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天津市南开中学2015届高考数学热身试卷(文科)(Word版含解析)


天津市南开中学 2015 届高考数学热身试卷(文科)
一、选择题: (本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. ) 1. (5 分)集合 A={x|2<x<7},B={x|3≤x<10},A∩B=() A.(2,10) B.[3,7) C.(2,3] D.(7,10)

2. (5 分)

若变量 x、y 满足约束条件 A.[4,7] B.[﹣1,7]

,则 z=x+y 的取值范围是() C.[ ,7] D.[1,7]

3. (5 分)下列函数中,奇函数是() A.f(x)=2
x

B.f(x)=log2x

C.f(x)=sinx+1

D.f(x)=sinx+tanx

4. (5 分)某人睡午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听电台报时,则他等待时间不 多于 15 分钟的概率为() A. B. C.
2

D.
2 2

5. (5 分)在△ ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 a +c ﹣b = 的值为() A. B.
2

ac,则角 B

C.



D.



6. (5 分)设 a,b∈R,则“(a﹣b)a <0”是“a<b”的() A.充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件

7. (5 分)设双曲线


2

=1(a>0,b>0)的离心率为

,且直线 x=﹣

(c 是双曲

线的半焦距)与抛物线 y =4x 的准线重合,则此双曲线的方程为() A. =1 B. =1

C.

=1

D.

=1

版权所有:中华资源库 www.ziyuanku.com

8. (5 分)设 f(x) 、g(x)都是定义在实数集上的函数,定义函数(f?g) (x) ,?x∈R, (f?g) (x)=f(g(x) ) ,若 f(x)= A.(f?f) (x)=f(x) B. D.(g?g) (x)=g(x) ,g(x)= (f?g) (x)=f(x) ,则() C. (g?f) (x)=g(x)

二.填空题: (本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.请将答案填在答题纸上!) 9. (5 分)已知复数 z=(2﹣i) (1+3i) ,其中 i 是虚数单位,则复数 z 在复平面上对应的点 位于第象限.

10. (5 分)已知向量 =(﹣3,4) , =(1,m) ,若 ?( ﹣ )=0,则 m=. 11. (5 分)三棱锥 S﹣ABC 及其三视图中的正(主)视图和侧(左)视图如图所示,则棱 SB 的长为.

12. (5 分)阅读如图所示的程序框图,若输入 i=5,则输出的 k 值为.

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13. (5 分)如图,过圆 O 外一点 P 分别作圆的切线和割线交圆于 A,B,且 PB=7,C 是圆 上一点使得 BC=5,∠BAC=∠APB,则 AB=.

14. (5 分)设 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且 f(2+x)=f(2﹣x) ,当 x∈[﹣2,0]时,f (x)=( ) ﹣1,若在区间(﹣2,6)内关于 x 的方程 f(x)﹣loga(x+2)=0(a>0) ,
x

有 4 个不同的根,则 a 的范围是.

三、解答题: (本答题共 6 小题,15 至 18 小题每题 13 分,19 至 20 小题每题 14 分,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 15. (13 分)已知函数 f(x)=2sinxcosx+cos2x(x∈R) . (1)求 f(x)的最小正周期和最大值; (2)若 θ 为锐角,且 ,求 tan2θ 的值.

16. (13 分)某校从 2014-2015 学年高一年级学生中随机抽取 40 名学生,将他们的期 2015 届中考试数学成绩(满分 100 分,成绩均为不低于 40 分的整数)分成六段:[40,50) ,[50, 60) ,…,[90,100]后得到如图所示的频率分布直方图. (1)求图中实数 a 的值; (2)若该校 2014-2015 学年高一年级共有学生 640 人,试估计该校 2014-2015 学年高一年 级期 2015 届中考试数学成绩不低于 60 分的人数; (3)若从数学成绩在[40,50)与[90,100]两个分数段内的学生中随机选取两名学生,求这 两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于 10 的概率.

17. (13 分)如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 是菱形,∠DAB=60°,PD⊥平面 ABCD,PD=AD=1,点 E,F 分别为 AB 和 PD 中点.
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(1)求证:直线 AF∥平面 PEC; (2)求证:AC⊥平面 PBD; (3)求 PE 与平面 PDB 所成角的正弦值.

18. (13 分)已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的离心率为

.且过点(

,1) .

(1)求椭圆 C 的标准方程; (2)设直线 l 过椭圆 C 的右焦点 F 且与椭圆 C 交于 A,B 两点,在椭圆 C 上是否存在点 P, 使得当 l 绕 F 转到某一位置时,有 程;若不存在,请说明理由. 19. (14 分)已知函数 f(x)=lnx,g(x)=f(x)﹣ (a∈R) ( I)判断函数 g(x)的单调性; (Ⅱ)是否存在实数 m,使得 f(x)+f(m﹣1)>m﹣ 出实数 m 的取值范围;若不存在,请说明理由. 20. (14 分)给定一个数列{an},在这个数列里,任取 m(m≥3,m∈N )项,并且不改变它 们在数列{an}中的先后次序,得到的数列{an}的一个 m 阶子数列. 已知数列{an}的通项公式为 an= 一个 3 子阶数列. (1)求 a 的值; (2)等差数列 b1,b2,…,bm 是{an}的一个 m(m≥3,m∈N )阶子数列,且 b1= (k 为常 数,k∈N ,k≥2) ,求证:m≤k+1 * (3) 等比数列 c1, c2, …, cm 是{an}的一个 m (m≥3, m∈N ) 阶子数列, 求证: c1+c1+…+cm≤2 ﹣ .
* * *

=

+

成立?若存在,求出所有的 P 的坐标与 l 的方

对任意 x≥1 恒成立,若存在,求

(n∈N ,a 为常数) ,等差数列 a2,a3,a6 是数列{an}的

*

天津市南开中学 2015 届高考数学热身试卷(文科)
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参考答案与试题解析

一、选择题: (本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. ) 1. (5 分)集合 A={x|2<x<7},B={x|3≤x<10},A∩B=() A.(2,10) B.[3,7) C.(2,3] D.(7,10) 考点: 交集及其运算. 专题: 集合. 分析: 由 A 与 B,找出两集合的交集即可. 解答: 解:∵A=(2,7) ,B=[3,10) , ∴A∩B=[3,7) , 故选:B. 点评: 此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.

2. (5 分)若变量 x、y 满足约束条件 A.[4,7] B.[﹣1,7]

,则 z=x+y 的取值范围是() C.[ ,7] D.[1,7]

考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,通过平移从而求出 z 的取值范围. 解答: 解:作出不等式组对应的平面区域如图: (阴影部分 ABC) . 由 z=x+y 得 y=﹣x+z,即直线的截距最大,z 也最大. 平移直线 y=﹣x+z, 即直线 y=﹣x+z 经过点 C (3, 4) 时, 截距最大, 此时 z 最大, 为 z=3+4=7. 经过点时,截距最小, 由 ,得 ,即 A(﹣3,4) ,此时 z 最小,为 z=﹣3+4=1.

∴1≤z≤7, 故 z 的取值范围是[1,7]. 故选:D.

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点评: 本题主要考查线性规划的应用, 利用目标函数的几何意义, 结合数形结合的数学思 想是解决此类问题的基本方法. 3. (5 分)下列函数中,奇函数是() x A.f(x)=2 B.f(x)=log2x

C.f(x)=sinx+1

D.f(x)=sinx+tanx

考点: 函数奇偶性的判断. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数奇偶性的定义进行判断即可. 解答: 解:A.f(x)=2 为增函数,非奇非偶函数, B.f(x)=log2x 的定义域为(0,+∞) ,为非奇非偶函数, C.f(﹣x)=﹣sinx+1,则 f(﹣x)≠﹣f(x)且 f(﹣x)≠f(x) ,则函数 f(x)为非奇非 偶函数, D.f(﹣x)=﹣sinx﹣tanx=﹣(sinx+tanx)=﹣f(x) ,则函数 f(x)为奇函数,满足条件. 故选:D 点评: 本题主要考查函数的奇偶性的判断,比较基础. 4. (5 分)某人睡午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听电台报时,则他等待时间不 多于 15 分钟的概率为() A. B. C. D.
x

考点: 几何概型. 专题: 概率与统计. 分析: 由电台整点报时的时刻是任意的知这是一个几何概型, 电台整点报时知事件总数包 含的时间长度是 60, 而他等待的时间不多于 15 分钟的事件包含的时间长度是 15, 两值一比 即可求出所求. 解答: 解:由题意知这是一个几何概型, ∵电台整点报时, ∴事件总数包含的时间长度是 60, ∵满足他等待的时间不多于 15 分钟的事件包含的时间长度是 15, 由几何概型公式得到 P= =

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故选 B. 点评: 本题主要考查了几何概型,本题先要判断该概率模型,对于几何概型,它的结果要 通过长度、面积或体积之比来得到,属于中档题. 5. (5 分)在△ ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 a +c ﹣b = 的值为() A. B. C. 或 D. 或
2 2 2

ac,则角 B

考点: 余弦定理的应用. 专题: 计算题. 分析: 通过余弦定理求出 cosB 的值,进而求出 B. 解答: 解:∵ ,

∴根据余弦定理得 cosB= ∴ ,又在△ 中所以 B 为 .

,即



故选 A. 点评: 本题考查了余弦定理的应用. 注意结果取舍问题, 在平时的练习过程中一定要注意 此点. 6. (5 分)设 a,b∈R,则“(a﹣b)a <0”是“a<b”的() A.充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 简易逻辑. 分析: 根据充分必要条件定义判断,结合不等式求解. 解答: 解:∵a,b∈R,则(a﹣b)a <0, ∴a<b 成立, 2 由 a<b,则 a﹣b<0,“(a﹣b)a ≤0, 所以根据充分必要条件的定义可的判断: 2 a,b∈R,则“(a﹣b)a <0”是 a<b 的充分不必要条件, 故选:A 点评: 本题考查了不等式,充分必要条件的定义,属于容易题.
2 2

7. (5 分)设双曲线


2

=1(a>0,b>0)的离心率为

,且直线 x=﹣

(c 是双曲

线的半焦距)与抛物线 y =4x 的准线重合,则此双曲线的方程为() A. =1 B. =1
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C.

=1

D.

=1

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程.

分析: 由已知条件推导出

,由此能求出双曲线方程.

解答: 解:∵双曲线



=1(a>0,b>0)的离心率为
2



直线 x=﹣

(c 是双曲线的半焦距)与抛物线 y =4x 的准线重合,



,解得 a=

,c=3,b=

=



∴双曲线方程为



故选:D. 点评: 本题考查双曲线方程的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意双曲线的简单性 质的灵活运用. 8. (5 分)设 f(x) 、g(x)都是定义在实数集上的函数,定义函数(f?g) (x) ,?x∈R, (f?g) (x)=f(g(x) ) ,若 f(x)= A.(f?f) (x)=f(x) B. D.(g?g) (x)=g(x) ,g(x)= (f?g) (x)=f(x) ,则() C. (g?f) (x)=g(x)

考点: 函数解析式的求解及常用方法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据题目给的定义函数分别求出(f?f) (x)等,然后判断即可,注意分段函数的 定义域对解析式的影响. 解答: 解:对于 A,因为 f(x)=
2 2

,所以当 x>0 时,f(f(x) )=f(x)=x;
2 2

当 x≤0 时,f(x)=x ≥0,特别的,x=0 时 x=x ,此时 f(x )=x , 所以(f?f) (x)= =f(x) ,故 A 正确;

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对于 B,由已知得(f?g) (x)=f(g(x) )=

,显然不等于 f(x) ,

故 B 错误;

对于 C,由已知得(g?f) (x)=g(f(x) )=

,显然不等于 g(x) ,故 C 错

误; 对于 D,由已知得(g?g) (x)= ,显然不等于 g(x) ,故 D 错误.

故选 A. 点评: 本题考查了“新定义问题”的解题思路,要注重对概念的理解,同时本题考查了指数 函数与对数函数的性质,属于中档题. 二.填空题: (本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.请将答案填在答题纸上!) 9. (5 分)已知复数 z=(2﹣i) (1+3i) ,其中 i 是虚数单位,则复数 z 在复平面上对应的点 位于第一象限. 考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 利用复数的运算法则、几何意义即可得出. 解答: 解:复数 z=(2﹣i) (1+3i)=5+5i, 复数 z 在复平面上对应的点(5,5)位于第一象限. 故答案为:一. 点评: 本题考查了复数的运算法则、几何意义,属于基础题.

10. (5 分)已知向量 =(﹣3,4) , =(1,m) ,若 ?( ﹣ )=0,则 m=7. 考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 根据向量的坐标公式,以及向量垂直的定义直接计算即可. 解答: 解:由题可知: ?( ﹣ )=(﹣3,4)?[(﹣3,4)﹣(1,m)] =(﹣3,4)?(﹣4,4﹣m) =12+16﹣4m=0, 即 m=7, 故答案为:7. 点评: 本题考查平面向量数量积的运算,注意解题方法的积累,属于基础题.

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11. (5 分)三棱锥 S﹣ABC 及其三视图中的正(主)视图和侧(左)视图如图所示,则棱 SB 的长为 4 .

考点: 简单空间图形的三视图. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 由已知中的三视图可得 SC⊥平面 ABC, 底面△ ABC 为等腰三角形, SC=4, △ ABC 中 AC=4,AC 边上的高为 2 ,进而根据勾股定理得到答案. 解答: 解:由已知中的三视图可得 SC⊥平面 ABC, 且底面△ ABC 为等腰三角形, 在△ ABC 中 AC=4,AC 边上的高为 2 , 故 BC=4, 在 Rt△ SBC 中,由 SC=4, 可得 SB=4 , 故答案为:4 点评: 本题考查的知识点是简单空间图象的三视图, 其中根据已知中的视图分析出几何体 的形状及棱长是解答的关键. 12. (5 分)阅读如图所示的程序框图,若输入 i=5,则输出的 k 值为 3.

考点: 循环结构;程序框图. 专题: 计算题;算法和程序框图.
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分析: 根据框图的流程依次计算运行的结果,直到满足条件 i>150,确定 k 的值. 解答: 解:由程序框图知:若输入 i=5,第一次循环 i=3×5+1=16<150,k=0+1=1; 第二次循环 i=3×16+1=49<150,k=1+1=2; 第三次循环 i=49×3+1=148<150,k=2+1=3; 第四次循环 i=148×3+1=445>150,输出 k=3. 故答为:3. 点评: 本题考查了循环结构的程序框图, 根据框图的流程依次计算运行的结果是解答此类 问题的常用方法. 13. (5 分)如图,过圆 O 外一点 P 分别作圆的切线和割线交圆于 A,B,且 PB=7,C 是圆 上一点使得 BC=5,∠BAC=∠APB,则 AB= .

考点: 圆的切线的性质定理的证明. 专题: 直线与圆. 分析: 根据同弧所对的圆周角与弦切角相等,得到∠C=∠BAP,根据所给的两个角相等, 得到两个三角形相似,根据相似三角形对应边成比例,得到比例式,代入已知的长度,求出 结果. 解答: 解:∵∠BAC=∠APB, ∠C=∠BAP, ∴△PAB∽△ACB, ∴ ∴AB =PB?BC=7×5=35, ∴AB= , 故答案为: . 点评: 本题可选圆的切线的性质的应用, 考查同弧所对的圆周角等于弦切角, 考查三角形 相似的判断和性质,本题是一个综合题目. 14. (5 分)设 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且 f(2+x)=f(2﹣x) ,当 x∈[﹣2,0]时,f (x)=( ) ﹣1,若在区间(﹣2,6)内关于 x 的方程 f(x)﹣loga(x+2)=0(a>0) ,
x 2

有 4 个不同的根,则 a 的范围是(8,+∞) . 考点: 根的存在性及根的个数判断. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由已知中可以得到函数 f(x)是一个周期函数,且周期为 4,将方程 f(x)﹣loga (x+2)=0 恰有 4 个不同的实数解,转化为函数 f(x)的与函数 y=﹣loga(x+2)的图象恰 有 4 个不同的交点,数形结合即可得到实数 a 的取值范围.
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解答: 解:∵对于任意的 x∈R,都有 f(x﹣2)=f(2+x) , ∴f(x+4)=f[2+(x+2)]=f[(x+2)﹣2]=f(x) , ∴函数 f(x)是一个周期函数,且 T=4. 又∵当 x∈[﹣2,0]时,f(x)=( ) ﹣1,且函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,
x

若在区间(﹣2,6)内关于 x 的方程 f(x)﹣loga(x+2)=0 恰有 4 个不同的实数解, 则函数 y=f(x)与 y=loga(x+2)在区间(﹣2,6)上有四个不同的交点,如下图所示:

又 f(﹣2)=f(2)=f(6)=1, 则对于函数 y=loga(x+2) , 由题意可得,当 x=6 时的函数值小于 1, 即 loga8<1, 由此解得:a>8, ∴a 的范围是(8,+∞) 故答案为: (8,+∞) . 点评: 本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断, 指数函数与对数函数的图象与性 质,其中根据方程的解与函数的零点之间的关系,将方程根的问题转化为函数零点问题,是 解答本题的关键,体现了转化和数形结合的数学思想,属于中档题. 三、解答题: (本答题共 6 小题,15 至 18 小题每题 13 分,19 至 20 小题每题 14 分,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 15. (13 分)已知函数 f(x)=2sinxcosx+cos2x(x∈R) . (1)求 f(x)的最小正周期和最大值; (2)若 θ 为锐角,且 ,求 tan2θ 的值.

考点: 三角函数的周期性及其求法;三角函数的恒等变换及化简求值. 专题: 计算题. 分析: (1)利用二倍角公式、两角和的正弦函数化简函数为一个角的一个三角函数的形 式,然后求函数 f(x)的最小正周期和最大值; (2)通过 θ 为锐角,且 ,求出 cos2θ 的值,sin2θ 的值,然后求 tan2θ 的

值. 解答: (1)解:f(x)=2sinxcosx+cos2x=sin2x+cos2x(2 分) = (3 分)

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=

. (4 分) ,最大值为 ,∴ . (8 分) ,∴0<2θ<π. . (10 分) . (12 分) . (6 分) . (7 分)

∴f(x)的最小正周期为 (2)解:∵ ∴

∵θ 为锐角,即 ∴ ∴

点评: 本小题主要考查三角函数性质,同角三角函数的基本关系、两倍角公式等知识,考 查化归与转化的数学思想方法和运算求解能力. 16. (13 分)某校从 2014-2015 学年高一年级学生中随机抽取 40 名学生,将他们的期 2015 届中考试数学成绩(满分 100 分,成绩均为不低于 40 分的整数)分成六段:[40,50) ,[50, 60) ,…,[90,100]后得到如图所示的频率分布直方图. (1)求图中实数 a 的值; (2)若该校 2014-2015 学年高一年级共有学生 640 人,试估计该校 2014-2015 学年高一年 级期 2015 届中考试数学成绩不低于 60 分的人数; (3)若从数学成绩在[40,50)与[90,100]两个分数段内的学生中随机选取两名学生,求这 两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于 10 的概率.

考点: 列举法计算基本事件数及事件发生的概率; 频率分布直方图; 用样本的频率分布估 计总体分布. 专题: 概率与统计. 分析: (1)根据图中所有小矩形的面积之和等于 1 建立关于 a 的等式,解之即可求出所 求; (2)根据频率分布直方图,成绩不低于 60 分的频率,然后根据频数=频率×总数可求出所 求;
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(3)成绩在[40,50)分数段内的人数,以及成绩在[90,100]分数段内的人数,列出所有的 基本事件,以及两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于 10 的基本事件,最后利用古典概 型的概率公式解之即可. 解答: (1)解:由于图中所有小矩形的面积之和等于 1, 所以 10×(0.005+0.01+0.02+a+0.025+0.01)=1.…(1 分) 解得 a=0.03.…(2 分) (2)解:根据频率分布直方图,成绩不低于 60 分的频率为 1﹣10×(0.005+0.01)=0.85.… (3 分) 由于该校 2014-2015 学年高一年级共有学生 640 人,利用样本估计总体的思想,可估计该校 2014-2015 学年高一年级数学成绩不低于 60 分的人数约为 640×0.85=544 人. …(5 分) (3)解:成绩在[40,50)分数段内的人数为 40×0.05=2 人,分别记为 A,B.…(6 分) 成绩在[90,100]分数段内的人数为 40×0.1=4 人,分别记为 C,D,E,F.…(7 分) 若从数学成绩在[40,50)与[90,100]两个分数段内的学生中随机选取两名学生,则所有的 基本事件有: (A,B) , (A,C) , (A,D) , (A,E) , (A,F) , (B,C) , (B,D) , (B,E) , (B,F) , (C,D) , (C,E) , (C,F) , (D,E) , (D,F) , (E,F)共 15 种.…(9 分) 如果两名学生的数学成绩都在[40,50)分数段内或都在[90,100]分数段内,那么这两名学 生的数学成绩之差的绝对值一定不大于 10.如果一个成绩在[40,50)分数段内,另一个成 绩在[90,100]分数段内,那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于 10. 记“这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于 10”为事件 M, 则事件 M 包含的基本事件有: (A,B) , (C,D) , (C,E) , (C,F) , (D,E) , (D,F) , (E,F)共 7 种.…(11 分) 所以所求概率为 .…(12 分)

点评: 本小题主要考查频率、频数、统计和概率等知识,考查数形结合、化归与转化的数 学思想方法,以及运算求解能力. 17. (13 分)如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 是菱形,∠DAB=60°,PD⊥平面 ABCD,PD=AD=1,点 E,F 分别为 AB 和 PD 中点. (1)求证:直线 AF∥平面 PEC; (2)求证:AC⊥平面 PBD; (3)求 PE 与平面 PDB 所成角的正弦值.

考点: 直线与平面所成的角;直线与平面平行的判定;直线与平面垂直的判定. 专题: 空间位置关系与距离;空间向量及应用. 分析: (1)利用中点问题,得出直线的平行 AF∥EM,利用直线平面的平行问题求解证 明即可.

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(2)根据几何图形得出 AC⊥BD,直线平面的垂直得出 PD⊥AC,再运用判定定理求解证 明即可. (3)运用直线平面所成角的定义得出夹角,转化为直角三角形中求解即可. 解答: 解: (1)证明:作 FM∥CD 交 PC 于 M. ∵点 F 为 PD 中点,∴FM= ∵k= ,∴AE= =FM, .

∴AEMF 为平行四边形,∴AF∥EM, ∵AF?平面 PCE,EM?平面 PEC, ∴直线 AF∥平面 PEC. (2)∵底面 ABCD 是菱形, ∴AC⊥BD, ∵PD⊥平面 ABCD,AC?平面 ABCD, ∴PD⊥AC ∵PD∩BD=D, ∴AC⊥平面 PBD; (3)

连接 PE,PG ∵点 E,O 分别为 AB 和 AC 中点. ∴AO∥EG, ∵AC⊥平面 PBD, ∴EG⊥平面 PBD, 根据直线与平面所成角的定义可得:∠EPG 为 PE 与平面 PDB 所成角, Rt△ EGP 中,AO= DE= ,PE= ,EG= = , ,

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∴sin∠EPG=

=



∴PE 与平面 PDB 所成角的正弦值=



点评: 本题考查了空间直线平面的平行,垂直,空间夹角问题,关键是熟练掌握定理,定 义,把空间问题转化为平面问题求解,直线,直线,平面之间的转化问题.

18. (13 分)已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的离心率为

.且过点(

,1) .

(1)求椭圆 C 的标准方程; (2)设直线 l 过椭圆 C 的右焦点 F 且与椭圆 C 交于 A,B 两点,在椭圆 C 上是否存在点 P, 使得当 l 绕 F 转到某一位置时,有 程;若不存在,请说明理由. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)利用离心率为 .且过点( ,1) ,建立方程求得 a 和 b,即可椭圆 C 的 = + 成立?若存在,求出所有的 P 的坐标与 l 的方

标准方程. (2)把 l:x=ty+1 代入椭圆方程,由韦达定理可求得 y1+y2 和 y1y2 的表达式,可得点 P 的 坐标,代入椭圆方程,求得 t,进而求得 P 点坐标与直线 l 的方程.
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解答: 解: (1)由已知得 = 又椭圆过点( ∴a= ,b=

,∴

c,∴b=

c

,1) ,代入椭圆方程得 c=1, , ;

∴所求椭圆的标准方程为

(2)假设存在满足题设条件的直线 由题意知直线的斜率不为 0,设直线的方程为 l:x=ty+1 设 A(x1,y1) 、B(x2,y2) ,把 l:x=ty+1 代入椭圆方程得 整理得(2t +3)y +4ty﹣4=0,显然△ >0. 由韦达定理有:y1+y2=﹣ ∴x1+x2= ∴P( ,﹣ )
2 2 2 2





∵P 在椭圆上,∴代入椭圆方程整理得(2t +3) (2t ﹣1)=0 ∴t=± 当 t= 当 t=﹣ . 时,点 P 的坐标为( ,﹣ 时,点 P 的坐标为( , ) ,直线的方程为 ) ,直线的方程为 ﹣y﹣ +y﹣ =0. =0. = + 成

点评: 本题考查椭圆 C 的方程的求法,探究椭圆 C 上是否存在点 P,使得 立,考查韦达定理的运用,考查学生的计算能力,有难度. 19. (14 分)已知函数 f(x)=lnx,g(x)=f(x)﹣ (a∈R) ( I)判断函数 g(x)的单调性; (Ⅱ)是否存在实数 m,使得 f(x)+f(m﹣1)>m﹣ 出实数 m 的取值范围;若不存在,请说明理由.

对任意 x≥1 恒成立,若存在,求

考点: 利用导数研究函数的单调性;导数在最大值、最小值问题中的应用. 专题: 导数的综合应用. 分析: (Ⅰ)先求导,再分当 a≥0 和 a<0 两种情况根据导数和函数的单调性的关系得到 结论.

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(2)由题意分离参数得到 m﹣1+ln 出函数的最小值 h(1)=1,又因为 h( 故不存在实数 m 使得原不等式成立. 解答: 解: (Ⅰ)∵f(x)=lnx, ∴g(x)=f(x)﹣ =lnx﹣ ,x>0, ∴g′(x)= + = ,

<lnx+ ,x∈[1,+∞) ,设 h(x)lnx+ 利用导数求 )=m﹣1+ln ≥1,故得出矛盾,故

当 a≥0 时,在(0,+∞)上,g′(x)>0,此时函数 g(x)在(0,+∞)上单调递增, 当 a<0 时,在(0,﹣a)上,g′(x)<0,此时函数 g(x)在(0,﹣a)上单调递减, 在(﹣a,+∞)上,g′(x)>0,此时函数 g(x)在(﹣a,+∞)上单调递增, 综上所述,当 a≥0 时,函数 g(x)在(0,+∞)上单调递增,当 a<0 时,g(x)在(0, ﹣a)上单调递减,在(﹣a,+∞)上单调递增. (Ⅱ)∵f(x)+f(m﹣1)>m﹣ ∴lnx+ln(m﹣1)>m﹣ ∴m﹣ln(m﹣1)<lnx+ ∴m﹣1+ln , ,x∈[1,+∞) , ,

<lnx+ ,x∈[1,+∞) ,①

由(Ⅰ)可知当 a=﹣1 时,h(x)lnx+ 在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增. ∴当 x=1 时,h(x)min=h(1)=1, ∴要使①成立,需使 m﹣1+ln 由(Ⅰ)可知 h( )=m﹣1+ln <1,② ≥1,与②矛盾,

故不存在实数 m 使得原不等式成立. 点评: 本题考查了函数导数和函数的单调性最值的关系, 以及恒成立问题, 关键是分离参 数,构造函数,属于中档题. 20. (14 分)给定一个数列{an},在这个数列里,任取 m(m≥3,m∈N )项,并且不改变它 们在数列{an}中的先后次序,得到的数列{an}的一个 m 阶子数列. 已知数列{an}的通项公式为 an= 一个 3 子阶数列. (1)求 a 的值; (2)等差数列 b1,b2,…,bm 是{an}的一个 m(m≥3,m∈N )阶子数列,且 b1= (k 为常 数,k∈N ,k≥2) ,求证:m≤k+1
* * *

(n∈N ,a 为常数) ,等差数列 a2,a3,a6 是数列{an}的

*

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(3) 等比数列 c1, c2, …, cm 是{an}的一个 m (m≥3, m∈N ) 阶子数列, 求证: c1+c1+…+cm≤2 ﹣ .

*

考点: 数列的求和;等差数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)利用等差数列的定义及其性质即可得出; (2)设等差数列 b1,b2,…,bm 的公差为 d.由 b1= ,可得 b2≤ 通项公式及其不等式的性质即可证明; (3) 设 c1= (t∈N ) , 等比数列 c1, c2, …, cm 的公比为 q. 由 c2≤
n﹣1 * *

,再利用等差数列的

, 可得 q=



. 从

而 cn=c1q



(1≤n≤m,n∈N ) .再利用等比数列的前 n 项和公式、函数的

单调性即可得出. 解答: (1)解:∵a2,a3,a6 成等差数列, ∴a2﹣a3=a3﹣a6. 又∵a2= 代入得 ,a3= ﹣ = ,a6= ﹣ , ,解得 a=0.

(2)证明:设等差数列 b1,b2,…,bm 的公差为 d. ∵b1= ,∴b2≤ 从而 d=b2﹣b1≤ , ﹣ =﹣ . . >0.

∴bm=b1+(m﹣1)d≤ ﹣ 又∵bm>0,∴ ﹣ 即 m﹣1<k+1. ∴m<k+2. * 又∵m,k∈N ,∴m≤k+1. (3)证明:设 c1=

(t∈N ) ,等比数列 c1,c2,…,cm 的公比为 q.

*

∵c2≤

,∴q=
n﹣1




*

从而 cn=c1q



(1≤n≤m,n∈N ) . + +…+

∴c1+c2+…+cm≤ +

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= 设函数 f(x)=x﹣

, , (m≥3,m∈N ) . 为单调增函数. .
*

当 x∈(0,+∞)时,函数 f(x)=x﹣ ∵当 t∈N ,∴1< 即 c1+c2+…+cm≤2﹣
*

≤2.∴f( .

)≤2﹣

点评: 本题考查了利用等比数列与等差数列的通项公式及其前 n 项和公式、函数的单调 性、不等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于难题.

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