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湖南省长沙市一中09-10学年高一下学期入学考试(数学)


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长沙市一中 2009~2010 学年第二学期入学考试试题
命题人:蒋红田 校对人:王思亮 (时量:120 分钟 满分:100 分)

第一卷
一、选择题(本大题共 8 个小题,每小题 3 分,共 24 分. 在每个小题给出的四个选项中,只 有一项符合题目要求的). 1. 设集合 A ? {?1,0,1}, B ? {sin 0,cos ? } ,则 A ? B ? A. {0} B. {1} C. { 0,1 } D. { ?1, 0 } A D B ( F ( )

2. 如图,D、E、F 分别是△ABC 各边的中点,在以 A、B、C、D、E、F 为起点 和终点的向量中,其中与 BD 相等的 向量(不含 BD )有 A.1 个 C.3 个 3. 化简 cos2010°的结果是 A. 为起 B.2 个 D.4 个
??? ? ??? ?





E )

C

1 2
3 2

2. 如图 ,D、E、F 分别是△ABC 各边的中点,在以 A、B、C、D、E、F C.

B. -

1 2

D.

3 2
( )

4. 函数 y ? a x 与 y ? ? loga x ( a ? 0 且 a ? 1 )在同一坐标系中的图象可能是

1 5 已知 tan ? ? ?2, 则 sin 2 ? ? cos2 ? 的值是 4

( B.
2 5
4 25



A. C.

1 5
2 25

D.

6.已知 tan ? ? tan ? ? 1 ,则 sin(? ? ? ) 的值是 A. ?1 B.0 C.1

( D. ?1



7.某农贸市场出售西红柿,当价格上涨时,供给量相应增加,而需求量相应减少,具体调查 结果如下表: 表 1 市场供给量 单价(元/kg)
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2

2.4
-1-

2.8

3.2

3.6

4

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供给量(1000kg)

50

60

70

75

80

90

表 2 市场需求量 单价(元/kg) 需求量(1000kg) 4 50 3.4 60 2.9 65 2.6 70 2.3 75 2 80 )

根据以上提供的信息,市场供需平衡点(即供给量和需求量相等时的单价)应在区间( A.(2.3,2.4)内 C. (2.6,2.8)内 8. 如图,设点 P 在△ABC 内,且 AP ? 为 A. B. (2.4,2.6)内 D. (2.8,2.9)内

??? ?

? 2 ??? 1 ???? AB ? AC ,则△ABP 的面积与△ABC 的面积之比 5 5
( ) D.

1 5

B.

1 4

C.

1 3

2 3

二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 3 分,共 21 分. 把答案填在答卷中相应的横线上) 9.函数 f ( x) ? lg(2 x ? 2) 的定义域是 . .

10.若 a ? (1,0) ,b ? (1,1) , (a ? ?b) ? a ,则 ? 的值是 11. 若 cos 2? ?
4 ,则 sin 4 ? ? cos4 ? 的值是 5

.

12. 若三个非零的力 F1 , F2 , F3 满足 F1 + F2 + F3 ? ? ,且 若F1 ? (3, 4), F2 ? (2, ?5), 则 | F3 | = . 13.如果函数 y = 3cos(2x + ? )的图象 关于点 ( 为 .
4? , 0) 成中心对称,那么| ? |的最小值 3

14.已知向量 u =(x,y),v =(y,2y – x)的对应关系用 v=f(u)来表示. 则使 f (c)=(p,q)(p,q 为常数)的向量 c 的坐标是 15. 已知 f (x) = sin ( ? x ? ..

?
3

) ( ? ? 0 ), ( f .

? ? ? ? ) = f ( ) , f (x)在区间( , )有且只有一个最值, 且 6 3 6 3

则 ? 的一个可能值是

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长沙市一中 2009~2010 学年第二学期入学考试试题 高一数学试题答卷
一、选择题(本大题共 8 个小题,每小题 3 分,共 24 分). 题 序 答 案 1 2 3 4 5 6 7 8

班 级

二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 3 分,共 21 分). 9. 10. 11.

姓 名 12. 学 号 15. 考室号 三、解答题(本大题共 6 小题,共 55 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 16. (本小题满分 8 分)
1 ? 已知 cos ? ? ? , ? 是第二象限的角,求 tan( ? ? ) 及 tan 2? 的值. 2 4

13.

14

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17. (本小题满分 8 分) 已知函数 y = sin2x + 2sinx cosx – cos2x,x∈R. (1)求函数的最小正周期及函数的单调递减区间; (2)该函数的图象可以由 y ? 2 sin x 的图象经过怎样的变化得到?

座位号

.

18. (本小题满分 9 分) ?? ? ?? ?? ? 3? 已知向量 m ? (1,1),向量n与向量m的夹角为 , 且m?n ? ?1. 4 (1) 求向量 n : 设向量 a ? (1,0),向量b ? (cos x,sin x) , (2) 其中 x∈R, n?a ? 0 , 若 试求 | n ? b | 的取值范围.
?
? ?

? ?

? ?

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第二卷
19. (本小题满分 10 分) 经长期观测,某海滨浴场七月份每天 海浪的高度为 y(米)可近似地看成关于时间 t(0 ≤t≤24,单位:小时)的函数 y=Acos ? t+b.下表是该地某观测站测得七月份某天各时刻 的浪高数据:

t(时) 0 y(米) 1.5

3 1.0

6 0.5

9 1.0

12 1.5

15 1.0

18 0.5

21 0.99

24 1.5

(1)根据以上数据,求该函数的表达式; (2)该浴场规定,当海浪的高度高于 1 米时,才对冲浪爱好者开放,请判断一天内的上 午 8:00 时至晚上 20:00 时之间,有多少时间可供冲浪者进行冲浪运动?

20. (本小题满分 10 分) 已知函数 f ( x) ?
2x ? 1 ( x ? R) . 2x ? 1

(1)判断函数的奇偶性,并给予证明; (2)讨论函数 f ( x) 的零点的个数,并说明理由.

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21. (本小题满分 10 分)
A? B 在 ?ABC 中 , A, B, C 是 三 角 形 的 三 内 角 . 设 向 量 a ? ( t a n , 1)? b , 2 C (1, t a, 且 n ) 2

a?b ?

4 3 . 3

A A (1)若向量 c ? (sin B,cos ), d ? (cos ,sin C) ,且 c // d ,求 A, B, C 的值; 2 2

(2)若 C 为锐角,求 sin A ? sin B 的取值范围.

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长沙市一中 2009~2010 学年第一学期入学考试 高一数学试题参考答案
一、选择题(本大题共 8 个小题,每小题 3 分,共 24 分. 在每个小题给出的四个选项中,只 有一项符合题目要求的). 1. D 2. B

3. B【解析】 cos2010° = cos (5×360°+ 210°) = cos210° = –cos30°,故选 B. 4. A【解析】当 a ? 1 时,函数 y ? a x 单调 递增,而 y ? ? loga x 单调递减,故 A 符合条件.
4 ? 2 ?sin ? ? 5 ?sin ? ? ?2 cos ? ? 得? 5. B【解析】由 ? 2 1 sin ? ? cos 2 ? ? 1 ? 2 ? cos ? ? ? 5 ? 1 2 则 sin 2 ? ? cos 2 ? ? . 4 5

6.D【解析】由 tan ? ? tan ? ? 1 ,得 cos ? ? cos ? ? sin ? ? sin ? ? 0 ,即 cos(? ? ? ) ? 0 ,
?sin(? ? ? ) ? ?1 .

7.C【解析】由上表提供的数据容易看出,当单价位于(2.6,2.8)内,供给量与需求量才会相 等,故选 C. 8. A 【 解 析 】 如 下 图 , 设 AM ? (

???? ?

? ???? 1 ???? 2 ??? AB , AN ? AC , 则 5 5

??? ???? ???? ? ? AP ? AM ? AN . 由 平 行 四 边 形 法 则 , 知 NP∥AB , 所 以 ???? ?ABP AN 1 ? ???? = ,选 A. ?ABC 5 AC
二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 3 分,共 21 分. 把答案填在答卷中相应的横线上) 9. (1, ??) . 10. ?1 【解析】 a ? ?b ? (1 ? ?, ? ) ,则 (a ? ?b) ? a 得 1 ? ? ? 0 ,? ? ? ?1. 11. 12. 13.
41 1 1 9 41 【解析】 sin 4 ? ? cos4 ? ? 1 ? sin 2 2? ? 1 ? ? ? . 2 2 25 50 50
26 .

? 6
14 2 ? ? ? ? 或 【解析】由 f ( ) = f ( ) ,又 f (x)在区间( , )有且只有一个 3 3 6 3 6 3

14. (2p-q, p). 15.

最值, f (x)在 x = 得

? ? ? ? 10 2 取得唯一最值, ∴ ? ? ? 2k? ? ,?? ? 8k ? 或? ? 8k ? , k∈Z, 4 4 3 2 3 3

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经检验 ? ?

? ? 14 2 或? ? 时, f ( x) 在 ( , ) 内只有唯一最值. 3 3 6 3

三、解答题(本大题共 6 小题,共 55 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
1 16. 【解析】? cos? ? ? . 2

(4 分)
3 ,? tan ? ? ? 3 . 2

又?? 在第二象限,? sin ? ?
? tan(

(4 分)

?
4

??) ?

1 ? tan ? 1 ? 3 ? ? 3?2. 1 ? tan ? 1 ? 3

tan 2? ?

2 tan ? ?2 3 ? ? 3. 2 1 ? tan ? 1 ? ( 3)2
? ?

17. 【解析】 y ? sin 2 x ? 2sin x cos x ? cos 2 x ? sin 2 x ? cos 2 x ? 2 sin ? 2 x ? 所以有: (1)最小正周期 ? ; 由 2k ? +

??

?, 4?

(4 分)

?
2

? 2x ?

?
4

? 2k? ?
? ?

3? , k ? Z, 2
3? 7? ? , k? ? k ? Z; 8 8 ? ?

可解得函数单调减区间为 ?k? ? (2)由 y = 可得. 18. 【解析】 (1) 令n ? ( x, y ), 则 ?
? ? n ? (?1, 0) 或(0,1)

2 sinx 的图象右移

? 1 个单位长度,然后纵坐标不变,横坐标压缩为原来的 4 2 (8 分)

?

? x ? y ? ?1, ? x ? ?1 ? x ? 0 ? ?? 或? , 3? 2 2 ? y ? ?1 ? 2 ? x ? y cos 4 ? ?1 ? y ? 0 ?

(4 分)
? ? ?

(2)? n?a ? 0,?由(1)知, n ? (0, ?1), n ? b ? (cos x,sin x ? 1)
? ? | n ? b |? cos 2 x ? (sin x ? 1) 2 ? 2 ? 2sin x ? 2(1 ? sin x)

? ?

? ? ? ?1 ? sin x ? 1 ? 0 ?| n ? b |? 2.

(5 分)
? . 6

19. 【解析】 (1)由表中数据,知周期 T=12, ? = 又由 t=0,y=1.5 得 A+b=1.5 由 t=3,y=1.0 得 b=1.0 ① ②

(5 分)

1 ? 解得 A=0.5,b=1,故所 求的函数解析式 y= cos t+1. 2 6 1 ? (2)由题设知,当 y>1 时,才可以对冲浪爱好者开放,? cos t+1>1. 2 6

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即 cos

?t ? ? ? >0, ∴2k ? – ? ? t ? 2k? ? ,即 12k–3<t<12k+3 (k ? Z ) . 6 2 6 2

∵0≤t≤24,∴k 只能取 0,1,2,相应的 t 值是 0≤t<3 或 9<t<15,或 21<t≤24, 故在规定时间内有 6 个小时可供冲浪 者进行冲浪运动.即上午 9 时至下午 3 时. 分) (5 20. 【解析】 (1)? f (? x) ?
2? x ? 1 1 ? 2 x 2x ? 1 ? ?? x ? ? f ( x) ,? f ( x) 是奇函数. 2? x ? 1 1 ? 2 x 2 ?1

(5 分) (5 分)

(2)函数 f ( x) 只有一个零点,即 x ? 0 .理由如下: 设 x1 ? x2 ,则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?
2(2 x1 ? 2 x2 ) 2 x1 ? 1 2 x2 ? 1 = x1 . ? x2 2 x1 ? 1 2 ? 1 (2 ? 1)(2 x2 ? 1)

由于 x1 ? x2 ,? 2x1 ? 2x2 ? 0 , (2 x1 ? 1)(2 x2 ? 1) ? 0 ,? f ( x1 ) ? f ( x2 ) .
? f ( x) 在 R 上单调递增.

又? f ( x) 是奇函数,? f (0) ? 0 .? 当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 ;当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 . 故函数 f ( x) 在 R 上只有唯一的一个零点. 21. 【解析】 (1)? A ? B ? C ? ? ,? tan
A? B 1 ? . C 2 tan 2

(5 分)

又 a ?b ?
? 1 C tan 2

A? B C 4 3 4 3 ,? tan , ? tan ? 3 2 2 3

? tan

1 4 3 C 4 3 ,? . ? ? C C 2 3 3 sin cos 2 2

3 ? 2? .又 C ? (0, ? ) ,? C ? 或 . 2 3 3 A 1 ? cos( B ? C ) 又 c // d ,? sin B ? sin C ? cos 2 ,? sin B ? sin C ? , 2 2 ? sin C ?

? 2sin B ? sin C ? 1 ? cos( B ? C) ,? cos( B ? C ) ? 1 , ? B ? C .

?B ? C ?

?
3

或B?C ?

2? ? (舍去) ? A ? B ? C ? . , 3 3

(2)由(1)设已知得, C ?
?sin A ? sin B ? sin A ? sin(

?
3

,? A ? B ?

2? . 3

3 1 2? cos A ? sin A ? A) ? sin A ? 2 2 3

3 3 3 1 ? ? sin A ? cos A ? 3( sin A ? cos A) ? 3 sin( A ? ). 2 2 2 2 6 2? ? ? 5? ? 1 ,? A ? ? ( , ) . ? sin( A ? ) ? ( ,1] . ?0 ? A ? 3 6 6 6 6 2

故 sin A ? sin B 的取值范围是 (

3 , 3] . 2

(5 分)

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