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三角形垂心与外心的一个性质


三角形垂心与外心的一个性质
性质:在

ABC

中,已知 O 为

ABC

的外心,H 为

ABC

的垂心,P 为垂足三角形 DEF 的外心,则 O,P,H 三点

共线,且 P 为 OH 的中点

Q O P H D C

F N B

E

证明:

M

如图延长 AB,ED 交于点 M,延长 EF,CB 交于点 N,连接 MN。 因为 OH=OA+OB+OC(加粗倾斜字体为向量) 所以 OH*MN=(OA+OB+OC)*MN =OA(MF+FE+EN)+OB(MF+FN)+OC(ME+EN) =(OA+OB)MF+(OA+OC)EN 因为 O 为
ABC

的外心,所以 OA+OB,OA+OC 分别过 AB,AC 的中点,所以上式中 OH*MN=0。所以 OH

?

MN

因为 ABDE 四点共圆,所以三角形 MBD 相似于三角形 MEA 所以 MB*MA=MD*ME 所以 M 对 同理 N 对 所以 OP O 的幂等于 M 对 O 的幂等于 N 对 MN,又因为 OH P 的幂, P 的幂,

?

?

MN

所以 O,P,H 三点共线 下证 OP=PH 如图,取 AH 中点 Q,连接 QP 因为 Q 为 AH 中点,H 为垂心,所以 Q 为三角形 AEF 的外心,所以 QE=QF, 又因为 P 为三角形 DEF 的外心,所以 PE=PF 所以 PQ

?

EF,又因为 AO

?

EF,所以 PQ//AO,

又因为 Q 为 AH 中点, 所以 P 为 OH 中点。 原命题得证。 而 P 即为九点圆的圆心。

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