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【步步高】届高三数学大一轮复习 椭圆学案 理 新人教A版


学案 51





导学目标: 1.了解圆锥曲线的实际背景,了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问 题中的作用.2.掌握椭圆的定义,几何图形、标准方程及其简单几何性质.

自主梳理 1.椭圆的概念 在 平 面 内 与 两 个 定 点 F1 、 F2 的 距 离 的 和 等 于 常 数 ( 大 于

|F1F2|) 的 点 的 轨 迹 叫 做 ________.这两定点叫做椭圆的________,两焦点间的距离叫________. 集合 P={M||MF1|+|MF2|=2a},|F1F2|=2c,其中 a>0,c>0,且 a,c 为常数: (1)若________,则集合 P 为椭圆; (2)若________,则集合 P 为线段; (3)若________,则集合 P 为空集. 2.椭圆的标准方程和几何性质

标准方程

x2 y2 + =1 a2 b2 (a>b>0)

y2 x2 + =1 a2 b2 (a>b>0)

图形

范围 对称性 顶点 性 质 轴 焦距 离心率

-a≤x≤a -b≤y≤b 对称轴:坐标轴 A1(-a,0),A2(a,0) B1(0,-b),B2(0,b)

-b≤x≤b -a≤y≤a 对称中心:原点 A1(0,-a),A2(0,a) B1(-b,0),B2(b,0)

长轴 A1A2 的长为 2a;短轴 B1B2 的长为 2b |F1F2|=2c

c e= ∈(0,1) a c2=a2-b2

a,b,c
的关系 自我检测

1.已知△ABC 的顶点 B、C 在椭圆 +y =1 上,顶点 A 是椭圆的一个焦点,且椭圆的另 3 外一个焦点在 BC 边上,则△ABC 的周长是( ) A.2 3 B.6 C.4 3 D.12 2 2 2.(2011?揭阳调研)“m>n>0”是方程“mx +ny =1 表示焦点在 y 轴上的椭圆”的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2 2 3.已知椭圆 x sin α -y cos α =1 (0≤α <2π )的焦点在 y 轴上,则 α 的取值范围 是( )
1

x2

2

?3π ,π ? ? ? 4 ? π ? ? C.? ,π ? ?2 ?
A.?

?π ,3π ? 4 ? ?4 ? π 3 π ? ? D.? , ? 4 ? ?2
B.?

4.椭圆 + =1 的焦点为 F1 和 F2,点 P 在椭圆上,如果线段 PF1 的中点在 y 轴上,那 12 3 么|PF1|是|PF2|的( ) A.7 倍 B.5 倍 C.4 倍 D. 3 倍 2 2 5.(2011?开封模拟)椭圆 5x +ky =5 的一个焦点是(0,2),那么 k 等于( ) A.-1 B.1 C. 5 D.- 5

x2

y2

探究点一 椭圆的定义及应用 2 2 2 2 例 1 (教材改编)一动圆与已知圆 O1:(x+3) +y =1 外切,与圆 O2:(x-3) +y =81 内切,试求动圆圆心的轨迹方程.

变式迁移 1 求过点 A(2,0)且与圆 x +4x+y -32=0 内切的圆的圆心的轨迹方程.

2

2

探究点二 求椭圆的标准方程 例 2 求满足下列各条件的椭圆的标准方程: (1)长轴是短轴的 3 倍且经过点 A(3,0); ?1 ? (2)经过两点 A(0,2)和 B? , 3?. ?2 ?

变式迁移 2 (1)已知椭圆过(3,0),离心率 e=

6 ,求椭圆的标准方程; 3

(2)已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴,且经过两点 P1( 6,1)、P2(- 3,- 2),求椭圆的标准方程.

2

探究点三 椭圆的几何性质 例 3 (2011?安阳模拟)已知 F1、 F2 是椭圆的两个焦点, P 为椭圆上一点, ∠F1PF2=60°. (1)求椭圆离心率的范围; (2)求证:△F1PF2 的面积只与椭圆的短轴长有关.

x2 y2 变式迁移 3 已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的长、短轴端点分别为 A、B,从此椭圆上一点 a b M(在 x 轴上方)向 x 轴作垂线,恰好通过椭圆的左焦点 F1,AB∥OM. (1)求椭圆的离心率 e; (2)设 Q 是椭圆上任意一点,F1、F2 分别是左、右焦点,求∠F1QF2 的取值范围.

方程思想的应用 例 (12 分)(2011?北京朝阳区模拟)已知中心在原点,焦点在 x 轴上的椭圆 C 的离心 1 3 率为 ,且经过点 M(1, ),过点 P(2,1)的直线 l 与椭圆 C 相交于不同的两点 A,B. 2 2 (1)求椭圆 C 的方程; → → →2 (2)是否存在直线 l,满足PA?PB=PM ?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,请说 明理由. 【答题模板】

3



(1)设椭圆 C 的方程为 2+ 2=1(a>b>0), 1 9

x2 y2 a b

+ =1, a 4b ? ? 由题意得?c 1 = , a 2 ? ?a =b +c .
2 2 2 2 2

解得 a =4, b =3.故椭圆 C 的方程为 + =1.[4 分] 4 3

2

2

x2 y2

(2) 若存在直线 l 满足条件,由题意可设直线 l 的方程为 y = k(x - 2) + 1 ,由

x y ? ? + =1, ?4 3 ? ?y=k? x-2? +1,
得(3+4k )x -8k(2k-1)x+16k -16k-8=0.[6 分] 因为直线 l 与椭圆 C 相交于不同的两点 A,B, 设 A,B 两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2), 2 2 2 所以 Δ =[-8k(2k-1)] -4?(3+4k )?(16k -16k-8)>0. 1 整理得 32(6k+3)>0,解得 k>- .[7 分] 2 2 8k? 2k-1? 16k -16k-8 又 x1+x2= ,x1x2= , 2 2 3+4k 3+4k → → →2 且PA?PB=PM , 5 即(x1-2)(x2-2)+(y1-1)(y2-1)= , 4 5 2 所以(x1-2)(x2-2)(1+k )= , 4 5 2 即[x1x2-2(x1+x2)+4](1+k )= .[9 分] 4 2 2 16k -16k-8 8k? 2k-1? 4+4k 5 2 所以[ -2? +4](1+k )= 2 2 2= , 3+4k 3+4k 3+4k 4 1 解得 k=± .[11 分] 2 1 所以 k= .于是存在直线 l 满足条件, 2 1 其方程为 y= x.[12 分] 2 【突破思维障碍】 直线与椭圆的位置关系主要是指公共点问题、 相交弦问题及其他综合问题. 反映在代数 上, 就是直线与椭圆方程联立的方程组有无实数解及实数解的个数的问题, 它体现了方程思 想的应用,当直线与椭圆相交时,要注意判别式大 于零这一隐含条件, 它可以用来检验所求参数的值是否有意义, 也可通过该不等式来求 参数的范围. 对直线与椭圆的位置关系的考查往往结合平面向量进行求解, 与向量相结合的 题目, 大都与共线、 垂直和夹角有关, 若能转化为向量的坐标运算往往更容易实现解题功能, 所以在复习过程中要格外重视.
2 2 2

2

2

1.求椭圆的标准方程,除了直接根据定义外,常用待定系数法(先定性,后定型,再定 参).当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时,可设方程为 + =1 (m>0,

x2 y2 m n

4

2 2 n>0 且 m≠n), 可以避免讨论和繁杂的计算, 也可以设为 Ax +By =1 (A>0, B>0 且 A≠B),

这种形式在解题中更简便. 2.椭圆的几何性质分为两类:一是与坐标轴无关的椭圆本身固有的性质,如:长轴长、 短轴长、 焦距、 离心率等; 另一类是与坐标系有关的性质, 如: 顶点坐标, 焦点坐标等. 第 一类性质是常数,不因坐标系的变化而变化,第二类性质是随坐标系变化而相应改变. 3.直线与椭圆的位置关系问题.它是高考的热点,通常涉及椭圆的性质、最值的求法 和直线的基础知识、线段的中点、弦长、垂直问题等,分析此类问题时,要充分利用数 形结合法、设而不求法、弦长公式及根与系数的关系去解决.

(满分:75 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1.(2011?温州模拟)若△ABC 的两个顶点坐标分别为 A(-4,0)、B(4,0),△ABC 的周 长为 18,则顶点 C 的轨迹方程为( ) A. C. + =1 (y≠0) 25 9 + =1 (y≠0) 16 9

x2 x2

y2 y2

B. D.

+ =1 (y≠0) 25 9 + =1 (y≠0) 16 9

y2 y2

x2 x2

2.已知椭圆 + =1,长轴在 y 轴上,若焦距为 4,则 m 等于( ) 10-m m-2 A.4 B.5 C.7 D.8 3.已知 F1、F2 是椭圆的两个焦点,过 F1 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于 A、B 两点, 若△ABF2 是等腰直角三角形,则这个椭圆的离心率是( ) 3 2 A. B. C. 2-1 D. 2 2 2 2 2 4.(2011?天门期末)已知圆(x+2) +y =36 的圆心为 M,设 A 为圆上任一点,N(2,0), 线段 AN 的垂直平分线交 MA 于点 P,则动点 P 的轨迹是( ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 5.椭圆 + =1 上一点 M 到焦点 F1 的距离为 2,N 是 MF1 的中点,则|ON|等于( ) 25 9 3 A.2 B.4 C.8 D. 2 二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) 3 6.已知椭圆 G 的中心在坐标原点,长轴在 x 轴上,离心率为 ,且 G 上一点到 G 的两 2 个焦点的距离之和为 12,则椭圆 G 的方程为______________. 7.(2011?唐山调研)椭圆 + =1 的焦点为 F1、F2,点 P 在椭圆上.若|PF1|=4,则 9 2 |PF2|=________;∠F1PF2 的大小为________. 8.

x2

y2

x2

y2

x2 y2

如图,已知点 P 是以 F1、F2 为焦点的椭圆 2+ 2=1 (a>b>0)上一点,若 PF1⊥PF2,tan
5

x2 y2 a b

1 ∠PF1F2= ,则此椭圆的离心率是______. 2 三、解答题(共 38 分)

x2 y2 9.(12 分)已知方向向量为 v=(1, 3)的直线 l 过点(0,-2 3)和椭圆 C: 2+ 2= a b
1(a>b>0)的右焦点,且椭圆的离心率为 (1)求椭圆 C 的方程; → → (2)若已知点 D(3,0),点 M,N 是椭圆 C 上不重合的两点,且DM=λ DN,求实数 λ 的取 值范围. 6 . 3

10.(12 分)(2011?烟台模拟)椭圆 ax +by =1 与直线 x+y-1=0 相交于 A,B 两点, 2 C 是 AB 的中点,若|AB|=2 2,OC 的斜率为 ,求椭圆的方程. 2

2

2

11.(14 分)(2010?福建)已知中心在坐标原点 O 的椭圆 C 经过点 A(2,3),且点 F(2,0) 为其右焦点. (1)求椭圆 C 的方程. (2)是否存在平行于 OA 的直线 l,使得直线 l 与椭圆 C 有公共点,且直线 OA 与 l 的距 离等于 4?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由.

6

学案 51 椭 圆 自主梳理 1.椭圆 焦点 焦距 (1)a>c (2)a=c (3)a<c 自我检测 1.C 2.C 3.D 4.A 5.B 课堂活动区 例 1 解 如图所示,设动圆的圆心为 C,半径为 r.

则由圆相切的性质知, |CO1|=1+r,|CO2|=9-r, ∴|CO1|+|CO2|=10, 而|O1O2|=6, ∴点 C 的轨迹是以 O1、O2 为焦点的椭圆,其中 2a=10,2c=6,b=4. ∴动圆圆心的轨迹方程为 2 2 x y + =1. 25 16 变式迁移 1 解 将圆的方程化为标准形式为: 2 2 2 (x+2) +y =6 ,圆心 B(-2,0),r=6. 设动圆圆心 M 的坐标为(x,y), 动圆与已知圆的切点为 C.

则|BC|-|MC|=|BM|, 而|BC|=6, ∴|BM|+|CM|=6. 又|CM|=|AM|, ∴|BM|+|AM|=6>|AB|=4. ∴点 M 的轨迹是以点 B(-2,0)、A(2,0)为焦点、线段 AB 中点(0,0)为中心的椭圆. a=3,c=2,b= 5. 2 2 x y ∴所求轨迹方程为 + =1. 9 5 例 2 解题导引 确定一个椭圆的标准方程,必须要有一个定位条件(即确定焦点的位 置)和两个定形条件(即确定 a,b 的大小).当焦点的位置不确定时,应设椭圆的标准方程为 2 2 2 2 x y y x 2 2+ 2=1 (a>b>0)或 2+ 2=1 (a>b>0),或者不必考虑焦点位置,直接设椭圆的方程为 mx a b a b 2 +ny =1 (m>0,n>0,且 m≠n). 解 (1)若椭圆的焦点在 x 轴上, 2 2 x y 设方程为 2+ 2=1 (a>b>0). a b
7

9 ∵椭圆过点 A(3,0),∴ 2=1, a x 2 ∴a=3,又 2a=3?2b,∴b=1,∴方程为 +y =1. 9 2 2 y x 若椭圆的焦点在 y 轴上,设方程为 2+ 2=1 (a>b>0). a b 9 ∵椭圆过点 A(3,0),∴ 2=1, b ∴b=3,又 2a=3?2b, 2 2 y x ∴a=9,∴方程为 + =1. 81 9 2 2 2 x y x 2 综上可知椭圆的方程为 +y =1 或 + =1. 9 81 9 ?1 ? 2 2 (2)设经过两点 A(0,2),B? , 3?的椭圆标准方程为 mx +ny =1,将 A,B 坐标代入方 ?2 ? 4n=1 ? ? 程得?1 m+3n=1 ? ?4 m=1 ? ? ?? 1 n= ? ? 4 y 2 ,∴所求椭圆方程为 x + =1. 4
2 2

c 6 2 变式迁移 2 解 (1)当椭圆的焦点在 x 轴上时,∵a=3, = ,∴c= 6,从而 b a 3 2 2 =a -c =9-6=3, 2 2 x y ∴椭圆的标准方程为 + =1. 9 3 当椭圆的焦点在 y 轴上时, 2 2 c 6 a -b 6 2 ∵b=3, = ,∴ = ,∴a =27. a 3 a 3 2 2 x y ∴椭圆的标准方程为 + =1. 9 27 2 2 2 2 x y x y ∴所求椭圆的标准方程为 + =1 或 + =1. 9 3 9 27 2 2 (2)设椭圆方程为 mx +ny =1 (m>0,n>0 且 m≠n). ∵椭圆经过 P1、P2 点,∴P1、P2 点坐标适合椭圆方程, ? ① ?6m+n=1, 则? ?3m+2n=1, ② ? 1 ? ?m=9, ①②两式联立,解得? 1 n= . ? ? 3 x y ∴所求椭圆方程为 + =1. 9 3 例 3 解题导引 (1)椭圆上一点与两焦点构成的三角形,称为椭圆的焦点三角形,与 焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、 |PF1|+|PF2|=2a,得到 a、c 的关系. 定义式的平方 ? ? (2)对△F1PF2 的处理方法?余弦定理 ? ?面积公式
8
2 2

? |PF |+|PF |? =? 2a? , ? ?4c =|PF | +|PF | -2|PF ||PF |cos θ , ?? 1 S = |PF ||PF |sin θ . ? ? 2
1 2 2 2 2 1 2 1 2 △ 1 2

2

2

x y (1)解 设椭圆方程为 2+ 2=1 (a>b>0), a b |PF1|=m,|PF2|=n. 在△PF1F2 中,由余弦定理可知, 2 2 2 4c =m +n -2mncos 60°. 2 2 2 2 ∵m+n=2a,∴m +n =(m+n) -2mn=4a -2mn. 2 2 2 2 ∴4c =4a -3mn,即 3mn=4a -4c . ?m+n?2=a2(当且仅当 m=n 时取等号), 又 mn≤? ? ? 2 ? 2 c 1 1 2 2 2 ∴4a -4c ≤3a .∴ 2≥ ,即 e≥ . a 4 2 ?1 ? ∴e 的取值范围是? ,1?. ?2 ? 4 2 1 3 2 (2)证明 由(1)知 mn= b ,∴S△PF1F2= mnsin 60°= b , 3 2 3 即△PF1F2 的面积只与短轴长有关. 2 b 变式迁移 3 解 (1)∵F1(-c,0),则 xM=-c,yM= , a 2 b b ∴kOM=- .∵kAB=- ,OM∥AB, ac a b b c 2 ∴- =- ,∴b=c,故 e= = . ac a a 2 (2)设|F1Q|=r1,|F2Q|=r2,∠F1QF2=θ , ∴r1+r2=2a,|F1F2|=2c, 2 2 2 2 2 r1+r2-4c ? r1+r2? -2r1r2-4c cos θ = = 2r1r2 2r1r2 2 2 a a = -1≥ -1=0, r1r2 r1+r2 2 ? ? 2 π 当且仅当 r1=r2 时,cos θ =0,∴θ ∈[0, ]. 2 课后练习区 1.A 2.D 3.C 4.B 5.B 2 2 x y 5 6. + =1 7.2 120° 8. 36 9 3 9.解 (1)∵直线 l 的方向向量为 v=(1, 3), ∴直线 l 的斜率为 k= 3. 又∵直线 l 过点(0,-2 3), ∴直线 l 的方程为 y+2 3= 3x. ∵a>b,∴椭圆的焦点为直线 l 与 x 轴的交点. c 6 2 2 2 ∴c=2.又∵e= = ,∴a= 6.∴b =a -c =2. a 3
2

2

2

9

∴椭圆方程为 + =1.(6 分) 6 2 (2)若直线 MN⊥y 轴,则 M、N 是椭圆的左、右顶点, 3+ 6 3- 6 λ = 或λ = ,即 λ =5+2 6或 5-2 6. 3- 6 3+ 6

x2 y2

x y ? ? + =1, 若 MN 与 y 轴不垂直,设直线 MN 的方程为 x=my+3(m≠0).由? 6 2 ? ?x=my+3
+3)y +6my+3=0. 设 M、N 坐标分别为(x1,y1),(x2,y2), 6m 则 y1+y2=- 2 ,① m +3 3 y1y2= 2 ,② m +3
2 2 2 2 3 Δ =36m -12(m +3)=24m -36>0,∴m > . 2 → → → → ∵DM=(x1-3,y1),DN=(x2-3,y2),DM=λ DN,显然 λ >0,且 λ ≠1, ∴(x1-3,y1)=λ (x2-3,y2).∴y1=λ y2. 2 1 12m 36 代入①②,得 λ + = 2 -2=10- 2 . λ m +3 m +3 2

2

2

得(m

2

?λ -2λ +1>0, ? 3 1 ∵m > ,得 2<λ + <10,即? 2 2 λ ?λ -10λ +1<0, ?
2

2

解得 5-2 6<λ <5+2 6且 λ ≠1. 综上所述,λ 的取值范围是 5-2 6≤λ ≤5+2 6, 且 λ ≠1.(12 分) 10.解 方法一 设 A(x1,y1)、B(x2,y2), 代入椭圆方程并作差得 a(x1+x2)(x1-x2)+b(y1+y2)(y1-y2)=0. y1-y2 y1+y2 2 而 =-1, =kOC= , x1-x2 x1+x2 2 代入上式可得 b= 2a.(4 分) 2 2 ? ?ax +by =1 2 由方程组? ,得(a+b)x -2bx+b-1=0, ?x+y-1=0 ? 2b b-1 ∴x1+x2= ,x1x2= , a+b a+b 再由|AB|= 1+k |x2-x1|= 2|x2-x1|=2 2, ? 2b ?2-4?b-1=4,(8 分) 得? ? a+b ?a+b? 1 2 将 b= 2a 代入得 a= ,∴b= . 3 3 2y ∴所求椭圆的方程是 + =1.(12 分) 3 3 方法二
? ?ax +by =1, 由? ?x+y=1 ?
2 2 2 2

x2

2

得(a+b)x -2bx+b-1=0.(2 分)

10

设 A(x1,y1)、B(x2,y2), 则|AB|= ?

k2+1? ? x1-x2?

2

= 2?

4b -4? a+b? ? ? a+b?

2

b-1?
2

.

a+b-ab =1.①(6 分) a+b x1+x2 b a 设 C(x,y),则 x= = ,y=1-x= , 2 a+b a+b 2 a 2 ∵OC 的斜率为 ,∴ = .(9 分) 2 b 2
∵|AB|=2 2,∴ 1 2 代入①,得 a= ,b= . 3 3

x 2y ∴椭圆方程为 + =1.(12 分) 3 3
11.解 方法一 (1)依题意,可设椭圆 C 的方程为 2+ 2=1(a>b>0),且可知其左焦点 为 F′(-2,0). ? ?c=2, 从而有? ?2a=|AF|+|AF′|=3+5=8, ? 解得?
? ?c=2, ? ?a=4.

2

2

x2 y2 a b

又 a =b +c ,所以 b =12,

2

2

2

2

故椭圆 C 的方程为 + =1.(5 分) 16 12 3 (2)假设存在符合题意的直线 l,设其方程为 y= x+t. 2 3 ? ?y=2x+t, 由? x y ? ?16+12=1,
2 2

x2

y2

得 3x +3tx+t -12=0.(7 分)

2

2

因为直线 l 与椭圆 C 有公共点, 2 2 所以 Δ =(3t) -4?3?(t -12)≥0, 解得-4 3≤t≤4 3.(9 分) 另一方面,由直线 OA 与 l 的距离 d=4, |t| 得 =4,解得 t=±2 13.(12 分) 9 +1 4 由于±2 13?[-4 3,4 3],所以符合题意的直线 l 不存在.(14 分) 方法二 (1)依题意,可设椭圆 C 的方程为 2+ 2=1(a>b>0), 4 9 ? ? 2+ 2=1, a b 且有? ? ?a2-b2=4. 从而 a =16.(3 分) 所以椭圆 C 的方程为 + =1.(5 分) 16 12 (2)同方法一.
2

x2 y2 a b

解得 b =12 或 b =-3(舍去).

2

2

x2

y2

11


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