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广东省广州市2010届高三上学期期末调研 数学文


广东省广州市 2010 届高三上学期期末调研 数学文
本试卷共 4 页,共 21 题,满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项: 1. 答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号 填写在答题卡上, 并用 2B 铅笔在答题卡上的相应位置填涂考生号。用 2B 铅笔将试卷类 型(A)填涂在答题卡相应位置上。 2. 选择题每小题选出

答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如 需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。 3. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相 应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。 不按以上要求作答的答案无效。 4. 作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号(或题组号)对应的信息点,再作答。 漏涂、错涂、多涂的,答案无效。 5. 考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。 一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.设全集 U ? ?1, 2,3, 4,5,6,7,8? ,集合 A ? {1, 2,3,5} , B ? {2, 4, 6} , 则图中的阴影部分表示的集合为 A. ?2? C. ?1,3,5? 2.函数 f ? x ? ? 1 ? 2x 的定义域为 A. ? ??, ? 2 C. B. ?4,6? D. ?4, 6, 7,8?

? ?

1? ?
D.

B. ? , ?? ? 0.10 0.08 0.06 0.04
2

?1 ?2

? ?

频率 组距

? ??, 2?

? 2, ?? ?

3.圆心为 ? 0, 4? ,且过点 ? 3, 0 ? 的圆的方程为 A. x2 ? ? y ? 4? ? 25
2

B. x2 ? ? y ? 4? ? 25 D. ? x ? 4? ? y2 ? 25
2

0.02 40 45 50 55 60

体重 (kg)

C. ? x ? 4? ? y2 ? 25
2

4.某校为了了解高三学生的身体状况,抽取了 100 名女生的体重.将所得的数据整理后, 画出了如图的频率分布直方图,则所抽取的女生中体重在 45~50kg 的人数是 A.10 C.50 5.命题“ ?x ? R, ex ? x ”的否定是 B.30 D.60

A. ?x ? R, ex ? x C. ?x ? R, ex ? x

B. ?x ? R, ex ? x D. ?x ? R, ex ? x

6. 下列函数 f ( x ) 中, 满足“对任意 x1 , 2 ? ?? , , x1 ? x2 时, 0) 当 都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ” x ( 的函数是 A. f ( x ) ? ? x ? 1 B. f ( x) ? x2 ?1 C. f ( x) ? 2x D. f ( x) ? ln ? ? x ?

7.已知等差数列 {an } 中, a7 ? 3 ,则数列 {an } 的前 13 项之和为 A.

39 2

B. 39

C.

117 2

1 D. 117 1 1
侧视图 主视图

8.已知某几何体的三视图如右图所示,则该几何体的体积是

1 6 1 C. 2
A. 9.已知函数 f ( x) ? cos ? 2 x ?

B.

1 3
1

D. 2 2

2

? ?

? ?

? ( x ? R) ,下面结论错误的是 .. 2 ?
B.函数 f (x ) 是奇函数

1
俯视图

A.函数 f (x ) 的最小正周期为 ? C.函数 f (x ) 的图象关于直线 x ? 函数

? 对称 4

D.函数 f (x ) 在区间 ? 0,

? ?? 上是减 ? 2? ?

10.已知数列: , , , , , , , , , , ... , 依它的前 10 项的规律,这个数列的第 2010 项 a2010 满足 A.0 ? a2010 ?

1 2 1 3 2 1 4 3 2 1 1 1 2 1 2 3 1 2 3 4

1 10

B.

1 ? a2010 ? 1 10

C. ? a2010 ? 10 1

D. a2010 ? 10

二、填空题: 本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. (一)必做题(11~13 题)

5 ( i 是虚数单位)的模等于 . 2?i 12.如图所示的程序框图,若输入 n ? 5 ,则输出的 n 值为
11.复数



开始

输入 n

n ? n?2

f ? x ? ? xn

结束



(x) (0, f 在 +∞) 上单调递减?



输出 n

13.已知两个不同的平面 ? 、 ? 和两条不重合的直线 m 、 n ,给出下列四个命题: ①若 m // n, m ? ? ,则 n ? ? ; ③若 m ? ? , m / / n, n ? ? , 则? ? ? ; 其中正确命题的序号是 ②若 m ? ? , m ? ? , 则? . (写出所有正确命题的序号)

??;

④若 m / /? , n ? ? , 则m / / n .

(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14.《几何证明选讲》选做题) (

? ? 如图, 在△ ABC 中, A ? 60 , ACB ? 70 , CF 是△ ABC
? ?

的边 AB 上的高,FP ? BC 于点 P ,FQ ? AC 于点 Q , ?C P 则 Q 的大小为 .

15.《坐标系与参数方程》选做题) ( 以平面直角坐标系的原点为极点, x 轴的正半轴为极轴,并在两种坐标系中取相同的长

? ? 度 单 位 . 已 知 直 线 的 极 坐 标 方 程 为 ? c o s ? ? s i n?
? x ? sin ? ? cos ? ( ? 为参数)的交点的直角坐标是 ? ? y ? 1 ? sin 2?

? ,则它与曲线 2 0


三、解答题: 本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 设向量 OA ? 3, ? 3 , OB ? (cos ? ,sin ? ) ,其中 0 ? ? ? (1)若 AB ? 13 ,求 tan ? 的值; (2)求△ AOB 面积的最大值.

??? ?

?

?

??? ?

?
2



??? ?

17. (本小题满分 12 分)

已知向量 a ? ?1, ?2 ? , b ? ? x, y ? . (1)若 x , y 分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为 1,2,3, 4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数,求满足 a? ? ?1 的概率; b (2)若 x, y ? ?1, 6 ? ,求满足 a? ? 0 的概率. b

18. (本小题满分 14 分) 如图,在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A B1C1D1 中, E 是 CD 的 1 中点. (1)求证: AC ? 平面 AD1E ; 1 (2)在对角线 A1C 上是否存在点 P ,使得 DP ? 平面 AD1E ? 若存在,求出 CP 的长;若不存在,请说明理由. A

D1
A

C1
A

A1
A D E

B1

C B

19. (本小题满分 14 分) 已知两点 M (?1, 0) 、N (1, 0) , P 为坐标平面内的动点, 点 满足 | MN | ? | NP |? MN ? MP . (1)求动点 P 的轨迹方程; (2)若点 A ? t , 4 ? 是动点 P 的轨迹上的一点, K ( m, 0) 是 x 轴上的一动点,试讨论直线

???? ?

??? ?

???? ???? ?

AK 与圆 x2 ? ( y ? 2)2 ? 4 的位置关系.

20. (本小题满分 14 分) 设 S n 为数列 an ? 的前 n 项和,对任意的 n ?N * ,都有 Sn ? ? m ? 1? ? man ( m 为常数, 且 m ? 0) . (1)求证:数列 an ? 是等比数列; (2)设数列 an ? 的公比 q ? f ?m? ,数列 ?bn ?满足 b1 ? 2a1, bn ? f ? bn? 1 ? ( n ? 2 ,

?

?

?

n ?N * ) ,求数列 ?bn ? 的通项公式;
(3)在满足(2)的条件下,求数列 ?

? 2n?1 ? ? 的前 n 项和 Tn . ? bn ?

21. (本小题满分 14 分) 已知 a ?R ,函数 f ? x ? ? x
2

? x ? a? .
2? 3?

(1)若函数 f ?x? 在区间 ? 0, ? 内是减函数,求实数 a 的取值范围; (2)求函数 f ? x ? 在区间 ?1, 2 ? 上的最小值 h ? a ? ; (3)对(2)中的 h ? a ? ,若关于 a 的方程 h ? a ? ? m ? a ? 求实数 m 的取值范围.

? ?

? ?

1? ? 有两个不相等的实数解, 2?

数学(文科)试题参考答案及评分标准
说明:1.参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几 种解法供参考,如果考生的解法与参考答案不同,可根据试题主要考查的知识点 和能力比照评分标准给以相应的分数. 2.对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答 未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的得分,但所给分数不 得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误, 就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一、选择题:本大题主要考查基本知识和基本运算.共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

答案 B A A C D C B

C D B

二、填空题:本大题主要考查基本知识和基本运算.本大题共 5 小题,考生作答 4 小题, 每小题 5 分,满分 20 分.其中 14~15 题是选做题,考生只能选做一题. 11. 5 14. 50
?

12. ? 1 15. ? ?1,1?

13.①②③

简答或提示: 10 . 将 数 列 分 组 : ? ? , ? , ? , ? , , ? , ? , , , ? ,... . 设 a2010 位 于 第 n 组 , 由

?1? ? 2 1 ? ? 3 2 1 ? ? 4 3 2 1 ? ?1? ? 1 2 ? ? 1 2 3 ? ? 1 2 3 4 ?

n(n ? 1) n(n ? 1) , 解得 n ? 63 , 所以 a2010 位于第 63 组中的第 2010 ? 63 ? 62 ? 57 项, ? 2010 ? 2 2 2
故 a2010 ?

7 ,选 B. 57

14.由 FP ? BC , FQ ? AC ,得 C 、Q 、F 、 P 四点共圆,所以 ?CQP ? ?CFP ? ?B

? 180? ? ? ?A ? ?C ? ? 180? ? 60? ? 70? ? 50? .
15.即求直线 x ? y ? 2 ? 0 与抛物线段 y ? x2 ( 0 ? y ? 2 )的交点,交点的直角坐标为

?

?

? ?1,1? .
三、解答题: 本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) (1)解:依题意得, AB ? OB ? OA ? cos? ? 3,sin ? ? 3 ,????????2 分

??? ?

??? ??? ? ?

?

?

所以 AB ? ? cos ? ? 3? ? sin ? ? 3
2

??? 2 ?

?

?

2

? 13 ? 6cos? ? 2 3sin? ? 13 ,??????????????????4 分
所以 3sin? ? 3cos? . 因为 cos? ? 0 ,所以 tan? ? 3 .?????????????????????6 分 (2)解:由 0 ? ? ? 所以 S?AOB

?

2 ? ? 1 ??? ??? ? OA OB sin ?AOB 2

,得 ?AOB ? ? ?

?
6

.???????????????8 分

1 ?? ?? ? ? ? ? 2 3 ?1? sin ?? ? ? ? 3 sin ? ? ? ? ,?????????10 分 2 6? 6? ? ?
所以当 ? ?

?
3

时,△ AOB 的面积取得最大值 3 .??????????????12 分

17. (本小题满分 12 分) (1)解:设 ? x, y ? 表示一个基本事件,则抛掷两次骰子的所有基本事件有(1,1)(1,2) , , (1,3) , (1,4)(1,5)(1,6)(2,1)(2,2) , , , , ,??, (6,5)(6,6) , ,共 36 个.?2 分 用 A 表示事件“ a? ? ?1 ” ,即 x ? 2 y ? ?1 .???????????3 分 b 则 A 包含的基本事件有(1,1)(3,2)(5,3) , , ,共 3 个.??????????5 分 ∴ P ? A? ?

3 1 ? . 36 12 1 .????????????????????6 分 12

答:事件“ a? ? ?1 ”的概率为 b

(2)解:用 B 表示事件“ a? ? 0 ” ,即 x ? 2 y ? 0 .?????????????7 分 b 试验的全部结果所构成的区域为

?? x, y ? 1 ? x ? 6,1 ? y ? 6?,
y x=1 O x=6 O y=6 x-2y=0 O O y=1 O x O

??????????????????????????8 分 构成事件 B 的区域为

?? x, y? 1 ? x ? 6,1 ? y ? 6, x ? 2y ? 0? ,

如图所示.????????????????????10 分

1 ? 4? 2 4 所以所求的概率为 P ? B ? ? 2 . ? 5? 5 25 4 答:事件“ a? ? 0 ”的概率为 .??????????12 分 b 25

O

18. (本小题满分 14 分) (1)证明:连结 A D ,交 AD1 于点 F ,连结 EF .?????1 分 1 因为四边形 ADD1 A 是正方形,所以 F 是 A D 的中点,又 E 是 CD 的中点, 1 1 A 所以 EF

D1
A

C1
A

A1

B1
F D P E C B

? AC .?????????????????????3 分 1

因为 EF ? 平面 AD1E , AC ? 平面 AD1E , 1 所以 AC ? 平面 AD1E .??????????????????5 分 1 (2)解:在对角线 A1C 上存在点 P ,且 CP ? A

3 ,使得 DP ? 平面 AD1E .???6 分 3

证明如下:因为四边形 ADD1 A 是正方形,所以 AD ? A D .?????????7 分 1 1 1 因为 CD ? 平面 ADD1 A , AD1 ? 平面 ADD1 A ,所以 CD ? AD .???????8 分 1 1 1 因为 A D ? CD ? D ,所以 AD1 ? 平面 ACD .????????????9 分 1 1 因为 AD1 ? 平面 AD1E ,所以平面 AD1E ⊥平面 ACD .???????10 分 1 作 DP ? A1C 于 P ,因为 EF

? AC ,所以 DP ? EF .????????11 分 1

因 为 DP ? 平 面 A C D, 平 面 ACD ? 平 面 A D E? EF , 所 以 DP ? 平 面 1 1 1

AD E 1 .?????12 分
由 Rt △ ACD ∽ Rt?DCP ,得 CP ? 1

CD 2 1 3 ? . ? A1C 3 3

所以当 CP ?

3 时, DP ? 平面 AD1E .?????????14 分 3

19. (本小题满分 14 分) (1)解:设 P ( x, y ) ,则 MN ? (2, 0) , NP ? ( x ? 1, y ) , MP ? ( x ? 1, y ) .????2 分 由 | MN | ? | NP |? MN ? MP , 得 2 ( x ?1)2 ? y2 ? 2( x ?1) ,?????????????????4 分

???? ?

??? ?

????

???? ?

??? ?

???? ???? ?

化简得 y2 ? 4x . 所以动点 P 的轨迹方程为 y2 ? 4x .????????????5 分
2 (2)解:由 A ? t , 4 ? 在轨迹 y2 ? 4x 上,则 4 ? 4t ,解得 t ? 4 ,即 A ? 4, 4? .??6 分

当 m ? 4 时 , 直 线 AK 的 方 程 为 x ? 4 , 此 时 直 线 AK 与 圆 x2 ? ( y ? 2)2 ? 4 相 离.?????7 分 当 m ? 4 时,直线 AK 的方程为 y ?

4 ( x ? m) ,即 4 x ? (m ? 4) y ? 4m ? 0 .??8 分 4?m

圆 x2 ? ( y ? 2)2 ? 4 的圆心 (0, 2) 到直线 AK 的距离 d ?

2m ? 8 16 ? (m ? 4)2



令d ?

2m ? 8 16 ? (m ? 4)2 2m ? 8 16 ? (m ? 4)2 2m ? 8 16 ? (m ? 4)2

? 2 ,解得 m ? 1;

令d ?

? 2 ,解得 m ? 1;

令d ?

? 2 ,解得 m ? 1.

综上所述,当 m ? 1时,直线 AK 与圆 x2 ? ( y ? 2)2 ? 4 相交; 当 m ? 1时,直线 AK 与圆 x2 ? ( y ? 2)2 ? 4 相切; 当 m ? 1时,直线 AK 与圆 x2 ? ( y ? 2)2 ? 4 相离.??????14 分

20. (本小题满分 14 分) (1)证明:当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? ? m ? 1? ? ma1 ,解得 a1 ? 1 .???????1 分 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? man?1 ? man .????????????2 分 即 ?1 ? m ? an ? man ?1 . ∵ m 为常数,且 m ? 0 ,∴

an m ? ? n ? 2 ? .?????????3 分 an?1 1 ? m

m 的等比数列.????????4 分 1? m m (2)解:由(1)得, q ? f ?m? ? , b1 ? 2a1 ? 2 . ?????????5 分 1? m
∴数列 an ? 是首项为 1,公比为

?

∵ bn ? f ? bn?1 ? ?

bn?1 ,?????????????????????6 分 1 ? bn?1



1 1 1 1 ? ? 1 ,即 ? ? 1 ? n ? 2 ? .?????????????7 分 bn bn?1 bn bn?1

∴?

?1? 1 ? 是首项为 ,公差为 1 的等差数 2 ? bn ?
1 1 2n ? 1 2 ,即 bn ? ? ? ? n ? 1? ?1 ? bn 2 2 2n ? 1
*

列.??????????????????????8 分 ∴

(n?N ) .?????????????????9 分

2n ?1 2 ? 2n ? 2n ? 1? .???????????10 分 (3)解:由(2)知 bn ? ,则 bn 2n ? 1
所以 Tn ? 即

2 2 23 2 4 2n 2n ?1 ? ? ?? ? ? , b1 b2 b3 bn ?1 bn

Tn

? 21 ?1 ? 22 ? 3 ? 23 ? 5 ? ? ? 2n?1 ? ? 2n ? 3? ? 2n ? ? 2n ? 1? 2Tn ? 22 ?1 ? 23 ? 3 ? 24 ? 5 ? ? ? 2n ? ? 2n ? 3? ? 2n?1 ? ? 2n ? 1? ? ? 2n ? 1? ? 2 ? 23 ? 24 ? ? ? 2n?1 ,?????????13 分
23 ?1 ? 2n ?1 ? 1? 2 ? 2n ?1 ? ? 2n ? 3? ? 6 .????????14 分



① ???????11 分 则 ,

② ???????12 分 ②-①得 Tn ? 2 故 Tn ? 2
n ?1

n ?1

? ? 2n ? 1? ? 2 ?

21. (本小题满分 14 分)
3

(1)解:∵ f ? x ? ? x ? ax ,∴ f ' ? x ? ? 3x ? 2ax . ?????????1 分
2 2

∵ 函 数 f ?x? 在 区 间 ? 0, ? 内 是 减 函 数 , ∴ f ' ? x ? ? 3x ? 2ax ? 0 在 ? 0, ? 上 恒 成
2

? ?

2? 3?

? ?

2? 3?

立.????2 分 即a ?

3x ? 2 ? 在 ? 0, ? 上恒成立,???????????????3 分 2 ? 3?

?

3x 3 2 ? ? ? 1,∴ a ? 1 . 2 2 3

故实数 a 的取值范围为 ?1, ?? ? .?????????????????4 分 (2)解:∵ f ' ? x ? ? 3x ? x ?

? ?

2 ? 2 a ? ,令 f ' ? x ? ? 0 得 x ? 0或 a .???????5 分 3 ? 3

①若 a ? 0 ,则当 1 ? x ? 2 时, f ' ? x ? ? 0 ,所以 f ? x ? 在区间 ?1, 2 ? 上是增函数, 所以 h ? a ? ? f ?1? ? 1 ? a .???????????????6 分 ②若 0 ? a ?

3 2 ,即 0 ? a ? 1 ,则当 1 ? x ? 2 时, f ' ? x ? ? 0 ,所以 f ? x ? 在区间 ?1, 2 ? 上 2 3

是增函数,所以 h ? a ? ? f ?1? ? 1 ? a .??????????7 分 ③若

3 2 2 2 ? a ? 3 , 即 1 ? a ? 2 , 则 当 1 ? x ? a 时 , f '? x? ? 0 ; 当 a ? x ? 2 时 , 2 3 3 3

f '? x? ? 0 .
所以 f ? x ? 在区间 ?1, 所以 h ? a ? ? f ? ④若 a ? 3 ,即 数. 所以 h ? a ? ? f ? 2? ? 8 ? 4a .?????????9 分

? 2 ? ?2 ? a ? 上是减函数,在区间 ? a, 2 ? 上是增函数. ? 3 ? ?3 ?

4 ?2 ? a ? ? ? a3 .?????????8 分 27 ?3 ?

2 a ? 2 ,则当 1 ? x ? 2 时, f ' ? x ? ? 0 ,所以 f ? x ? 在区间 ?1, 2? 上是减函 3

? ? 1 ? a, ? ? 4 3 a , 综上所述,函数 f ? x ? 在区间 ?1, 2 ? 的最小值 h ? a ? ? ? ? ? 27 ? 8 ? 4 a, ? ?
(3)解:由题意 h ? a ? ? m ? a ?

3 a? , 2 3 ? a ? 3, ???10 分 2 a ? 3.

? ?

1? ? 有两个不相等的实数解, 2? ? ? 1? ? 有两个 2?

y

即(2)中函数 h ? a ? 的图像与直线 y ? m ? a ?

? 1 ? ? ,0 不同的交点.??????????????????????11 分 ? 2 ? ? ?
而直线 y ? m ? a ?

O

a

? ?

1? ? 1 ? ? 恒过定点 ? ? ,0 ? , 2? ? 2 ?

O

由右图知实数 m 的取值范围是 ? ?4, ?1? .??????????14 分

k ? ?1

k ? ?4


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