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(新课程)高中数学《3.1.2复数的几何意义》课件 新人教A版选修2-2


3.1.2 复数的几何意义

? 【课标要求】 ? 1.理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向 量来表示复数以及它们之间的一一对应关系. ? 2.掌握实轴、虚轴、模等概念. ? 3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法. ? 【核心扫描】 ? 1.复数模的概念及求法是考查的热点. ? 2.常与方程、解析几何结合命题,题型以选择、 填空为主.

? 自学导引 ? 1.复平面的定义 ? 如图所示,点Z的横坐标为a,纵坐标为b,复数 z=a+bi可用点Z(a,b)表示,这个建立了直角坐标 系来表示复数的平面叫 ? 做 复平面 ,x轴叫做 实轴 、y轴叫做 虚轴 .显然 实轴上的点都表示实数,除原点外,虚轴上的点 都表示纯虚数.

2.复数的几何意义 复数 z=a+bi(a,b∈R)与复平面内的点 Z(a,b)及以原点为起 → 点,点 Z(a,b)为终点的向量OZ是一一对应的,如图所示.

? 想一想:平面向量能够与复数一一对应的前提是什 么? ? 提示 复数与向量建立一一对应关系的前提是 向量的起点是原点,若起点不是原点,则复数与向 量就不能建立一一对应关系.

3.复数的模 → → 复数 z=a+bi(a,b∈R)对应的向量为OZ,则OZ的模叫做复数 z 的模,记作|z|,且|z|= a2+b2.

想一想:(1)复平面内|z|的意义是什么? 提示 在复平面内,|z|表示复数 z 的点 Z 到原点的距离,也就

是向量OZ的模. (2)模相等的两个复数相等吗? 提示 模相等的两个复数未必相等.例如,|i|=1=|-i|,但显



然 i≠-i.

? 名师点睛 ? 1.复平面上的点的坐标与复数的关系 ? (1)复平面上点的横坐标表示复数的实部,点 的纵坐标表示复数的虚部. ? (2)表示实数的点都在实轴上,实轴上的点都 表示实数,它们是一一对应的;表示纯虚数的 点都在虚轴上,但虚轴上的点不都表示纯虚数, 如原点表示实数0.

2.复数的几何意义 每一个复数,有复平面内唯一的一个点和它对应;反过来,复平 面内的每一个点,有唯一的一个复数和它对应.由此可知,复数 集 C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的,即复数 z= a+bi 复平面内的点 Z(a,b).

→ 设复平面内的点 Z 表示复数 z=a+bi,连结 OZ,显然向量OZ是 → 由点 Z 唯一确定; 反过来, Z(相对于原点来说)也可以由向量OZ 点 唯一确定.因此,复数集 C 与复平面内的向量所成的集合也是 一一对应的(实数 0 与零向量对应), 即复数 z=a+bi → 面向量OZ. 平

→ 用点 Z(a, b)表示复数称为复数的几何形式, 用向量OZ表示复数称 为复数的向量形式. → 为方便起见,我们常把复数 z=a+bi 说成点 Z 或说成向量OZ,并 且规定,相等的向量表示同一个复数.

3.巧用复数的几何意义解题 (1)复平面内|z|的意义 我们知道,在实数集中,实数 a 的绝对值,即|a|是表示实数 a 的 点与原点 O 间的距离.那么在复数集中,类似地,|z|是表示复数 → → z 的点到坐标原点间的距离,也就是向量OZ的模,即|z|=|OZ|. (2)复平面内任意两点间的距离 设复平面内任意两点 P、Q 所对应的复数分别为 z1、z2,则|PQ| =|z2-z1|. 运用以上性质,可以通过数形结合的方法解决有关问题.

题型一

复数的几何意义

【例 1】 在复平面上,复数 i,1,4+2i 的对应的点分别是 A,B, C.求平行四边形 ABCD 的 D 点所对应的复数. [思路探索] 法一 复数― 点的坐标― 中点坐标公式― D 点 → → →

坐标― D 对应复数, → 法二 → 复数― 向量― 向量运算― OD― D 对应复数. → → → →

解 法一 由已知 A(0,1),B(1,0),C(4,2), 则 AC 的中点
? 3? E?2,2?, ? ?

由平行四边形的性质知 E 也是 BD 的中点,设 D(x,y) ?x+1 ? 2 =2, 则? ?y+0=3, ? 2 2
?x=3, ? ∴? ?y=3. ?

即 D(3,3),

∵D 点对应复数为 3+3i.

→ → → 法二 由已知:OA=(0,1),OB=(1,0),OC=(4,2). → → → → → ∴BA=(-1,1),BC=(3,2),∴BD=BA+BC=(2,3), → → → ∴OD=OB+BD=(3,3), 即点 D 对应复数为 3+3i. → → 法三 设 D(x,y),由BA=CD, ∴(-1,1)=(x-4,y-2),
?x=3, ? ∴? ?y=3, ?

即 D(3,3).

? 复数的几何意义包含两种情况: ?(1)复数与复平面内点的对应:复数的实、虚部是该点的横、 纵坐标,利用这一点,可把复数问题转化为平面内点的坐 标问题. ?(2)复数与复平面内向量的对应:复数的实、虚部是对应向 量的坐标,利用这一点,可把复数问题转化为向量问题.

【变式 1】 实数 k 为何值时,复数 z=k2-3k-4+(k2-5k-6)i 对应的点位于:(1)x 轴正半轴上;(2)y 轴负半轴上;(3)第四 象限角平分线上. 解 ∵k 为实数,∴k2-3k-4,k2-5k-6 为实数,

∴复数 z=k2-3k-4+(k2-5k-6)i 对应的点 Z 为(k2-3k-4, k2-5k-6). (1)若对应点位于 x 轴正半轴上,
?k2-3k-4>0, ? 则? 2 ?k -5k-6=0, ?

解得 k=6.

(2)若对应点位于 y 轴负半轴上,
?k2-3k-4=0, ? 则? 2 ?k -5k-6<0, ?

解得 k=4.

(3)若对应点位于第四象限角平分线上,又第四象限角平分线的方 程为 y=-x(x>0),
?k2-5k-6=-?k2-3k-4?, ? ∴? 2 ?k -3k-4>0, ?

解得 k=5.

题型二 复数的模的求法 1 【例 2】 求复数 z1=6+8i 及 z2=-2- 2i 的模,并比较它们的 模的大小. [思路探索] 先确定复数的实、虚部,再代入公式即可. 1 解 ∵z1=6+8i,z2=-2- 2i, ∴|z1|= 62+82=10, |z2|=
? 1? ?- ?2+?- ? 2?

3 2? =2.
2

3 ∵10>2,∴|z1|>|z2|.

? 计算复数的模时,应先找出复数的实 部和虚部,然后再利用模的公式进行计算,两个 虚数不能比较大小,但它们的模可以比较大小.

【变式 2】 在复平面内画出下列各复数对应的向量,并求出各复 数的模. 1 3 1 3 1,-2+ 2 i,-2- 2 i. 解 在复平面内找出各复数对应向量.

1 3 1 3 → → 显然复数 1,-2+ 2 i,-2- 2 i 对应向量分别为OA,OB, → OC.各复数的模为:
? 1 |1|=1,?- + ? 2 ?

3? ? 1 3? ? ? ? i?=?- - i?=1. 2 ? ? 2 2 ?

题型三 复数的模的几何意义 【例 3】 设 z∈C,满足下列条件的点 Z 的集合是什么图形? (1)|z|=2; (2)|z|≤3.

利用模的意义或转化为实数 x、y 应满足的条件. → [规范解答] 法一 (1)∵复数 z 的模等于 2,这表明向量OZ的 长度等于 2, 即点 Z 到原点的距离等于 2, 因此满足条件|z|=2 的点 Z 的集合是以原点 O 为圆心,以 2 为半径的圆.(6 分)

(2)满足条件|z|≤3 的点 Z 的集合是以原点 O 为圆心,以 3 为半径 的圆及其内部.(12 分) 法二 设 z=x+yi(x,y∈R),(1)|z|=2,∴x2+y2=4, ∴点 Z 的集合是以原点为圆心,以 2 为半径的圆. (2)|z|≤3,∴x2+y2≤9. ∴点 Z 的集合是以原点为圆心,以 3 为半径的圆及其内部. (12 分) (6 分)

?【题后反思】 法一 根据|z|表示点Z和原点间的 距离,直接判定图形形状.

?法二 利用模的定义,把复数问题转化为实数问 题来解决,这也是本章的一种重要思想方法.

【变式 3】 如图,平行四边形 OABC,顶点 O、A、C 分别表示 0,3+2i,-2+4i,试求: → → (1)AO表示的复数,BC表示的复数; → (2)CA所表示的复数; → → (3)设 P 为复平面上一点且满足|OP|=|CA|, P 点的轨迹方程. 求



→ → → (1)AO=-OA,而OA对应的复数为 3+2i,

→ ∴AO表示的复数为-3-2i; → → → ∵BC=AO.∴BC表示的复数为-3-2i. → → → → (2)CA=OA-OC,∴CA所表示的复数为 (3+2i)-(-2+4i)=5-2i. → (3)设 P(x,y),∵|CA|=|5-2i|= 52+?-2?2= 29, → → → 2 2 |OP|= x +y ,由|OP|=|CA|,得 x2+y2=29,即点 P 的轨迹方程 为 x2+y2=29.

? ?
? ? ?

误区警示 因对复数的模理解不到位而 导致错误 【示例】 试研究方程x2-5|x|+6=0在复数集上 解的个数. [错解] 将方程变为|x|2-5|x|+6=0?|x|=2或 |x|=3? x=±2或x=±3,故共有4个. 这里常出现将|x|看成“绝对值”从 而出现错误的解法,注意这里|x|是一个复数的模, 它不等同于实数的绝对值,x2也不能写成|x|2.

?

[正解] 设 x=a+bi(a,b∈R),则原方程可化为 a2-b2-5 a2+b2+6+2abi=0
?a2-b2-5 ? ?? ?2ab=0 ? ?a=± 2, ? ?? ?b=0 ?

a2+b2+6=0,

?a=± 3, ? 或? ?b=0 ?

?a=0, ? 或? ?b=± 1, ?

即 x=± 或 x=± 或 x=± 2 3 i. 故方程在复数集上的解共有 6 个.

|z|是表示复数 z 的点 Z 与坐标原点间的距离.也就是向 → → 量OZ的模,即|z|=|OZ|.


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