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福建省泉州市惠安县荷山中学2015-2016学年高二数学下学期期中试题 理


2016 年春季惠安荷山中学高二年数学(理)期中考试卷
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1.复数

3

?1 ? i ?
3 2

2

的值是(



A. i

B. ?

3 i

2

C. i

D. ?i

2.用反证法证明命题: “已知 a , b 为实数,则方程 x 2 ? ax ? b ? 0 至少有一个实根”时,要做的假设是 ( ) A.方程 x 2 ? ax ? b ? 0 没有实根
2 C.方程 x ? ax ? b ? 0 至多有两个实根

B.方程 x 2 ? ax ? b ? 0 至多有一个实根
2 D.方程 x ? ax ? b ? 0 恰好有两个实根

3.3 名学生 报名参加体操、 美术、 计算机、 航模课外兴趣小组, 每人选报一种, 则不同的报名种数有 ( A. 3 4.定积分
1 x



B. 12

C. 3 ) C. e

4

D. 4

3

? ? 2 x ? e ? dx 的值为(
0

A. e ? 2

B. e ? 1

D. e ? 1 ) D. a ? ?1 , b ? ?1

5.若曲线 y ? x2 ? ax ? b 在点 ? 0, b ? 处的切线方程是 x ? y ? 1 ? 0 ,则( A. a ? 1 , b ? 1
3 2

B . a ? ?1 , b ? 1

C. a ? 1 , b ? ?1 )

6.函数 y ? x ? x ? x ? 1 在区间 ? ?2,1? 上的最小值为( A.

22 27

B. 2

C. ?1

D. ?4 )

7.四个人从左到右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有( A. 12 B. 10 C. 8 D. 6 8.函数 f ? x ? ? x ? ax ? 3x ? 9 ,已知 f ? x ? 在 x ? ?3 时取得极值,则 a ? (
3 2



A. 2 9.已知函数 f ? x ? ? A. ? ??, ?2?

B. 3

C. 4

D. 5 )

1 mx ? ln x ? 2 x 在其定义域内是增函数,则实数 m 的取值范围为( 2
B. ? ??, ?1? C. ?0, ??? D. ?1, ?? ?

10.函数 y ? f ? x ? 的导函数 y ? f ? ? x ? 的图象如图所示,给出下列命题: ① ?3 是函数 y ? f ? x ? 的极值点;② ?1 是函数 y ? f ? x ? 的最小值点; ③ y ? f ? x ? 在区间 ? ?3,1? 上单调递增;④ y ? f ? x ? 在 x ? 0 处切线的斜率小于零. 以上正确命题的序号是( ) A.①② B.③④ C.①③ D.②④
1

11.已知函数 f ? x ? ? x ? ln x ? ax ? 有两个极值点,则实数 a 的取值范围是( A. ? ??,0 ? B. ? 0, ?



? ?

1? 2?

C. ? 0,1?

D. ? 0, ?? ?

12.设函数 f ( x) ? 范围是

2 ln x f ? x ?? ? mf ? x ? ? 1 ? 0 有三个不同的实数解,则实数 m 的取值 ,关于 x 的方程 ? ? ? x

A. ? ??, e ? ?

? ?

1? e?

B. ? e ? , ?? ?

? ?

1 e

? ?

C.

? 0, e ?

D. ?1, e ?

y

二、填空题(每小题 4 分,共 16 分) 13.曲线 y ? e?5 x ? 2 在点 ? 0,3? 处的切线方程为____________________. 14.从进入决赛的 6 名选手中决出 1 名一等奖, 2 名二等奖, 3 名三等奖, 则可能的决赛结果共有_____种. (用数字作答)
2
O A

P

x

15.如图,直线 y ? 2 x 与函数 y ? x 的图象围成的封闭图形(阴影部分)的面积是_____________. 16 观察下列等式:

1?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? , 1 ? ? ? ? ? , 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ,??, 2 2 2 3 4 3 4 2 3 4 5 6 4 5 6

据此规律,第 n 个等式为_________________________________________. 三、解答题 17.(本小题满分 12 分) (I)设复数 z 满足 (1 ? i ) z ? 2 ,其中 i 为虚数单位,求复数 z .
2 2 (II 实数 m 取何值时,复数 z ? m ? 1 ? m ? 3m ? 2 i ,(i)是实数; (ii)是纯虚数.

?

?

2

18. (本题满分 12 分)已知 f ? x ? ?

kx ? b . ex

(I)若 f ? x ? 在 x ? 0 处的切线方程为 y ? x ? 1 ,求 k 与 b 的 值; (II)求

?e
0

1

x
x

dx .

19. (本小题满分 12 分) 甲、乙、丙、丁四名同学报名参加三个智力竞赛项目,每个人都要报名参加.分别求在下列情况下不 同的报名方法的种数: (I)每个项目都要有人报名; (II)甲、乙报同一项目,丙不报 A 项目; (III)甲不报 A 项目,且 B 、 C 项目报名的人数相同;

20. (本小题满分 12 分) 已知 f ? x ? ? ax ? bx ? 2x ? c 在 x ? ?2 时有极大值 6 ,在 x ? 1 时有极小值.
3 2

(I)求 a , b , c 的值; (II)求 f ? x ? 在区间 ? ?3,3? 上的最大值和最小值.

3

21. (本小题满分 12 分)设函数 f ? x ? ? ax ?

a ? 2 ln x . x

(I)若 f ? x ? 在 x ? 2 时有极值,求实数 a 的 值和 f ? x ? 的极大值; (II)若 f ? x ? 在定义域上是增函数,求实数 a 的取值范围.

22. (本小题满分 12 分)设函数 f ( x) ? e ? e x ? (n?1)e ? ax . n ?N,
x n n 2

(Ⅰ)当 a ? 0 时,求 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)求证: e ≥ e ( x ? n ? 1) ;
x

n

(Ⅲ)当 n ? 0 时,若 f ( x ) ≥ 0 对于任意 x ? [0, ??) 恒成立,求实数 a 的取值范围.

4

2016 年春季惠安荷山中学高二年数学(理)期中考试卷 参考答案 一、选择题 题号 答案 二、填空题 13. 5x ? y ? 3 ? 0 ; 14.60; 15. 1 A 2 A 3 D 4 C 5 A 6 A 7 B 8 D 9 D 10 C 11 B 12 B

4 ; 3
1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ?? ? ? ? ??? 2 3 4 2n ? 1 2n n ? 1 n ? 2 2n

16. 1 ?

三、解答题 17.(本小题满分 12 分) 解:(I)设 z ? a ? bi ,z ?

2 ? 1? i 1? i

????4 分 ????8 分

(II)当 z 为实数时 m2 ? 3m ? 2 ? 0 ,解得 m ? 1 或 m ? 2
2 ? ?m ? 1 ? 0 当 z 为纯虚数时 ? 2 ,解得 m ? -1 ? ?m ? 3m ? 2 ? 0

????12 分

18. (本题满分 12 分) 解: f ? ? x ? ? ?
x x ?kx ? k ? b ? kx ? b ?? k ? e ? ? kx ? b ? e . ? ? ? 2 x x x e ? e ? e ? ?

(I)依题意: ?

? f ? ? 0 ? ? 1 ?k ? b ? 1 ? ?? ,解得 b ? 1 , k ? 2 ; b ? 1 f 0 ? 1 ? ? ? ? ?

(II)设 f ? ? x ? ?
1

??k ? 1 ?kx ? k ? b x ?x ?1 ? x ,则 ? ,解得 k ? ?1 , b ? ?1 ,即 f ? x ? ? , x e e ex ?k ? b ? 0



x ? x ?1 1 2 dx ? ? 1? . x x ? e e 0 e 0
解: (I)每个项目都要有人报名,共有 C4 A3 ?
2 3

19. (本小题满分 12 分)

4?3 ? 3 ? 2 ? 1 ? 36 种; 2
2 1

(II)甲、乙报同一项目,丙不报 A 项目,共有 C3 ? C3 ? 3? 3 ? 9 种; ( III)甲不报 A 项目,且 B 、 C 项目报名的人数相同,
5

1 2 若 B 、 C 项目各有一人,有 C3 A2 ? 6 种;

若 B 、 C 项目各有两人,有 C4 A2 ?
2 2

4?3 ? 2 ? 12 种, 2

所以甲不报 A 项目,且 B 、 C 项目报名的人数相同共有 18 种. 20. (本小题满分 12 分) 解: (I)由条件知 f '( x) ? 3ax2 ? 2bx ? 2

? f ?(?2) ? 12a ? 4b ? 2 ? 0, 1 1 8 ? 解得a ? , b ? , c ? . ? f ?(1) ? 3a ? 2b ? 2 ? 0, 3 2 3 ? f (?2) ? ?8a ? 4b ? 4 ? c ? 6. ?
(II) f (x) ? x

?.4 分

1 3 1 2 8 x ? x ? 2 x ? f '(x) ? x 2 ? x ? 2 3 2 3
-3 (-3,-2) + -2 0 (-2,1) - 1 0 (1,3) + 3

f ?( x)
f ( x)

25 6



6



3 2 2



61 6

61 x ? 1 3 由上表知,在区间[-3,3]上,当 x ? 3 时, f max ? 时, f max ? ?.12 分 6
21. (本小题满分 12 分) 解:(1)定义域为 (0,??) , f ?( x) ? a ?

a 2 ? x2 x

由题意知 f ( x) 在 x ? 2 时有极值,则 f ?(2) ? a ? 经检验,当 a ?

a 4 ? 1 ? 0,? a ? , 4 5

4 时, f ( x) 在 x ? 2 时有极值,满足题意 5

f ?( x) ?

4 4 2 4 x 2 ? 10x ? 4 (2 x ? 1)(2 x ? 4) ? 2? ? ? 5 5x x 5x 2 5x 2
1 ( 0, ) 2
+

x
f ?( x)
f ( x)
所以当 x ?

1 2
0

1 ( ,2) 2


2 0

(2,??)
+

1 1 6 时, f ( x) 取得极大值为 f ( ) ? 2 ln 2 ? 2 2 5

?????.6 分

(2) f ( x) 在 (0,??) 上是增函数 ? f ?( x) ? 0 对于 ?x ? (0,??) 上恒成立 即 f ?( x) ? a ?

a 2 ax2 ? 2 x ? a ? ? ? 0 对于 ?x ? (0,??) 上恒成立 x2 x x2

6

?
2 x?

a?

2 x?

1 对于 ?x ? (0,??) 上恒成立 x

1 x

?

1 ? 1,当且仅当x ? ,即x ? 1时等号成立 x 1 2 x x
?????.12 分

2

综上 a ? 1 22. (本小题满分 12 分)

(Ⅰ)解:当 a ? 0 时, f ( x) ? e x ? en x ? (n ? 1)en , f '( x) ? e x ? en . 当 x ? (??, n) 时, f '( x) ? 0 ;当 x ? (n, ??) 时, f '( x) ? 0 .

? f ( x) 的单调递减区间为 (??, n) , f ( x) 的单调递增区 间为 (n, ??) .
(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)得,若 a ? 0 ,则当 x ? n 时, f ( x ) 取得极小值,即最小值.

? f ( x)min ? f (n) ? 0 ,即 f ( x) ? e x ? en x ? (n ?1)en ≥ 0
? e x ≥ en ( x ? n ? 1) ,当且仅当 x ? n 时等号成立.
(Ⅲ)解:当 n ? 0 时, f ( x) ? e x ? x ? 1 ? ax 2 , f '( x) ? e x ? 1 ? 2ax 由(Ⅱ)知 e ≥ 1 ? x ,当且仅当 x ? 0 时等号成立.
x

? f '( x) ≥ x ? 2ax ? (1 ? 2a) x , ? 当 1 ? 2a ≥ 0 ,即 a ≥ ?
1 时, f '( x) ≥ 0 ( x ≥ 0 ) , f ( x ) 单调递增,而 f (0) ? 0 , 2

? 当 x ≥ 0 时, f ( x) ≥ 0 .
又由 e ? 1 ? x( x ? 0) ,可得 e
x ?x

? 1 ? x( x ? 0) ,即 ? x ? e? x ?1( x ? 0)

1 ? 当 a ? ? 时, f '( x) ? ex ?1 ? 2a(e? x ?1) ? e? x (ex ?1)(ex ? 2a) , 2

? 当 x ? (0,ln(?2a)) 时, f '( x) ? 0 , f ( x) 单调递减,
而 f (0) ? 0 ,此时 f ( x) ? 0 综上可得,实数 a 的取值范围为 [ ?

1 , ?) . 2

7


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