角形,所以 OA = OB ,于是
1+ k 2 4 4k , = 1+ k 2 k ?2 2k 2 ? 1
2

所以 若
2

1 k . =± 2 k ?2 2k ? 1
2

1 k ,则 k 3 ? 2k 2 ? 2k + 1 = 0 ,即 (k + 1)(k 2 ? 3k + 1) = 0 ,解得 = 2 k ? 2 2k ? 1

k1 = ?1, k2 =

3? 5 3+ 5 . , k3 = 2 2

………………10 分



1 k ,则 k 3 + 2k 2 ? 2k ? 1 = 0 ,即 (k ? 1)(k 2 + 3k + 1) = 0 ,解得 =? 2 2k ? 1 k ?2
2

k4 = 1, k5 =

?3 ? 5 ?3 + 5 . , k6 = 2 2

………………12 分

因为 k1 ? k4 = k2 ? k5 = k3 ? k6 = ?1 ,所以由 k1 和 k4 得到的两个三角形是相同的, 同样,由 k2 和 k5 得到的两个三角形是相同的, k3 和 k6 得到的两个三角形也是相 同的. 综上所述,满足题意的△ ABC 共有 3 个. ………………14 分

10. (本题满分 14 分)已知 p 为素数, n 为正整数.非负整数 a0 , a1 , 小于 p ,且满足
a0 + a1 + a2 + + an = 13, + an p n = 2015.

, an 均

a0 + a1 p + a2 p 2 +

求素数 p . 解 由题设可得
2 a ( 1 p ? 1) + a2 ( p ? 1) +

+ an ( p n ? 1) = 2002 ,

于是 p ? 1 是 2002 = 2 × 7 ×11×13 的正约数. 若 p = 2 ,则 ( an

………………4 分

a1a0 )2 是 2015 的二进制表示,因为 2015 = (11111011111)2 ,

而 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 0 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 11 ≠ 13 ,矛盾. 若 p > 2 ,则 p 是奇数,于是 p ? 1 是偶数,

………………6 分

p ? 1 = 2 × 7, 2 ×11, 2 ×13, 2 × 7 ×11, 2 × 7 ×13, 2 ×11×13, 2 × 7 ×11×13 ,

又 p 是素数,故 p 只可能是 3, 23, 2003 . 若 p = 3 ,则 ( an 若 p = 23 ,则 ( an

………………8 分

a1a0 )3 是 2015 的三进制表示,因为 2015 = ( 2202122 )3 ,而
………………10 分

2 + 2 + 1 + +2 + 0 + 2 + 2 = 11 ≠ 13 ,矛盾.
a1a0 )23 是 2015 的 23 进制表示,因为
2015 = 3 × 232 + 18 × 23 + 14 ,

而 14 + 18 + 3 ≠ 13 ,矛盾.

………………12 分

若 p = 2003 ,则 ( an

a1a0 )2003 是 2015 的 2003 进制表示,因为

2015 = 1× 2003 + 12 , 而 1 + 12 = 13 ,满足题设条件.
综上所述,欲求的素数 p 为 2003 . ………………14 分

11. (本题满分 16 分)如图,已知△ ABC 的面积为 1,过△ ABC 内一点 O 分别引三条边的平行线 DE , FG, HI , 点 D, E , F , G, H , I 均在△ ABC 的边上, 求六 边形 DGHEFI 的面积的最小值.
A G H D B I O E F C

解 由题设, 四边形 AGOH , 四边形 BIOD , 四边形 CEOF 均为平行四边形. GDO ABC OIF 又由题设知,△ ∽△ ,△ ∽△ ABC ,△ HOE ∽△ ABC ,而 相似三角形的面积比等于相似比的平分,于是

S ?GDO S ?OIF S ?HOE DO + + = S ?ABC S ?ABC S ?ABC BC
BI = BC

2

IF + BC
IF + BC

2

OE + BC
FC + BC
2

2

2

2

2

1 BI IF FC ≥ + + 3 BC BC BC

1 = , 3

从而 所以

1 ………………10 分 S ?GDO + S ?OIF + S ?HOE ≥ . 3 1 S ?AGH + S ?BID + S ?CEF = ( S AGOH + S BIOD + SCEOF ) 2 1 1 1 1 = ( S ?ABC ? ( S ?GDO + S ?OIF + S ?HOE )) ≤ (1 ? ) = , 2 2 3 3



S DGHEFI = S ?ABC ? ( S ?AGH + S ?BID + S ?CEF )

1 2 ………………14 分 ≥ 1? = , 3 3 当 O 为△ ABC 的重心时,上述不等式等号成立.所以,六边形 DGHEFI 的 2 面积的最小值为 . ………………16 分 3

12. (本题满分 16 分)设 n 是正整数,数列 A : a1 , a2 , 成的数列,即 ak = 0 或 1 (1 ≤ k ≤ n) .
/ (1)若 n ≥ 3 ,由数列 A 定义另一个数列 A / : a1/ , a2 ,

, an 是由数 0 或 1 组

/ ,其中 , an

ak/ =
这里 a0 = an , an +1 = a1 .

k = 1, 2, 1, 若ak ?1 ≠ ak +1 ,

0, 若ak ?1 = ak +1 ,

,n ,

求使得 ak + ak/ = 1, k = 1, 2, 解题过程) (2)求使得 a1 + a2 + 解 (1)数列 A : 1,1,
A : 0,1, 0, 0,1,0, A : 1, 0, 0,1, 0,0,

(本小题只需写出结果,不需 , n 的所有数列 A .

+ an 除以 4 余 3 的数列 A 的个数.
,1 ;当 n 是 3 的倍数时,数列 A 还有如下三个解: , 0 ,1, 0 ; ,1, 0, 0 . A : 0, 0,1, 0, 0,1, , 0 , 0,1 ;

………………4 分 (2) 设 xn , yn , zn , un 分别表示 a1 + a2 + 个数. xn 其实表示 a1 , a2 ,
0 4 xn = Cn + Cn +

+ an 除以 4 余数为 0,1, 2, 3 的数列 A 的

, an 中有 0 个 1 , 4 个 1 ,…的数列 A 的个数,于是
2 6 , z n = Cn + Cn + 3 7 ,un = Cn + Cn +

1 5 .同理, yn = Cn + Cn +



………………6 分 因为

(1 + i ) (1 ? i )

n

0 1 2 = Cn + iC n + i 2 Cn +

n + i n Cn = xn + iyn ? zn ? iun ,

n

= xn ? iyn ? zn +iun ,

所以 又 所以 注意到

yn ? u n =

(1 + i) n ? (1 ? i) n . 2i
= 2n ?1 ,

1 3 5 yn + u n = Cn + Cn + Cn +

un = 2

n?2

(1 + i) n ? (1 ? i) n . ? 4i

………………12 分

(1 + i) ? (1 ? i) = 2i, (1 + i) 2 ? (1 ? i) 2 = 4i ,

(1 + i)3 ? (1 ? i)3 = 4i, (1 + i) 4 ? (1 ? i) 4 = 0 ,
及 所以
(?4) k ?1 ? 2i, 若n = 4k ? 3, (1 + i) ? (1 ? i) =
n n

(1 + i) k + 4 ? (1 ? i) k + 4 = ?4 (1 + i) k ? (1 ? i) k , k = 1, 2,



(?4) k ?1 ? 4i, 若n = 4k ? 2, (?4) k ?1 ? 4i, 若n = 4k ? 1, 0, 若n = 4k ,

k = 1, 2,

.

于是有
24 k ?5 ? (?1) k ?1 ? 22 k ?3 , 若n = 4k ? 3, un == 24 k ? 4 ? (?1) k ?1 ? 22 k ? 2 , 若n = 4k ? 2, 24 k ?3 ? (?1) k ?1 ? 22 k ? 2 , 若n = 4k ? 1, 24 k ? 2 , 若n = 4k .

………………16 分


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