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高一数学向量的线性运算练习题


平面向量及其线性运算
(一)基础知识: 1.向量的定义: 既有_____又有_____的量叫做向量.向量的______也即向量的长度,叫做向量的_____. 2.零向量: 模长为_____的向量叫做零向量,记作_______.零向量没有确定的方向. 3.单位向量: 模长等于________________的向量叫做单位向量,记作_______. 4.共线向量(平行向量):方向______________的非零向量叫做共线向量. 规定:_______与任意向量共线. 其中模长相等方向相同的向量叫做____________;模长相等且方向相反的向量叫做___________; 5.向量的运算: 加法、减法、数乘运算的运算法则,运算率,及其几何意义. 6.向量共线定理:向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是:有且只有一个实数λ ,使得___________. 7.平面向量基本定理: 如果 e1 , e 2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量 a , 有且只有一对实数 ?1 , ? 2 ,使 a =_____________________. 8.三点共线定理:平面上三点 A,B,C 共线的充要条件是:存在实数α ,β ,使_____________________, 其中α +β =____, O 为平面内任意一点. 9.①中点公式:若 M 是线段 AB 的中点, O 为平面内任意一点,则 OM =__________________ ②在△ABC 中, 若 G 为重心,则 AB ? BC ? CA =_________, GA ? GB ? GC =____________. (二)例题分析: 1.下列命题中,正确的是( ) A.若 a // b, b // c ,则 a // c C.若 a ? b ,则 a ? b 或 a ? ?b B.对于任意向量 a, b ,有 a ? b ? a ? b D.对于任意向量 a, b ,有 a ? b ? a ? b

2.已知 O 是 △ABC 所在平面内一点, D 为 BC 边中点,且 2OA ? OB ? OC ? 0 ,那么(

???? ???? A. AO ? OD

???? ???? B. AO ? 2OD

??? ? ??? ? ??? ? ???? ???? ???? ???? C. AO ? 3OD D. 2 AO ? OD



3. 在平行四边形 ABCD 中, AC 与 BD 交于点 O, E 是线段 OD 的中点, AE 的延长线与 CD 交于点 F. 若 AC ? a ,

BD ? b ,则 AF ? ( ) ? ? ? 1 1 2 1? A. a ? b B. a? b 4 2 3 3

C.

1? 1? a? b 2 4

D.

1? 2? a? b 3 3

?? ? ?? ?

(三)基础训练: 1.如图,在平行四边形 ABCD 中,下列结论中错误的是(
?? ?
?? ?

(A) AB = DC ; (B) AD + AB = AC (C) AB - AD = BD ; 2.若 O、E、F 是不共线的任意三点,则以下各式中成立的是( ) A.EF ? OF ? OE

?? ?

?? ?

?? ?

?? ?

(D) AD + CB = 0 . D. EF ? ?OF ? OE )

?? ?

?? ?

?

??? ?

??? ? ??? ?

B. EF ? OF ? OE

??? ?

??? ? ??? ?

C. EF ? ?OF ? OE

??? ?

??? ? ??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

3.已知四边形 ABCD 是菱形,点 P 在对角线 AC 上(不包括端点 A、C) ,则 AP ? ( A. ? ( AB ? AD), ? ? (0,1) B. ? ( AB ? BC ), ? ? (0,

2 ) 2 2 ) C. ? ( AB ? AD), ? ? (0,1) D. ? ( AB ? BC ), ? ? (0, 2 ???? ??? ? ???? 4.已知 O,A,B 是平面上的三个点,直线 AB 上有一点 C,满足 2 AC ? CB ? 0 ,则 OC ? ( ) ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? 1 ??? ? ? 2 ??? ? 2 ??? 1 ??? A. 2OA ? OB B. ?OA ? 2OB C. OA ? OB D. ? OA ? OB 3 3 3 3 5 O 是 平 面 上 一 定 点 , A、B、C 是 平 面 上 不 共 线 的 三 个 点 , 动 点 P 满 足 ??? ? ???? ??? ? ??? ? A B A C ? ABC 的( ) O P ? O?A ? ( ??? 0? , 则 的轨迹一定通过 , P ? ? ???? )?,? ? ?? A B A C
(A)外心 (B)内心 (C)重心 (D)垂心

1

6.已知点 A( 3,1) , B(0,0) ,C ( 3, 0) .设 ?BAC 的平分线 AE 与 BC 相交于 E ,那么有 BC ? ? CE 其中 ? 等于( (A)2 (B) )

??? ?

??? ?

1 3 7.设 a, b 是两个不共线的非零向量,若向量 k a ? 2b 与 8a ? k b 的方向相反,则
(C)-3 (D)- k=__________. 8.如图,在△ABC 中,点 O 是 BC 的中点,过点 O 的直线分别交直线 AB、AC 于不同的两 点 M、N,若 AB = m AM , AC =n AN ,则 m+n 的值为 9.三角形 ABC 的外接圆的圆心为 O,两条边上的高的交点为 H, .

1 2

OH ? m(OA ? OB ? OC ) ,则实数 m =
10.如图,平面内有三个向量 OA 、 OB 、 OC ,其中 OA 与 OB 的夹角为 120°, OA 与 OC 的夹角为 30°,且 OA = OB =1, OC = 2 2 .若 OC =

? OA ? ? OB (? , ? ? R), 则? ? ? 的值为

.

11、设平面向量 a1 、 a2 、 a3 的和 a1 ? a2 ? a3 ? 0 。如果向量 b1 、b2 、b3 ,
o 满足 bi ? 2 ai ,且 ai 顺时针旋转 30 后与 bi 同向,其中 i ? 1, 2,3 ,则

( ) A. ?b1 ? b2 ? b3 ? 0

B. b1 ? b2 ? b3 ? 0

C. b1 ? b2 ? b3 ? 0

D. b1 ? b2 ? b3 ? 0

12.如图 2,OM∥AB,点 P 在由射线 OM、线段 OB 及 AB 的延长线围成的阴影区域内(不含边界)运动,且

??? ? ??? ? ??? ? OP ? xOA ? yOB ,则 x 的取值范围是

; M . O

P

B

1 当 x ? ? 时, y 的取值范围是 2
参考答案 例题分析: 1. B. 2.A. 3.B. 基础训练: 1. C; 2.B. 11、D. ; 3.A. 4. A. 5.B

A

6.C; 7._—4__;8. 2 .9. 1 ;10. 2 6 .

1 3 12. (??,0) , ( , ) . 2 2

2


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