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2016届重庆市巴蜀中学高三上学期一诊模拟考试数学(理)试题(解析版)


高三 2016 届一诊模拟考试 理科数学
第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的.
1.如果复数 z ? a 2 ? a ? 2 ? (a 2 ? 3a ? 2)i 为纯虚数,那么实数 a 的值为 A.-2 B.1 C.2 D.1 或-2

2 x 2.已知集合 A ? x y ? log 2 ( 4 ? x ) , B ? y y ? 2 ? 1 ,则 A ? B ?

?

?

?

?

A. ?

B.(1,3)

C. (1,??)

D.(1,2)

3.直线 l 过点(0,2),被圆 C : x 2 ? y 2 ? 4x ? 6 y ? 9 ? 0 截得的弦长为 2 3 ,则直线 l 的方程是 A. y ?

4 x?2 3
9 10

B. y ? ?

1 x?2 3
10 11

C.y=2

D. y ?

4 x ? 2 或 y=2 3

4.执行如图所示的程序框图后,输出的结果为 A.

7 8

B.

C.

8 9

D.

2 5.已知各项不为 0 的等差数列 ?an ?满足 a4 ? 2a7 ? 3a8 ? 0 ,数列 ?bn ?是等比数列,且 b7 ? a7 ,则 b3b8b10 =

A.1

B.8

C.4

D.2

6.已知函数 f(x)是定义在 (??,??) 上的奇函数,若对于任意的实数 x ? 0 ,都有 f ( x ? 2) ? f ( x) ,且当

x ? [0,2) 时, f ( x) ? log2 ( x ? 1) ,则 f (2014 ) ? f (?2015 ) ? f (2016 ) 的值为

A.-1

B.-2

C.2

D.1

7.对于函数 f(x)=xcosx,现有下列命题:①函数 f(x)是奇函数;②函数 f(x)的最小正周期是 2? ;③点 ( 是函数 f(x)的图象的一个对称中心;④函数 f(x)在区间 [0, A.②④ B.①④ C.②③ D.①③

?
2

,0 )

?
4

] 上单调递增.其中是真命题的为

9.在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边长分别为 a,b,c,已知 a ? c ? b ,且 sin( A ? C ) ? 2 cos A sin C ,
2 2

则 b= A.6 B.4 C.2 D.1

10.已知正三棱锥 V-ABC 的正视图、侧视图和俯视图如图所示,则该正三棱锥侧视图的面积是 A. 39 B. 6 3 C. 8 3 D.6

11.抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F,已知点 A,B 为抛物线上的两个动点,且满足∠AFB=120°.过弦
2

AB 的中点 M 作抛物线准线的垂线 MN,垂足为 N,则

MN AB

的最大值为

A.2

B.

3 3

C.1

D.

2 3 3
x ?1 ? 1 ; 4

12.若函数 f(x)在[a,b]上的值域为 [ , ] ,则称函数 f(x)为“和谐函数”.下列函数中:① g ( x ) ?
x ② h( x) ? log1 (( ) ? ) ;③ p ( x ) ? 2

a b 2 2

1 2

1 8

1 ;④ q( x) ? ln x .“和谐函数”的个数为 x

A.1 个

B.2 个

C.3 个

D.4 个

第Ⅱ卷(共 90 分)
二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)
13.已知函数 f ( x) ? ? 14.二项式 ( 2 x ?

?log3 x, x ? 0, 1 则 f ( f ( f ( ))) ? _______. x 3 ? 2 , x ? 0,

1 n ) (n ? N ? ) 的展开式中, 二项式系数最大的项是第 4 项, 则其展开式中的常数项是_____. 2x

15.△ABC 中,∠A=120°,∠A 的平分线 AD 交边 BC 于 D,且 AB=2,CD=2DB,则 AD 的长为_____ 16.A,B,C,D 四点在半径为 的体积是______.

5 2 的球面上,且 AC=BD=5,AD=BC= 41 ,AB=CD,则三棱锥 D-ABC 2

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.(本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ?的首项 a1 ? 1 ,且满足 (an?1 ?1)an ? an?1 ? 0(n ? N ? ) . (1)求数列 ?an ?的通项公式;

3n (2)设 cn ? ,求数列 ?cn ?的前 n 项和 Sn . an
18.(本小题满分 12 分) 某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽出 60 名学生,将其数学成绩(均为整数)分成六段[40,50), [50,60),...,[90,100]后得到如图所示的部分频率分布直方图.观察图形的信息,回答下列问题: (1)求分数在[70,80)内的频率,并补全这个频率分布直方图,统计方法中,同一组数据常用该组区间的中 点值作为代表,据此估计本次考试的平均分; ‘ (2)若从 60 名学生中随机抽取 2 人,抽到的学生成绩在[40,60)记 0 分,在[60,80)记 1 分,在[80,100]记 2 分,用 ? 表示抽取结束后的总记分,求 ? 的分布列和数学期望.

19.(本小题满分 12 分) 如图,在直四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 中,底面是边长为 1 的正方形,侧棱 AA 1 ? 2 ,E 是侧棱 BB1 的中点. (1)求证:平面 AD 1 E ⊥平面 A 1 D1 E ; (2)求二面角 E ? AC1 ? B 的正切值.

20.(本小题满分 12 分) 椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,作直线 l 交椭圆于 P,Q 两点,M 为线段 PQ 的中点,O 为坐标原点,设 a 2 b2
2 . 3

直线 l 的斜率为 k1 ,直线 OM 的斜率为 k2 , k1k 2 ? ? (1)求椭圆 C 的离心率;

(2)设直线 l 与 x 轴交于点 D(? 3,0) ,且满足 DP ? 2QD ,当△OPQ 的面积最大时,求椭圆 C 的方程. 21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ? kx ? 1 . (1)若 f ( x) ? 0 恒成立,试确定实数 k 的取值范围;

(2)证明:

ln 2 ln 3 ln 4 ln n 1 n 2 ? n ? 10 ? ? ? ??? ? 2 ? (1 ? ) n ? (n ? N ? , n ? 2) . 3 8 15 n ?1 n 4

请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.(本小题满分 10 分) 【选修 4-1:几何证明选讲】 如图,在△ABC 中,DC⊥AB 于 D,BE⊥AC 于 E,BE 交 DC 于点 F,若 BF=FC=3,DF=FE=2. (1)求证: AD ? AB ? AE ? AC ; (2)求线段 BC 的长度.

23.(本小题满分 10 分) 【选修 4-4:坐标系与参数方程】 已知曲线 C 的参数方程为: ?

? x ? 2 cos? , ? x ? 2 ? 3t , (? 为参数) (t 为参数) ,直线 l 的参数方程为: ? ,点 ? y ? sin ? , ? y ? 1 ? t,

P(2,1),直线 l 与曲线 C 交于 A,B 两点. (1)写出曲线 C 和直线 l 在直角坐标系下的标准方程; (2)求 PA ? PB 的值. 24.(本小题满分 10 分) 【选修 4-5:不等式选讲】 (1)设函数 f ( x) ?

x ? 1 ? x ? 2 ? a 的定义域为 R,试求 a 的取值范围;
2 2 2

(2)已知实数 x,y,z 满足 x+2y+3z=1,求 x ? y ? z 的最小值.

高 2016 届一诊模拟考试理科数学参考答案
一、选择题 1-5 ADDCB 6-10 ABACD 11-12BC

【解析】

? a 2 ? a ? 2 ? 0, 1. ? 2 即 a=-2,故选 A. ?a ? 3a ? 2 ? 0,

4. S ?

1 1 1 8 ? ? ??? ? ? ,故选 C. 1? 2 2 ? 3 8? 9 9

2 2 5.设等差数列的公差是 d, 由 a4 ? 2a7 解得 a7 ? 2 或者 a7 ? 0 (舍 ? 3a8 ? 0 , a7 ? 3d ? 2a7 ? 3(a7 ? d ) ? 0 ,

去) ,所以 b3b8b10 ? (b7 )3 ? 8 ,故选 B. 6.由已知 f(x)为 R 上的奇函数,且对于任意的实数 x ? 0 ,都有 f ( x ? 2) ? f ( x) ,则

f (2014 ) ? f (?2015 ) ? f (2016 ) ? f (0) ? f (1) ? f (0) ? ?1 ,故选 A.
7.f(0)=0, f (2? ) ? 2? , f (0) ? f (2? ) ,所以②错;f(0)=0, f (? ) ? ?? , f (0) ? ? f (? ) ,所以③错, 故选 B. 8.由题意,当直线 z ? ax ? by(a ? 0, b ? 0) 过直线 x-y+2=0 与直线 3x-y-6=0 的交点(4,6)时,目标函数

z ? ax ? by(a ? 0, b ? 0) 取得最大值 12,即 4a+6b=12,即 2a+3b=6,而
2 3 2 3 2a ? 3b 13 b a 13 25 ? ?( ? ) ? ?( ? )? ?2 ? ,故选 A. a b a b 6 6 a b 6 6
2 2 2 9. sin A cosC ? 3 cos A sin C ? 2(a ? c ) ? b ,又 a ? c ? b ,代入得 b=2,故选 C.
2 2

10.如图,根据三视图间的关系可得 BC ? 2 3 ,∴侧视图中 VA ? 锥侧视图面积 S△VBC ?

2 3 42 ? ( ? ? 2 3) 2 ? 2 3 ,∴三棱 3 2

1 ? 2 3 ? 2 3 ? 6 ,故选 D. 2

11.过 A,B 分别作抛物线准线的垂线 AQ,BP,垂足分别为 Q,P,连接 AF,BF,设 AF ? a , BF ? b .
2 2 ? 由抛物线定义及余弦定理得: AB ? a ? b ? 2ab cos 120 , MN ? 2

a?b ,由均值不等式得: 2

MN AB

?

3 ,故选 B. 3

a b , f (b ) ? ,结合图象知:①②正确,④ 2 2 ?1 b ? ? b a 错误.若 f(x)在区间[a,b]上单调递减,须满足: f (a) ? , f (b) ? ,对于③,代入有 ? a 2 ,ab=2 即可. 1 a 2 2 ? ? ?b 2 1 例如: [ , 4 ] 满足题意,所以③正确,故选 C. 2
12.由题意知,若 f(x)在区间[a,b]上单调递增,须满足: f (a) ? 二、填空题 13. log 3 14.-20

1 1 1 1 【解析】 f ( f ( f ( ))) ? f ( f (?1)) ? f ( ) ? log 3 . 2 3 2 2

Tr ?1 ? C6 (2 x) 【解析】 由题意知, 展开式中有 7 项, n=6,
r

6? r

(?

1 r ) ? (?1) r C6r 26? 2 r x 6? 2 r , 6-2r=0, 2x

解得 r=3,所以常数项为-20.

4 CD 2 1 2 ? ,则 AD ? AC ? AB ,根据角平分线的性 【解析】由题意 B,C,D 三点共线,且 3 BD 1 3 3 2 2 2 AB BD 1 1 2 1 4 4 16 ? ? ,所以 AC=4, AD 2 ? AD ? ( AC ? AB ) 2 ? AC ? AB ? AC ? AB ? , 质 AC CD 2 3 3 9 9 9 9 4 所以 AD ? . 3
15. 16.20 【解析】如图,设长方体的三条棱长分别为 a,b,c,则有 a ? b ? 25 , a ? c ? 41,
2 2 2 2

a 2 ? b 2 ? c 2 ? 50 ,解得 a=4,b=3,c=5,所以三棱锥的体积是 20.

三、解答题 17.解: (1)整理得

1 1 ? ? 1, an ?1 an

....................................3 分

所以

1 1 ? 1 ? (n ? 1) ? n ,所以 an ? . n an

....................................6 分

(2)由(1)知, cn ? n ? 3n ,

....................................7 分

Sn ? 1? 3 ? 2 ? 32 ? 3? 33 ? ? ? ? ? n ? 3n ,① 3Sn ? 1? 32 ? 2 ? 33 ? 3? 34 ? ? ? ? ? (n ?1) ? 3n ? n ? 3n?1 ,②
①-②有 ? 2Sn ? 3 ? 32 ? 33 ? ? ? ? ? 3n ? n ? 3n?1 , 解得: S n ? ....................................9 分

(2n ? 1) n ?1 3 ?3 ? . 4 4

....................................12 分

18.解: (1)设分数在[70,80)内的频率为 x,根据频率分布直方图,则有

(0.01? 0.015? 2 ? 0.025? 0.005) ?10 ? x ? 1 ,可得 x=0.3.
所以频率分布直方图如图所示. .....................................4 分

估计本次考试的平均分为

x ? 45? 0.1 ? 55? 0.15 ? 65? 0.15 ? 75? 0.3 ? 85? 0.25 ? 95? 0.05 ? 71.

....................6 分

(2)学生成绩在[40,60)的有 0.25 ? 60 ? 15 人,在[60,80)的有 0.45 ? 60 ? 27 人, 在[80,100]的有 0.3 ? 60 ? 18 人,并且 ? 的可能取值为 0,1,2,3,4. 则 P(? ? 0) ? ......................7 分

2 1 1 1 1 2 C15 C15 C27 C15 C18 ? C27 7 27 207 ; , ; ? P ( ? ? 1 ) ? ? P ( ? ? 2 ) ? ? 2 2 2 C60 118 C60 118 C60 590

P(? ? 3) ?

1 1 2 C27 C18 C18 81 51 ; . ? P ( ? ? 4 ) ? ? 2 2 C60 295 C60 590

..........................9 分

所以 ? 的分布列为

...................................11 分

E (? ) ? 0 ?

7 27 207 81 51 ? 1? ? 2? ? 3? ? 4? ? 2.1 . 118 118 590 295 590

........................12 分

19.(1)证明:如图,在矩形 ABB 1A 1 中,E 为 BB 1 中点且 AA 1 ? 2 ,AB=1, 所以 AE ? A1E ? 2 ,所以 △A1 AE 为等腰直角三角形,

EA 1 ? AE .

.......................................2 分

在直四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 中,因为底面是边长为 1 的正方形, 所以 A1 D1 ? 平面 A1 ABB 1. 又因为 AE ? 平面 A1 ABB 1, 所以 A1D1 ? AE ,所以 AE ? 平面 A1 D1 E . ........................4 分 ....................6 分

又因为 AE ? 平面 AD1E ,所以平面 AD1E ⊥平面 A1 D1 E .

(2)解:方法一: 因为 AB⊥平面 B1BCC1 ,所以平面 ABC 1 ⊥平面 B1 BCC 1, 所以只需在平面 B1BCC1 内过点 E 作 EF⊥ BC1 于 F,而 EF⊥平面 ABC 1. 如图,过 F 作 FG⊥ AC1 于 G,连接 EG, 则∠EGF 就是二面角 E ? AC1 ? B 的平面角. .....................8 分

在 △EBC 1 中, EF ?

2S△EBC1 BC1
2

?

EB ? C1B1 5 , ? BC1 5

所以 C1 F ? C1 E ? EF ?
2

3 5 . 5

在 △ABC 1 中, FG ? C1 F ? sin ?FC 1G ? C1 F ?

AB 30 . ? AC1 10

..................10 分

在 RT △ EFG 中, tan?EGF ?

EF 6 . ? FG 3 6 . 3
.................12 分

所以二面角 E ? AC1 ? B 的平面角的正切值大小为 方法二:

以 D 为原点,DA,DC, DD1 分别为 x,y,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.

由题意 A1 (1,0,2) ,E(1,1,1), D1 (0,0,2) ,A(1,0,0), C1 (0,1,2) ,C(0,1,0),B(1,1,0),

.......7 分

AE ? (0,1,1) , C1E ? (1,0,?1) ,
设平面 AEC 1 的一个法向量为 n ? ( x, y, z) , 则?

?y ? z ? 0 ? n ? (1,?1,1) , ?x ? z ? 0

同理可得,平面 ABC 1 的一个法向量为 m ? (2,0,1) , 代入公式有: cos ? m, n ??

..................10 分

3 15 , ? 5 5? 3
6 . 3
.................12 分

所以二面角 E ? AC1 ? B 的平面角的正切值大小为

20.解: (1)设 P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y2 ) ,代入椭圆 C 的方程有:
2 2 x2 y2 x12 y12 ? ? 1 , ? ?1, a 2 b2 a 2 b2

.........................2 分

两式相减:

2 2 x2 ? x12 y2 ? y12 ? ? 0, a2 b2



( x2 ? x1 )( x2 ? x1 ) ( y2 ? y1 )( y2 ? y1 ) ? ? 0, a2 b2

? k1 ? ? ? 又? ?k 2 ? ? ?

y2 ? y1 x2 ? x1 , y2 ? y1 x2 ? x1
b2 2 ?? , 2 a 3
........................4 分

联立两个方程有 k1k 2 ? ?

解得: e ?

c 3 . ? a 3

..................5 分

(2)由(1)知 e ?

c 3 ,得 a 2 ? 3c 2 , b2 ? 2c 2 , ? a 3
2 2 2

可设椭圆 C 的方程为: 2 x ? 3 y ? 6c , 设直线 l 的方程为: x ? my ? 3 ,代入椭圆 C 的方程有

(2m2 ? 3) y 2 ? 4 3my? 6 ? 6c2 ? 0 ,
2

.............................6 分
2 2

因为直线 l 与椭圆 C 相交,所以 ? ? 48m ? 4(2m ? 3)(6 ? 6c ) ? 0 , 由韦达定理: y1 ? y2 ?

6 ? 6c 2 4 3m y y ? , . 1 2 2m 2 ? 3 2m 2 ? 3

又 DP ? 2QD ,所以 y1 ? ?2 y2 ,

代入上述两式有: 6 ? 6c ? ?
2

96m 2 , 2m 2 ? 3

...................8 分

所以 S ?OPQ

1 3 ? 3 ? OD y1 ? y2 ? ? 2 2 a 2

48m 2 ? 4(2m 2 ? 3)(6 ? 6c 2 ) 2m 2 ? 3
.......................10 分

..................9 分

? 18

m 2m ?3
2

2

? 18

1 3 2m ? m

?

3 6 , 2

当且仅当 m ?

3 2 时,等号成立,此时 c ? 5 ,代入 ? ,有 ? ? 0 成立, 2

所以所求椭圆 C 的方程为:

x2 y2 ? ?1. 15 10

.........................12 分

21.(1)解:由 f ( x) ? 0 有: kx ? ln x ? 1 , 即: k ?

ln x ? 1 ln x ? 1 ,令 h( x ) ? , x x ? ln x h?( x) ? 2 ? 0 ,解得 x=1, ........................2 分 x

在(0,1)上, h?( x) ? 0 ;在 (1,??) 上, h?( x) ? 0 . 所以 h(x)在 x=1 时,取得最大值 h(1)=1,即 k ? 1 . ..................4 分

(2)证明:由(1)知,当 k=1 时, ln x ? x ? 1 ,当且仅当 x=1 时,取等号.
2 ? 令 x ? n (n ? N , n ? 2) ,有 ln n ? n ? 1 ,
2 2

ln n 1 n ? ? , ..................6 分 2 n ?1 2 2 ln 2 ln 3 ln 4 ln n 1 (n ? 1)( n ? 2) ? ? ? ??? ? 2 ? ( 2 ? 3 ? ? ? ? ? n) ? ,① ...........9 分 3 8 15 n ?1 2 4 1 1 1 1 n 令 x ? 1 ? ,有 ln(1 ? ) ? ? (1 ? ) ? e ? 3 ,② ...............11 分 n n n n
即 ①+②有:

ln 2 ln 3 ln 4 ln n 1 n n 2 ? n ? 10 ? ? ? ??? ? 2 ? (1 ? ) ? (n ? N ? , n ? 2) . 3 8 15 n ?1 n 4
22.(1)证明:由已知∠BDC=∠BEC=90°, 所以 B,C,D,E 四点在以 BC 为直径的圆上, 由割线定理知: AD ? AB ? AE ? AC . (2)解:如图,过点 F 作 FG⊥BC 于点 G, ...........................3 分

......12 分

由已知,∠BDC=90°,又因为 FG⊥BC,所以 B,G,F,D 四点共圆, 所以由割线定理知: CG ? CB ? CF ? CD ,① 同理,F,G,C,E 四点共圆,由割线定理知: ....................5 分

BF ? BE ? BG ? BC ,②

.......................7 分

①+②得: CG ? CB ? BG ? BC ? CF ? CD ? BF ? BE , 即 BC ? CF ? CD ? BF ? BE ? 3 ? 5 ? 3 ? 5 ? 30 ,
2

........................8 分

所以 BC ? 30 .

.

..................10 分

23.解; (1)曲线 C 的标准方程为:

x2 ? y2 ? 1 , 2
..........................5 分

直线 l 的标准方程为: x ? 3 y ? 2 ? 3 ? 0 .

? 3 x ? 2 ? t ? ? 2 (t 为参数) (2)将直线 l 的参数方程化为标准方程: ? , 1 ? y ? 1? t ? 2 ?
代入椭圆方程得: 5t 2 ? 8( 3 ? 1)t ? 16 ? 0 , 所以 PA ? PB ? t1t 2 ? ...........................8 分

................6 分

16 . 5

..........................10 分

24 解: (1)由题设知,当 x ? R 时,恒有 x ?1 ? x ? 2 ? a ? 0 , 即 x ?1 ? x ? 2 ? a ,又 x ?1 ? x ? 2 ? 3 , ∴ a ? 3.
2 2 2 2

........................................5 分
2 2 2

(2)由柯西不等式 ( x ? y ? z )(1 ? 2 ? 3 ) ? ( x ? 2 y ? 3z) ? 1 ,

1 , 14 x y z 1 1 3 当且仅当 ? ? 时,即 x ? ,y? ,z ? 时, 1 2 3 14 7 14
∴x ? y ?z ?
2 2 2

x 2 ? y 2 ? z 2 取最小值

1 . 14

.........................10 分


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