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江苏省泰兴市第一高级中学2015-2016学年高一上学期期中考试数学试题


2015 — 2016 学 年 度 第 一 学 期 期 中 考 试

高 一 数 学 试 题
(考试时间:120 分钟 命题人:
注意事项:所有试题的答案均填写在答题纸上,答案写在试卷上的无效. 一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请将答案填入答题纸相应的答题线 上. ) 1.已知集合 A ? {1,2,3}

, B ? {2,4} ,则 A ? B ? 2.函数 y ? ▲ . ▲ ▲ . . .

总分:160 分)

2 ? x ? ln x 的定义域为



3.已知 a ? 0.32 , b ? 20.3 , c ? log 0.3 2 ,则这三个数从小到大 排列为 .... 4.若函数 f ( x) ? (m2 ? m ? 1) x m 5.函数 f ( x ) ?
2

?2m?1

幂函数,则实数 m 的值为 ▲ . ▲ .

2x ? 1 在区间 ?1, 4? 上的值域为 x ?1

6.函数 f ( x) ? loga ( x ? 1) ? 1(a ? 0且a ? 1) 恒过定点

7.设 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且 f (3) ? f (?2) ? 2 ,则 f (2) ? f (3) ?
2 8.设集合 U ? R , M ? {x | x ? 3x ? 4 ? 0} , N ? {x | 0 ? x ? 5} ,

▲ .

则如图所示的阴影部分表示的集合为





M

N

U 、 2 9.已知集合 A ? {x x ? 4 x ? 3 ? 0} ,集合 B ? {x x ? a} ,若 A ? B ? A? ,则实数 a 的取值范 围是 ▲ . ▲ .

10.函数 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? x ? 1 ,则 f ( x) ?
2

11.已知函数 f ( x) ? ? x ? ax ? a 有两个不同的零点 x1 , x 2 ,且 x1 ? 2 ? x2 ,则实数 a 的取 值范围为 ▲ . ▲ .

?e x ? k , x ? 0 12.已知函数 f ( x) ? ? 是 R 上的增函数,则实数 k 的取值范围为 ( 1 ? k ) x ? k , x ? 0 ?
2 2

13.已知函数 f(x)=x +mx﹣|1﹣x |(m∈R) ,若 f(x)在区间(﹣2,0)上有且只有 1 个 零点,则实数 m 的取值范围是 ▲ . 14.下列判断正确的是 ▲ (把正确的序号都填上) .

①若 f(x)=ax2+(2a+b)x+2 (其中 x∈[2a-1,a+4])是偶函数,则实数 b=2;

②若函数 f ( x ) 在区间 ( ??, 0) 上递增,在区间 [0,, ??) 上也递增,则函数 f ( x ) 必在 R 上递增; ③f(x)表示-2x+2 与-2x2+4x+2 中的较小者,则函数 f(x)的最大值为 1; ④已知 f(x)是定义在 R 上的不恒为零的函数,且对任意的 x、y∈R 都满足 f(x·y)=x·f(y)+y·f(x), 则 f(x)是奇函数. 二、解答题: (本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 15.(本题满分 14 分)
[学

2 (2 ) ? (lg 5) ? ( (Ⅰ)求值: 0

7 9

1

27 -3 ) 64

1

(Ⅱ)求值: (log6 2)2 ? log6 3 ? log6 12.

16.(本题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) ? log 2

2 . 1? x

(Ⅰ)求 f ( x) 的定义域 D 及其零点; (Ⅱ)判断函数 f ( x) 在定义域 D 上的单调性,并用函数单调性定义证明.

17. (本题满分 14 分) 已知 f(x)是二次函数,不等式 f(x)<0 的解集是(0,5),且 f(x)在区间[-1,4]上的最大值是 12. (Ⅰ)求 f(x)的解析式; (Ⅱ)求 f(x)在区间 [m, m ? 2] 上的最小值.

18.(本题满分 16 分) 如图,要设计一张矩形广告牌,该广告牌含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影 部分) ,这两栏的面积之和为 18000 cm ,四周空白的宽度为 10 cm ,两栏之间的中缝空白的宽 度为 5 cm ,设广告牌的高为 xcm ,宽为 ycm (Ⅰ)试用 x 表示 y ;
2

(x) (Ⅱ)用 x 表示广告牌的面积 S ; (x) (Ⅲ)广告牌的高取多少时,可使广告牌的面积 S 最小?

19.(本题满分 16 分) 设函数 f ( x) ? ka x ? a? x (a ? 0且a ? 1) 是奇函数. (Ⅰ)求常数 k 的值; (Ⅱ)若 0 ? a ? 1 , f ( x ? 2) ? f (3 ? 2 x) ? 0 ,求 x 的取值范围; (Ⅲ)若 f (1) ? 值.

8 , 且函数 g ( x) ? a2 x ? a?2 x ? 2mf ( x) 在 [1, ??) 上的最小值为 ?2 , 求m的 3

20.(本题满分 16 分) 设 a ? 0, b ? 0 ,函数 f ( x) ? ax ? bx ? a ? b . (Ⅰ)若 b ? 2a ,求不等式 f ( x) ? f (1) 的解集;
2

b 的范围; a (Ⅲ)当 x ? [0, m] 时,对任意的正实数 a , b ,不等式 f ( x) ? ( x ? 1) 2b ? a 恒成立,求实数
(Ⅱ)若 f ( x) 在[0,1]上的最大值为 b ? a ,求

m 的取值范围.

高一数学期中考试参考答案
一、填空题: 1. {2} ; 2. (0,2] ; 3. c ? a ? b ; 7. -2; 4. 2 或-1 ; 5. [ , ] ;

3 9 2 5

6.(2,1) ;

8. {x 4 ? x ? 5}; 9. a ? 1 ; 10. ? 13. m ?

?? x ? 1, x ? 0 ; ? x ? 1, x ? 0

11. a ?

4 ; 3

12 . [ ,1) ; 二、解答题
1

1 2

1 或m ? 1 ; 2
1

14. ①④
1 1

15. (Ⅰ) (2 ) 2 ? (lg5) ? (
0

(Ⅱ)(log62)2+log63× log612=(log62)2+log63× (1+log62) =(log62+log63)log62+log62log62+log63=1 ……………………………………14 分 16. (Ⅰ)由题意知,

7 9

27 ? 3 25 64 ? 5 4 ) ? ( ) 2 ? 1 ? ( ) 3 ? ? 1 ? ? 2 ;…………7 分 64 9 27 3 3

2 ? 0,1 ? x ? 0 ,解得 x ? 1 , 1? x
1 ? 1 ,解得 x ? ?1 , 1? x

所以函数 f ( x) 的定义域 D 为 (??,1) .令 f ( x) ? 0 ,得 故函数 f ( x) 的零点为 ? 1 ;…………………7 分

(Ⅱ)设 x1 , x 2 是 (??,1) 内的任意两个不相等的实数,且 x1 ? x 2 ,则

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? log2

1 ? x2 2 2 ? log2 ? log2 , 1 ? x1 1 ? x2 1 ? x1 1 ? x2 ? 1, 1 ? x1

? x1 ? x2 ? 1,? ? x1 ? ? x2 ? ?1,?1 ? x1 ? 1 ? x2 ? 0 ,? 0 ?

? log2

1 ? x2 ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 , 1 ? x1 故 f ( x) 在 D 上单调递增。…………………………14 分

17. (Ⅰ)∵f(x)是二次函数,且 f(x)<0 的解集是(0,5) ∴可设 f(x)=ax(x-5)(a>0) …………………………2 分 5 ∴f(x)的对称轴为 x= 且开口向上 2 ∴f(x)在区间[-1,4]上的最大值是 f(-1)=6a=12. ∴a=2 ∴f(x)=2x(x-5)=2x2-10x. ………………………………6 分 (Ⅱ)由题意, x对 ? ①当 m ?

5 , 2

5 时, f ( x) 在区间 [m, m ? 2] 上单调递增, 2 2 ∴ f ( x) 的最小值为 f (m) ? 2m ? 10m ;……………………………8 分 1 5 5 ②当 ? m ? 时, ? [ m, m ? 2] 2 2 2 25 5 ∴ f ( x) 的最小值为 f ( ) ? ? ;……………………………10 分 2 2

1 时, f ( x) 在区间 [m, m ? 2] 上单调递减, 2 2 ∴ f ( x) 的最小值为 f (m ? 2) ? 2m ? 2m ? 12 ;……………………………12 分 1 ? 2 ?2m ? 2m ? 12, m ? 2 ? 5 ? 25 1 , ?m? 综上所述: f min ( x ) ? ?? ……………………………14 分 2 ? 2 2 5 ? 2 ?2m ? 10m, m ? 2 ?
③当 m ? 18. (Ⅰ)每栏的高和宽分别为 ? x ? 20? cm ,

1 ( y - 25)cm ,其中 x ? 20 , y ? 25 . 2 y - 25 18000 =18000 ,整理得, y = + 25 .……5 分 两栏面积之和为: 2 ( x - 20)? 2 x - 20 18000 18000 x ? 25) ? ? 25 x, x ? 20 …………………10 分 (Ⅱ) S ( x) ? xy ? x( x ? 20 x ? 20 (Ⅲ)令 t ? x ? 20 , t ? (0,??) ,则 360000 14400 S? ? 25t ? 17500 ? 25(t ? ) ? 175000 ……………………12 分 t t
∴当 t ? (0,120) 时, S 单调减;当 t ? (120,??) 时, S 单调增;…………………14 分 ∴当 t ? 120 时, S 取最小值为,此时 x ? 140 ……………………15 分 答:当广告牌的高取 140cm 时,可使广告的面积 S ( x) 最小.…………………16 分

19. (Ⅰ)∵f(x)为奇函数,∴f(0)=0,∴k-1=0,∴k=1. 经检验,k=1 时符合题意 ………………………………………………2 分 (Ⅱ)因 f(x)是奇函数,故 f(x+2)+f(3-2x)>0 可化为 f(x+2)>f(2x-3)………………3 分 ∵0<a<1,∴f(x)在 R 上是单调减函数 ……………………………………4 分 ∴x+2<2x-3,∴x>5 ∴满足 f(x+2)+f(3-2x)>0 的 x 的取值范围为(5, +∞) ………………………6 分 8 1 8 (Ⅲ)∵f(1)= ,∴a- = ,即 3a2-8a-3=0 3 a 3 1 ∴ a=3(a= - 舍去) 3 2x -2x ∴g(x)=3 +3 -2m(3x-3-x)=(3x-3-x)2-2m(3x-3-x)+2 …………………………10 分 8 令 t=3x-3-x,∵x≥1,∴t≥f(1)=3 …………………………11 分 x -x 2 x -x 2 2 ∴(3 -3 ) -2m(3 -3 )+2=(t-m) +2-m ……………………………………12 分 8 8 当 m≥ 时,2-m2= -2,m=2,2< ,故 m=2 应舍去 …………………14 分 3 3 8 8 2 8 25 8 当 m< 时,( ) -2m× +2= -2,m= < 3 3 3 12 3 25 综上所述:m= ………………………………16 分 12 20.(Ⅰ)求不等式 f(x)<f(1),即 f(x)<0, 即(x-1)(ax+a-b)<0

当 b>2a 时,解集为(1,

b-a )………………………………4 分 a

b (Ⅱ)∵a>0,b>0,∴ >0, a b 1 ①当 0< < 时,即 0<b<a 时,f(0)=b-a<0=f(1),不符合题意, 2a 2 b 1 b ②当 ≥ 时,即 b≥a 时,f(0)=b-a≥0=f(1),符合题意,∴ ≥1……8 分 2a 2 a b ∴ 的取值范围[1, +∞) ……………………………9 分 a (Ⅲ)解法一:①当 2b ? a 时,不等式即为:

ax2 ? bx ? a ? b ? (2b ? a) x ? 2b ? a ,整理得: ax2 ? (3b ? a) x ? b ? 0 3b b 2 即: x ? ( ? 1) x ? ? 0 a a b 1 令 t ? , 则 t ? ,所以不等式即 x 2 ? (3t ? 1) x ? t ? 0 , a 2 2 即: (3x ? 1)t ? x ? x ? 0 , 1 由题意:对任意的 t ? 不等式恒成立,而 3x ? 1 ? 0 , 2 1 1 1 1 2 ∴只要 t ? 时不等式成立即可,∴ x ? x ? ? 0 ,∴ ? ? x ? 1 2 2 2 2 而 x ? [0, m] ,∴ 0 ? m ? 1 ; …………………………12 分 ②当 2b ? a 时,同理不等式可整理为: b 3b x 2 ? (1 ? ) x ? 2 ? ?0 a a b 1 2 令 t ? , 则 0 ? t ? ,所以不等式即 x ? (1 ? t ) x ? 2 ? 3t ? 0 a 2 2 即: ( x ? 3)t ? x ? x ? 2 ? 0 , 1 由题意:对任意的 0 ? t ? 不等式恒成立,而 x ? 3 ? 0 , 2 1 1 1 1 2 ∴只要 t ? 时不等式成立即可,∴ x ? x ? ? 0 ,∴ ? ? x ? 1 2 2 2 2 而 x ? [0, m] ,∴ 0 ? m ? 1 ;…………………………15 分 综合①②得: 0 ? m ? 1 …………………………16 分
解法二:由不等式 f(x)≤(x+1)|2b-a|,得 ax2-(b+|2b-a|)x-a+b-|2b-a|≤0 b b b b 则 x2-( +|2 -1|)x+ -1-|2 -1|≤0 a a a a b 令 t= ,则 x2-(t+|2t-1|)x+t-1-|2t-1|≤0 a 当△=(t+|2t-1|)2-4(t-1-|2t-1|)>0 时, 解得

t ? | 2t ? 1 | ? (t ? | 2t ? 1 |)2 ? 4(t ? 1? | 2t ? 1 |) ≤x 2 t ? | 2t ? 1 | ? (t ? | 2t ? 1 |)2 ? 4(t ? 1? | 2t ? 1 |) ≤ 2
2 2

3t ? 1 | ? (3t ? 1) ? 4t 3t ? 1 | ? (3t ? 1) ? 4t 1 ①当 t≥ 时, ≤x≤ 2 2 2

3t ? 1 | ? (3t ? 1)2 ? 4t 3t ? 1 | ? (3t ? 1)2 ? 4t 又因为 ? 0, ?1 2 2 3t ? 1 | ? (3t ? 1)2 ? 4t 只需 m≤ 恒成立,即 m≤1…………………………12 分 2 1 ? t ? (1 ? t ) ? 4(3t ? 2) 1 ? t ? (1 ? t ) ? 4(3t ? 2) 1 ②当 0<t< 时, ≤x≤ 2 2 2
2 2

1 ? t ? (1 ? t )2 ? 4(3t ? 2) 显然 <0, 2 1 ? t ? (1 ? t )2 ? 4(3t ? 2) 1 ? t ? t 2 ? 14t ? 9 1 且 y= 在(0, )上递减, ? 2 2 2
所以

1 ? t ? t 2 ? 14t ? 9 ?1 2

所以只需要 m≤

1 ? t ? t 2 ? 14t ? 9 恒成立即 m ? 1. …………………………15 分 2 所以m的取值范围是 0 ? m ? 1. …………………………16 分


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