tceic.com
简单学习网 让学习变简单
相关标签
当前位置:首页 >> 数学 >>

2015届高考二轮复习 专题五 第2讲 空间中的平行与垂直


专题五 立体几何

第 2讲

空间中的平行与垂直
主干知识梳理

热点分类突破
真题与押题

1.以选择、填空题的形式考查,主要利用平面的

基本性质及线线、线面和面面的判定与性质定
理对命题的真假进行判断,属基础题.
考 情 面面平行

和垂直关系交汇综合命题,且多以棱 解 柱、棱锥、棱台或其简单组合体为载体进行考 读

2.以解答题的形式考查,主要是对线线、线面与

查,难度中等.

主干知识梳理
1.线面平行与垂直的判定定理、性质定理 线面平行的
a∥ b? ? b? α ??a∥α ? a? α ?
? a∥ α ? ?? a ∥ b a? β ? α∩β=b?

判定定理
线面平行的 性质定理

? a ? α , b ? α ? 线面垂直的 ? a∩b=O ??l⊥α 判定定理 ? l⊥a,l⊥b ? ?

线面垂直的
性质定理

a⊥ α ? ??a∥b b⊥ α ?

2.面面平行与垂直的判定定理、性质定理
面面垂直的
a⊥ α? ??α⊥β a? β ?
? α⊥β ? α∩β=c?

判定定理
面面垂直的

性质定理

a? α a⊥ c

?? a ⊥ β ? ? ?

面面平行的
判定定理

? ? ? ?? α∥ β ? a∥α,b∥α? ?

a? β b? β a∩b=O

面面平行的 性质定理

? α∥β ? α∩γ=a ??a∥b

β∩γ=b ?

?

提醒 使用有关平行、垂直的判定定理时,要注意 其具备的条件,缺一不可.

3.平行关系及垂直关系的转化

热点分类突破
? 热点一 ? 热点二 空间线面位置关系的判定 平行、垂直关系的证明

? 热点三

图形的折叠问题

热点一

空间线面位置关系的判定

例1

(1)设a,b表示直线,α,β,γ表示不同的平面,
)
思维启迪

则下列命题中正确的是( A.若a⊥α且a⊥b,则b∥α

B.若γ⊥α且γ⊥β,则α∥β
C.若a∥α且a∥β,则α∥β

判断空间线面关系的基本
思路:利用定理或结论;借

D.若γ∥α且γ∥β,则α∥β

助实物模型作出肯定或否定.

解析

A:应该是b∥α或b?α;

B:如果是墙角出发的三个面就不符合题意;
C:α∩β=m,若a∥m时,满足a∥α,a∥β,但是 α∥β不正确,所以选D.

答案 D

(2)平面α∥平面β的一个充分条件是(

)

A.存在一条直线a,a∥α,a∥β
B.存在一条直线a,a?α,a∥β

C.存在两条平行直线a,b,a?α,b?β,a∥β,b∥α
D.存在两条异面直线a,b,a?α,b?β,a∥β,b∥α

解析

若 α∩β = l , a∥l , a?α , a?β ,则 a∥α ,

a∥β,故排除A.

若α∩β=l,a?α,a∥l,则a∥β,故排除B.
若 α∩β = l , a?α , a∥l , b?β , b∥l , 则 a∥β ,

b∥α,故排除C.故选D.
答案 D

解决空间点、线、面位置关系的组合判断题,主

要是根据平面的基本性质、空间位置关系的各种
情况,以及空间线面垂直、平行关系的判定定理
思 和性质定理进行判断,必要时可以利用正方体、 维 升 长方体、棱锥等几何模型辅助判断,同时要注意 华

平面几何中的结论不能完全引用到立体几何中.

变式训练1

设 m 、 n 是不同的直线, α 、 β 是不同的平面,有以下四
个命题: ①若α⊥β,m∥α,则m⊥β ②若m⊥α,n⊥α,则m∥n

③若m⊥α,m⊥n,则n∥α ④若n⊥α,n⊥β,则β∥α
其中真命题的序号为( )

A.①③

B.②③

C.①④ D.②④

解析

①若α⊥β, m∥α,则m与 β可以是直线与平

面的所有关系,所以①错误;
②若m⊥α,n⊥α,则m∥n,所以②正确;

③若m⊥α,m⊥n,则n∥α或n?α,所以③错误;
④若n⊥α,n⊥β,则β∥α,所以④正确. 故选D. 答案 D

热点二

平行、垂直关系的证明

例2 如图,在四棱锥P-ABCD中,
AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,平 面PAD⊥底面ABCD,PA⊥AD,E和

F分别是CD和PC的中点,求证:
(1)PA⊥底面ABCD;

(1)PA⊥底面ABCD;
思维启迪

利用平面PAD⊥底面ABCD的性质,得线面垂直;

证明

因为平面PAD⊥底面ABCD,

且PA垂直于这两个平面的交线AD, 所以PA⊥底面ABCD.

(2)BE∥平面PAD;
证明

思维启迪

BE∥AD易证;

因为AB∥CD,CD=2AB,E为CD的中点,

所以AB∥DE,且AB=DE.

所以四边形ABED为平行四边形.
所以BE∥AD.

又因为BE?平面PAD,AD?平面PAD,
所以BE∥平面PAD.

(3)平面BEF⊥平面PCD.
证明

思维启迪 EF是△CPD的中位线.

因为AB⊥AD,而且ABED为平行四边形.

所以BE⊥CD,AD⊥CD, 由(1)知PA⊥底面ABCD.

所以PA⊥CD.
所以CD⊥平面PAD.

所以CD⊥PD.

因为E和F分别是CD和PC的中点, 所以PD∥EF.所以CD⊥EF. 所以CD⊥平面BEF.

又CD?平面PCD,
所以平面BEF⊥平面PCD.

垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见

类型.
(1)证明线面、面面平行,需转化为证明线线平行.
思 维 (3)证明线线垂直,需转化为证明线面垂直. 升 (4)证明面面垂直,需转化为证明线面垂直,进而转 华

(2)证明线面垂直,需转化为证明线线垂直.

化为证明线线垂直.

变式训练2

如图所示,已知AB⊥平面ACD,DE⊥ 平面ACD,△ACD为等边三角形,AD

=DE=2AB,F为CD的中点.
求证:(1)AF∥平面BCE;

证明

如图,取CE的中点G,连接FG,BG. 1 ∵F为CD的中点,∴GF∥DE且GF= DE. 2 ∵AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD, ∴AB∥DE,∴GF∥AB. 1 又AB= DE,∴GF=AB. 2 ∴四边形GFAB为平行四边形,则AF∥BG. ∵AF?平面BCE,BG?平面BCE,

∴AF∥平面BCE.

(2)平面BCE⊥平面CDE. 证明 ∵△ACD为等边三角形,F为CD的中点,

∴AF⊥CD. ∵DE⊥平面ACD,AF?平面ACD,∴DE⊥AF.

又CD∩DE=D,∴AF⊥平面CDE.
∵BG∥AF,∴BG⊥平面CDE.

∵BG?平面BCE,∴平面BCE⊥平面CDE.

热点三

图形的折叠问题

例3

如图(1),在Rt△ABC中,∠C=90°,D,E

分别为AC,AB的中点,点F为线段CD上的一点,

将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1F⊥CD,
如图(2).

(1)求证:DE∥平面A1CB;
思维启迪

折叠问题要注意在折叠过程中,哪些量变化了,哪些
量没有变化.第(1)问证明线面平行,可以证明DE∥BC;

证明 因为D,E分别为AC,AB的中点,
所以DE∥BC.

又因为DE?平面A1CB,BC?平面A1CB,
所以DE∥平面A1CB.

(2)求证:A1F⊥BE;
思维启迪

第 (2) 问证明线线垂直转化为证明线面垂直,即证明
A1F⊥平面BCDE;

证明 由题图(1)得AC⊥BC且DE∥BC,
所以DE⊥AC.所以DE⊥A1D,DE⊥CD. 所以DE⊥平面A1DC.而A1F?平面A1DC,

所以DE⊥A1F.又因为A1F⊥CD,
所以A1F⊥平面BCDE,又BE?平面BCDE, 所以A1F⊥BE.

(3) 线段 A1B 上是否存在点 Q ,使 A1C⊥ 平面 DEQ ?
请说明理由.
思维启迪 第(3)问取A1B的中点Q,再证明A1C⊥平面DEQ.

解 线段A1B上存在点Q,使A1C⊥平面
DEQ.理由如下: 如图,分别取A1C,A1B的中点P,Q,

则PQ∥BC.

又因为DE∥BC,所以DE∥PQ.
所以平面DEQ即为平面DEP.

由(2)知,DE⊥平面A1DC,
所以DE⊥A1C.

又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点,
所以A1C⊥DP.所以A1C⊥平面DEP.

从而A1C⊥平面DEQ.
故线段A1B上存在点Q,使得A1C⊥平面DEQ.

(1)解决与折叠有关的问题的关键是搞清折叠前后
的变化量和不变量 . 一般情况下,折线同一侧线

段的长度是不变量,而位置关系往往会发生变化,
思 维 (2)在解决问题时,要综合考虑折叠前后的图形, 升 华 既要分析折叠后的图形,也要分析折叠前的图形

抓住不变量是解决问题的突破口.

.

变式训练3

如图(1),已知梯形ABCD中,AD∥BC,∠BAD= π , 2 AB = BC = 2AD = 4 , E , F 分别是 AB , CD 上的点, EF∥BC , AE = x. 沿 EF 将 梯 形 ABCD 翻 折 , 使 平 面 AEFD⊥平面EBCF(如图(2)所示),G是BC的中点.

(1)当x=2时,求证:BD⊥EG; 证明 作DH⊥EF,垂足为H, 连接BH,GH,

因为平面AEFD⊥平面EBCF,交
线为EF,DH?平面AEFD, 所以DH⊥平面EBCF,又EG?平面EBCF,

故EG⊥DH.

1 因为EH=AD= BC=BG=2,BE=2,EF∥BC, 2 ∠EBC=90°,

所以四边形BGHE为正方形,故EG⊥BH.

又BH,DH?平面DBH,且BH∩DH=H,
故EG⊥平面DBH. 又BD?平面DBH,故EG⊥BD.

(2)当x变化时,求三棱锥D-BCF的体积f(x)的函数式

.解

因为 AE⊥EF ,平面 AEFD⊥ 平面 EBCF ,交线

为EF,AE?平面AEFD,

所以AE⊥平面EBCF.
由(1)知,DH⊥平面EBCF,故AE∥DH,

所以四边形AEHD是矩形,DH=AE,
故以B,F,C,D为顶点的三棱锥D-BCF的高

DH=AE=x.

1 1 又 S△BCF= BC· BE= ×4×(4-x)=8-2x, 2 2
1 所以三棱锥 D-BCF 的体积 f(x)= S△BFC· DH 3 1 1 = S△BFC· AE= (8-2x)x 3 3
2 2 8 =- x + x(0<x<4). 3 3

本讲规律总结
1.证明线线平行的常用方法 (1) 利用平行公理,即证明两直线同时和第三条直

线平行;
(2)利用平行四边形进行转换;

(3)利用三角形中位线定理证明;
(4)利用线面平行、面面平行的性质定理证明.

2.证明线面平行的常用方法
(1)利用线面平行的判定定理,把证明线面平行转化为证

线线平行;
(2)利用面面平行的性质定理,把证明线面平行转化为证

面面平行.
3.证明面面平行的方法

证明面面平行,依据判定定理,只要找到一个面内两条
相交直线与另一个平面平行即可,从而将证面面平行转

化为证线面平行,再转化为证线线平行.

4.证明线线垂直的常用方法 (1) 利用特殊平面图形的性质,如利用直角三角形、矩

形、菱形、等腰三角形等得到线线垂直;
(2)利用勾股定理逆定理;

(3) 利用线面垂直的性质,即要证线线垂直,只需证明
一线垂直于另一线所在平面即可.

5.证明线面垂直的常用方法

(1) 利用线面垂直的判定定理,把线面垂直的判定转化
为证明线线垂直; (2) 利用面面垂直的性质定理,把证明线面垂直转化为

证面面垂直;
(3) 利用常见结论,如两条平行线中的一条垂直于一个

平面,则另一条也垂直于这个平面.

6.证明面面垂直的方法

证明面面垂直常用面面垂直的判定定理,即证明一个面
过另一个面的一条垂线,将证明面面垂直转化为证明线 面垂直,一般先从现有直线中寻找,若图中不存在这样 的直线,则借助中点、高线或添加辅助线解决.

真题与押题

? 真题感悟 ? 押题精练

1

2

真题感悟

1.(2014· 辽宁 )已知 m, n表示两条不同直线, α 表示
平面.下列说法正确的是( A.若m∥α,n∥α,则m∥n )

B.若m⊥α,n?α,则m⊥n
C.若m⊥α,m⊥n,则n∥α

D.若m∥α,m⊥n,则n⊥α

1

2

真题感悟

解析 方法一

若m∥α,n∥α,

则m,n可能平行、相交或异面,A错; 若 m⊥α , n?α ,则 m⊥n ,因为直线与平面垂直时, 它垂直于平面内任一直线,B正确;

若m⊥α,m⊥n,则n∥α或n?α,C错;
若m∥α,m⊥n,则n与α可能相交,可能平行,也 可能n?α,D错.

1

2

真题感悟

方法二

如图,在正方体ABCD-

A′B′C′D′中,用平面ABCD表示α. A项中,若m为A′B′,n为B′C′, 满足m∥α,n∥α,

但m与n是相交直线,故A错.
B项中,m⊥α,n?α,

∴m⊥n,这是线面垂直的性质,故B正确.

1

2

真题感悟

C项中,若m为AA′,n为AB, 满足m⊥α,m⊥n,但n?α,故C错.

D项中,若m为A′B′,n为B′C′,
满足m∥α,m⊥n,但n∥α,故D错.

答案 B

1

2

真题感悟

2.(2014· 辽宁)如图,△ABC和△BCD
所在平面互相垂直,且AB=BC=BD =2,∠ABC=∠DBC=120°,E, F,G分别为AC,DC,AD的中点.

1

2

真题感悟

(1)求证:EF⊥平面BCG; 证明 由已知得△ABC≌△DBC,

因此AC=DC.
又G为AD的中点,所以CG⊥AD. 同理BG⊥AD,又BG∩CG=G,

因此AD⊥平面BGC.
又EF∥AD,所以EF⊥平面BCG.

1

2

真题感悟

(2)求三棱锥D-BCG的体积. 1 附:锥体的体积公式V= Sh,其中S为底面面积, 3 h为高. 解 O. 在平面 ABC 内,作 AO⊥BC ,交 CB 的延长线于

由平面ABC⊥平面BCD,知AO⊥平面BDC.
又 G 为 AD 中点,因此 G 到平面 BDC 的距离 h 是 AO 长

1

2

真题感悟

在△AOB 中,AO=AB· sin 60° = 3,
1 所以 VD-BCG=VG-BCD= S△DBC· h 3
1 1 3 1 = × BD· BC· sin 120° · = . 3 2 2 2

1

2

押题精练

1. 如图,AB为圆O的直径,点C在圆周上(异 于点A,B),直线PA垂直于圆O所在的平面, 点M为线段PB的中点.有以下四个命题: ①PA∥平面MOB; ②MO∥平面PAC; ③OC⊥平面PAC; ④平面PAC⊥平面PBC. 其中正确的命题是________(填上所有正确命题的序号).

1

2

押题精练

解析

①错误,PA?平面MOB;

②正确; ③错误,否则,有OC⊥AC,这与BC⊥AC矛盾;

④正确,因为BC⊥平面PAC.
答案 ②④

1

2

押题精练

2.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1 中,E是棱DD1的中点.

(1)证明:平面ADC1B1⊥平面A1BE;
证明 如图, 因为ABCD-A1B1C1D1为正方体, 所以B1C1⊥面ABB1A1. 因为A1B?面ABB1A1,所以B1C1⊥A1B.

1

2

押题精练

又因为A1B⊥AB1,B1C1∩AB1=B1,
所以A1B⊥面ADC1B1.

因为A1B?面A1BE,
所以平面ADC1B1⊥平面A1BE.

1

2

押题精练

(2)在棱C1D1上是否存在一点F,使B1F∥平面A1BE?
并证明你的结论. 解 当点F为C1D1中点时,可使B1F∥平面A1BE.

证明如下:
取C1D1中点F,连接EF,B1F
1 易知:EF∥C1D,且EF= C1D. 2

1

2

押题精练

设AB1∩A1B=O,连接OE, 1 则B1O∥C1D且B1O= C1D, 2 所以EF∥B1O且EF=B1O,

所以四边形B1OEF为平行四边形.
所以B1F∥OE. 又因为B1F?面A1BE,OE?面A1BE. 所以B1F∥面A1BE.


推荐相关:

【步步高】2015届高考数学(理科,广东)二轮专题复习配套word版训练:专题五 第2讲 空间中的平行与垂直]

【步步高】2015届高考数学(理科,广东)二轮专题复习配套word版训练:专题五 第2讲 空间中的平行与垂直]_高考_高中教育_教育专区。【步步高】2015届高考数学(理科,广...


【步步高】(广东专用)2015届高考数学二轮复习 专题训练五 第2讲 空间中的平行与垂直 理

【步步高】(广东专用)2015届高考数学二轮复习 专题训练五 第2讲 空间中的平行与垂直 理_高考_高中教育_教育专区。第2讲考情解读 空间中的平行与垂直 1.以选择...


2015届高考数学(文科)二轮专题复习跟踪训练 专题五 第2讲

2015届高考数学(文科)二轮专题复习跟踪训练 专题五 第2讲_高考_高中教育_教育专区...第2讲考情解读 空间中的平行与垂直 1.以选择、填空题的形式考查,主要利用...


高考数学(理科)二轮专题复习 :专题五第2讲 立体几何

高考数学(理科)二轮专题复习 :专题五第2讲 立体几何_高三数学_数学_高中教育_教育专区。高考数学(理科)二轮专题复习 第2讲考情解读 空间中的平行与垂直 (1)以...


2016届高考数学二轮复习能力测试训练:专题五 5.2 空间中的平行与垂直(新人教A版含解析)(浙江专用)

2016届高考数学二轮复习能力测试训练:专题五 5.2 空间中的平行与垂直(新人教A...每小题 5 分,共 35 分) 1.(2015 浙江五校第二次联考,文 2)给定下列四...


专题五 第2讲 空间中的平行与垂直

专题五 第2讲 空间中的平行与垂直_数学_高中教育_教育专区。2015 届高三直升班第二轮复习第2讲知识主干 1.线面平行与垂直的判定定理、性质定理 a∥b? 线面平...


高考数学(理)二轮专题练习【专题5】(2)空间中的平行与垂直(含答案)

高考数学(理)二轮专题练习【专题5】(2)空间中的平行与垂直(含答案)_高考_高中教育_教育专区。第2讲 空间中的平行与垂直 考情解读 1.以选择、填空题的形式考...


2015届高考数学(理)二轮复习专题讲解讲义:专题五 第一讲 直线与圆

2015届高考数学(理)二轮复习专题讲解讲义:专题五 第一讲 直线与圆_高考_高中教育...1.两条直线平行与垂直的判定 (1)若两条不重合的直线 l1,l2 的斜率 k1,k2...


2016版高考数学大二轮总复习 增分策略 专题五 立体几何与空间向量 第3讲 立体几何中的向量方法试题

2016版高考数学大二轮总复习 增分策略 专题五 立体...与空间向量 第3讲 立体几何中的向量方法试题_高三...热点一 利用向量证明平行与垂直 设直线 l 的方向...


2015届高考物理(全国通用)大二轮专题复习突破课件+word版训练专题五 第2课时 带电粒子在复合场中的运动

2015届高考物理(全国通用)大二轮专题复习突破课件+word版训练专题五 第2课时 带电粒子在复合场中的运动_...在其第三象限空间垂直于纸面向外的 匀强磁场, ...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 简单学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com