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广东省东莞市南城中学2013届高三毕业班第二学期开学初适应性检测题(文科数学)


广东省东莞市南城中学 2013 届高三毕业班第二学期开学初适应性检测题

数学(文科)
试题共 150 分,考试时间 80 分钟。 参考公式: V锥体 ?

1 Sh , S 表示锥体的底面积, h 是锥体的高. 3

一、选择题:本大题共有 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,

只 有一项是符合题目要求的。 1 . 设 集 合 U ? {x x是小于9的正整数}, 集合A ? {1,2,3}, 集合B={3,4,5,6} 则

? ( A ? B) ? U
A.{3} B.{4,5,6,7,8} C.{7,8} D.{1,2,7,8} ) D. (1,2) )
开始

2.函数 f ( x) ? e x ? x ? 4 ( e ? 2.71828… )的零点所在的一个区间是( A. ?2, ?1 ) ( B. ?1, 0 ) ( C. (0,1)

3.已知等差数列 {an } 中, a7 ? a9 ? 16, a4 ? 1 ,则a12 的值是( A.15 B.30 C.31 D.64 )

4.执行如图的程序框图,那么输出 S 的值是( A. ?1 B.

1 2

C.2

D.1

S ? 2, k ? 2010

5.某中学为了了解学生的课外阅读情况,随机调查了 50 名学 生,得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据,结果用 条形图表示。根据条形图可得这 50 名学生这一天平均每人的 课外阅读时间为(
人数(人)

k ? 2013





是 1 S? 1? S

输出 S

14 11 7 0 A.0.67(小时) 0.5 2 时间(小时) 1.5 B.0.97(小时) C.1.07(小时) 1

结束

k ? k ?1

D.1.57(小时)

6.如图,在 ?ABC 中,已知 BD ? 2DC ,则 AD ? (

??? ?

????

????

) A C

? 1 ??? 2 ???? A. AB ? AC 3 3 ? 1 ??? 3 ???? C. ? AB ? AC 2 2

? 1 ??? 2 ???? B. AB ? AC 3 3 ? 1 ??? 3 ???? D. AB ? AC 2 2 1 2

B

D

7. 将函数 y ? 2sin x 图象上的所有点的横坐标缩小到原来的 (纵坐标不变) 得到图象 C1 , ,

第 1 页 共 7 页

? 个单位,得到图象 C2 ,则图象 C2 的解析式可以是( ) 6 1 ? ? 1 ? A . y ? 2sin( x ? ) B . y ? 2sin(2 x ? ) C . y ? 2sin( x ? ) 2 6 6 2 3 ? D. y ? 2sin(2 x ? ) 3
再将图象 C1 沿 x 轴向左平移 8.对于常数 m 、 n ,“ mn ? 0 ”是“方程 mx2 ? ny2 ? 1 的曲线是椭圆”的( )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 9.将正方体(图 1)截去两个三棱锥,得到图 2 所 示的几何体,则该几何体的侧视图为( ) A1 D A
图1

D1 B1

C1

D1 B1

C B A

D
图2

C B

A.

B.

C.

D.

10.设 A1 , A2 , A3 , A4 是平面直角坐标系中两两不同的四点,若 A A3 ? ? A A2 ( ? ∈R), 1 1

?????

?????

????? ????? 1 1 A1 A4 ? ? A1 A2 ( ? ∈R) , 且 ? ? 2 , 则 称 A3 , A4 调 和 分 割 A1 , A2 , 已 知 ? ?
C (c , 0 , D(d ,0) ( c , d ∈R)调和分割 A(0,0),B(1,0),则下面说法正确的是 )
A.C 可能是线段 AB 的中点 C.C,D 不可能同时在线段 AB 的延长线上 B.D 可能是线段 AB 的中点 D. C,D 可能同时在线段 AB 上

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 20 分.其中 14~15 题是选做题,只能做一 题,两题全答的,只计算前一题得分. (一)必做题(11~13 题) 11.设 i 为虚数单位,则复数

1? i ? 1? i



12.已知椭圆的方程是

x2 y2 ? ? 1 ( a ? 5 ),它的两个焦点分别为 F1 , F2 ,且 | F1F2 |? 8 , a 2 25


弦 AB(椭圆上任意两点的线段)过点 F ,则 ?ABF2 的周长为 1

? x ? y ? 2, ? 13.已知实数 x, y 满足 ? x ? y ? 2, z ? 2 x ? 3 y 的最大值是 则 ?0 ? x ? 1, ?
(二)选做题(第 14、15 题,考生只能从中选做一题)



14. (坐标系与参数方程选做题)在直角坐标 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 ?
第 2 页 共 7 页

? x ? 2 ? t, (t ? y ? ?1 ? t

为参数),曲线 C2 的参数方程为 ? ____________.

? x ? 3cos ? ( ? 为参数),则曲线 C1 与 C2 的交点个数为 ? y ? 3sin ?

15. (几何证明选讲选做题) 已知圆 O 割线 PAB交圆 O 于 A, B ( PA ? PB) 两点, 割线 PCD 经过圆心 O ( PC ? PD) , 已知 PA ? 6 , AB ? 7 ,PO ? 10 , 则圆 O 的半径是 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 是一个等差数列,且 a2 ? 1 , a5 ? ?5 . (1)求 {an } 的通项 an ; (2)设 cn ?

1 3



5 ? an c , bn ? 2 n ,求 Tn ? log2 b1 ? log2 b2 ? log2 b3 ? ? ? log2 bn 的值. 2

17. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C 的中心在原点,长轴在 x 轴上,经过点 A(0 , 1) ,离心率 e ?

2 .求椭圆 2

C 的方程

18. (本小题满分 14 分) 已知向量 a ? (2sin

?

? x x ? ? ? ? , 2 cos ) , b ? (cos ,sin ) ,函数 f ( x) ? a? ( x ? R ) . b 3 3 6 6

(1)求函数 y ? f ( x) 的表达式; (2)设 ? , ? ? [0,

?
2

] , f (3? ? ? ) ?

16 5? 20 ) ? ? ,求 cos(? ? ? ) 的值. , f (3? ? 5 2 13

19. (本小题满分 14 分) 2013 年春节前, 有超过 20 万名广西、 四川等省籍的外来务工人员选择驾乘摩托车沿 321 国道长途跋涉返乡过年, 为防止摩托车驾驶人因长途疲劳驾驶, 手脚僵硬影响驾驶操作而引 发交事故,肇庆市公安交警部门在 321 国道沿线设立了多个长途行驶摩托车驾乘人员休息
第 3 页 共 7 页 35 30 25 20

人数 广西

站,让过往返乡过年的摩托车驾驶人有一个停车休息的场所。交警小李在某休息站连续 5 天对进站休息的驾驶人员每隔 50 辆摩托车就进行省籍询问一次,询问结果如图所示:

(1)问交警小李对进站休息的驾驶人员的省籍询问采用的是什么抽样方法? (2)用分层抽样的方法对被询问了省籍的驾驶人员进行抽样,若广西籍的有 5 名,则 四川籍的应抽取几名? (3)在上述抽出的驾驶人员中任取 2 名,求至少有 1 名驾驶人员是广西籍的概率。

20. (本小题满分 14 分) 如图,在三棱锥 V ? ABC 中, VA ? 平面 ABC , ?ABC ? 90 ? ,且 AC ? 2 BC ? 2VA ? 4 . (1)求证:平面 VBA ? 平面 VBC ; (2)求 VV ? ABC . B

V

A

C

21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? (ax2 ? x)ex 在 [?1,1] 上是单调增函数,其中 e 是自然对数的底数,求

a 的取值范围.

第 4 页 共 7 页

南城中学 2013 届高三毕业班第二学期开学初适应性检测题

文科数学参考答案
CDACB ADBBC 11. i 12. 4 41 13. 6 14. 2 15. 2 5

16.解: (1)设 ?an ? 的公差为 d ,由已知条件, ?

? a1 ? d ? 1 , 分) (2 ? a1 ? 4d ? ?5

解得 a1 ? 3 , d ? ?2 .所以 an ? a1 ? (n ? 1)d ? ?2n ? 5 . 分) (6

5 ? an 5 ? (?2n ? 5) ? ? n ,∴ bn ? 2cn ? 2n (8 分) 2 2 ∴ Tn ? log2 b1 ? log2 b2 ? log2 b3 ? ? ? log2 bn ? log2 2 ? log2 22 ? log2 23 ? ?? log2 2n n( n ? 1 ) ? 1 ? 2? 3 ? ? n ? ? (12 分) 2 x2 y2 17.依题意,设椭圆 C 的方程为 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 ) ,则 a b
(2)∵ an ? ?2n ? 5 ,∴ cn ?

?1 ?b 2 ? 1 ? ? ?e ? c ? ? a ?

a2 ? b2 2 ? a 2

, 分) (6

x2 ? y 2 ? 1 (12 分) 2 x ? x ? x ? 18.(1)依题意得 f ( x) ? 2sin cos ? 2 cos sin ? 2sin( ? ) (4 分) 3 6 3 6 3 6 16 1 ? 16 ? 16 4 (2) f (3? ? ? ) ? 由 得 4sin[ (3? ? ? ) ? ] ? , 4sin(? ? ) ? 即 , cos ? ? ∴ 5 3 6 5 2 5 5 ? 3 2 又∵ ? ? [0, ] ,∴ sin ? ? 1 ? cos ? ? , 分) (8 2 5 5? 20 1 5? ? 20 20 )?? )? ]? ? 由 f (3? ? 得 4sin[ (3? ? , 即 4sin( ? ? ? ) ? ? , 2 13 3 2 6 13 13 5 ? 12 2 ∴ sin ? ? ,又∵ ? ? [0, ] ,∴ cos ? ? 1 ? sin ? ? , (12 分) 13 2 13 4 12 3 5 33 cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? ? ? ? ? (14 分) 5 13 5 13 65
解得 b ? 1 , a ?

2, (10 分)

椭圆 C 的方程为

19. (1)交警小李对进站休息的驾驶人员的省籍询问采用的是系统抽样方法. (3 分) (2)从图中可知,被询问了省籍的驾驶人员广西籍的有: 5 ? 20 ? 25 ? 20 ? 30 ? 100 人, 四川籍的有: 15 ? 10 ? 5 ? 5 ? 5 ? 40 人, 分) (5 设四川籍的驾驶人员应抽取 x 名,依题意得 即四川籍的应抽取 2 名. (7 分) (3)用 a1 ,a2 ,a3 ,a4 ,a5 表示被抽取的广西籍驾驶人员, b1 , b2 表示被抽取的四川籍驾驶
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5 x ? ,解得 x ? 2 100 40

人员,则基本事件为:

(a1, a2 ),(a1, a3 ),(a1, a4 ),(a1, a5 ),(a1, b1 ),(a1, b2 ),(a2 , a3 ),(a2 , a4 ),(a2 , a5 ),(a2 , b1), (a2 , b2 ),(a3 , a4 )
,(a3 , a5 ),(a3 , b1 ),(a3 , b2 ),(a4 , a5 ),(a4 , b1 ),(a4 , b2 ),(a5 , b1 ),(a5 , b2 ),(b1, b2 ) 共 21 个, 分) (12 其中至少有 1 名驾驶人员是广西籍的基本事件的总数为:

(a1, a2 ),(a1, a3 ),(a1, a4 ),(a1, a5 ),(a1, b1 ), (a1, b2 ),(a2 , a3 ),(a2 , a4 ),(a2 , a5 ),(a2 , b1 ),(a2 , b2 ),(a3 , a4 ),(a3 , a5 ),(a3 , b1 ),(a3 , b2 ), (a4 , a5 ),(a4 , b1 ),

(13 分) (a4 , b2 ),(a5 , b1 ),(a5 , b2 ) 共 20 个。

20 (14 分) 21 20. (1)? VA ? 平面 ABC , BC ? 平面 ABC ,∴ VA ? BC (2 分)
所以,至少有 1 名驾驶人员是广西籍的概率为 P ?

? ?ABC ? 900 ,∴ BC ? AC , 分) (4
又 VA ? AC ? A (5 分) ∴ BC ? 平面 VBA , BC ? 平面 VBC (7 分) ∴平面 VBA ? 平面 VBC (8 分) ( 2 ) 由 ( 1 ) 可 知 VA 是 三 棱 锥 V ? ABC 的 高 , ∵ AC ? 2 BC ? 2VA ? 4 , ∴ V A ? B C? 2 (10 分) 在

?ABC





?A B 9 0 0 C ?

,

A? C 4 , , ∴ 2 AB ? 2 3 ? C B





S ?ABC ?

1 AB ? BC ? 2 3 (12 分) 2
1 1 4 3 S ? ABC ?VA ? ? 2 3 ? 2 ? (14 分) 3 3 3

∴ VV ? ABC ?

21. f ?( x) ? (2ax ? 1)e x ? (ax2 ? x)e x ? [ax2 ? (2a ? 1) x ? 1]e x ,
x 1] ①当 a ? 0 时, f ?( x) ? ( x ? 1)e , f ?( x) ≥ 0 在 [ ?1, 上恒成立,当且仅当 x ? ?1 时取等号,

故 a ? 0 符合要求; (6 分) ②当 a ? 0 时,令 g ( x) ? ax2 ? (2a ? 1) x ? 1 ,因为 ? ? (2a ? 1)2 ? 4a ? 4a2 ? 1 ? 0 , 所以 g ( x) ? 0 有两个不相等的实数根 x1 , x 2 ,不妨设 x1 ? x2 ,因此 f ( x) 有极大值又有极小 值. 分) (8
1) 1? 若 a ? 0 ,因为 g (?1) ? g (0) ? ?a ? 0 ,所以 f ( x) 在 ( ?1, 内有极值点,故 f ( x) 在 ? ?1, 上不单

调. (10 分)
1] 若 a ? 0 ,可知 x1 ? 0 ? x2 ,因为 g ( x) 的图象开口向下,要使 f ( x) 在 [ ?1, 上单调,因为
第 6 页 共 7 页

? g (1) ≥ 0, ?3a ? 2 ≥ 0, 2 g (0) ? 1 ? 0 ,必须满足 ? 即? 所以 ? ≤ a ? 0 . (13 分) 3 ? g (?1) ≥ 0. ??a ≥ 0.
? 2 ? 综上可知, a 的取值范围是 ? ? , 0 ? . (14 分 ? 3 ?

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