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静宁一中2016高三第二轮专题五直线与圆锥曲线第二讲 椭圆 双曲线 抛物线


第二讲 椭圆 双曲线 抛物线 2014 考纲解读 1.掌握椭圆的定义、标准方程及简单的几何性质. 2.了解双曲线的定义、 几何图形和标准方程, 知道它的简单几何性质. 3.理解抛物线的定义、 几何图形和标准方程, 知道它的简单几何性质. 核心考点 椭圆 双曲线 抛物线 2015 年高考预测 1.椭圆的定义、标准方程的求法、定义的应用、离心率的计算. 2.双曲线的定义、性质、方程等

基础知识,以及求其离心率、渐近线 方程. 3.抛物线的定义、 方程、 准线、 几何性质或与抛物线相关的轨迹问题. 4.曲线方程的探求方法,求曲线的轨迹问题.

知识结构

考点一 知识回顾

椭圆的标准方程及几何性质

(1)求椭圆的标准方程或离心率要注意 a,b,c 三者之间关系的 应用. (2)G 为椭圆上的任意一点,F1,F2 为左,右焦点,当 G 点是椭圆 短轴的一个端点时,∠F1GF2 取得最大值. (3)椭圆上的点到焦点的最小距离为 a-c,最大距离为 a+c. (4)要根据题意画出草图,借助数形结合的思想来解. 典例剖析

x2 y 2 1.设 F1,F2 分别是椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点,点 a b P 在椭圆 C 上,线段 PF1 的中点在 y 轴上,若∠PF1F2=30°,则椭圆
的离心率为( 1 A. 6 ) 1 B. 3 C. 3 6 D. 3 3

2.在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的中心为原点,焦点 F1,

F2 在 x 轴上,离心率为

2 .过 F1 的直线 l 交 C 于 A,B 两点,且△ABF2 2

的周长为 16,那么 C 的方程为________. 3. (2014?江苏卷)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,F1,F2 分别

x2 y2 是椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点,顶点 B 的坐标为(0,b),连 a b
接 BF2 并延长交椭圆于点 A,过点 A 作 x 轴的垂线交椭圆于另一点 C, 连接 F1C.

?4 1? (1)若点 C 的坐标为? , ?,且 BF2= 2,求椭圆的方程; ?3 3?

(2)若 F1C⊥AB,求椭圆离心率 e 的值.

练习:

x2 y2 过椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左顶点 A 作斜率为 2 的直线, 与椭圆的 a b
→ 6→ 另一个交点为 B,与 y 轴的交点为 C,已知AB= BC. 13 (1)求椭圆的离心率; (2)设动直线 y=kx+m 与椭圆有且只有一个公共点 P,且与直线

x=4 相交于点 Q,若 x 轴上存在一定点 M(1,0),使得 PM⊥QM,求椭

圆的方程.

考点二 知识回顾

双曲线的方程及几何性质

x2 y2 (1)焦点在 x 轴上时, 双曲线的标准方程为 2- 2=1(a>0, b>0), a b
其渐近线方程是 y=± x;

b a

y2 x2 焦点在 y 轴上时,双曲线的标准方程为 2- 2=1(a>0,b>0),其 a b
渐近线方程是 y=± x.

a b

b x2 y2 (2) 渐 近 线 方 程 为 y = ± x 的 双 曲 线 方 程 可 设 为 2 - 2 = a a b λ(λ≠0).
(3)双曲线的几何性质的实质是围绕双曲线中的“六点”(两个 焦点、两个顶点、两个虚轴的端点),“四线”(两条对称轴、两条渐 近线)、“两形”(中心、焦点以及虚轴端点构成的三角形,双曲线上 一点和两焦点构成的三角形),研究它们之间的相互联系. 典例剖析

1.(2014?广东卷)若实数 k 满足 0<k<9,则曲线 - =1 与 25 9-k 曲线 - =1 的( 25-k 9 A.焦距相等 C.虚半轴长相等

x2

y2

x2

y2

) B.实半轴长相等 D.离心率相等 )

x2 y2 2.已知双曲线 - =1 的离心率为 2,则 n 的值为( n 4-n
A.2 4 B. 3 C.1 5 D. 2

3. (2014?北京卷)设双曲线 C 经过点(2,2),且与 -x2=1 具有 4 相同渐近线,则 C 的方程为________;渐近线方程为________. 练习: 1.双曲线的一个顶点为(2,0),一条渐近线方程为 y= 2x,则 该双曲线的方程是( A. - =1 4 2 ) B. - =1 C. - =1 4 8 8 4

y2

x2 y2

x2 y2

y2 x2

D. - =1 2 4

x2 y 2

x2 y2 2.双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别是 F1、F2,过 a b F1 作倾斜角为 30°的直线交双曲线右支于 M 点,若 MF2⊥x 轴,则双
曲线的离心率为( A. 6 B. 3 ) C. 4 D. 3 3

x 2 y2 3.已知点 F(c,0)是双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)的右焦点, a b
1 若双曲线 C 的渐近线与圆 F: (x-c)2+y2= c2 相切, 则双曲线 C 的离 2

心率为________. 考点三 知识回顾 (1)求抛物线的标准方程常采用待定系数法.利用题中已知条件 确定抛物线的焦点到准线的距离 p 的值. (2)对于和抛物线有两个交点的直线问题,“点差法”是常用方 法. (3)直线 l 过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 F,交抛物线于 A、B 两 点,则有: ①通径的长为 2p. ②焦点弦长公式:|AB|=x1+x2+p. ③x1x2= ,y1y2=-p2. 4 ④以焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切. 典例剖析 1 1.抛物线 y= x2 的焦点坐标是( 4
? ? 1? 1? A.(0,1) B.?0, ? C.?0, ? 16? 4? ? ?

抛物线的方程及几何性质

p2

) D.(0,4)

2.若抛物线 y2=2px 上一点 P(2,y0)到其准线的距离为 4,则抛 物线的标准方程为( ) C.y2=8x D.y2=10x

A.y2=4x B.y2=6x

3. (2014?湖南卷)如图,正方形 ABCD 和正方形 DEFG 的边长分 别为 a,b(a<b),原点 O 为 AD 的中点,抛物线 y2=2px(p>0)经过 C,

b F 两点,则 =________. a

练习: 1.已知抛物线 y2=2px(p>0),过其焦点且斜率为-1 的直线交 抛物线于 A,B 两点,若线段 AB 的中点的横坐标为 3,则该抛物线的 准线方程为( ) C.x=-1 D.x=-2

A.x=1 B.x=2

2.设经过抛物线 C 的焦点的直线 l 与抛物线 C 交于 A、B 两点, 那么抛物线 C 的准线与以 AB 为直径的圆的位置关系为( A.相离 C.相交但不经过圆心 B.相切 D.相交且经过圆心 )

3.已知点 M(-3,2)是坐标平面内一定点,若抛物线 y2=2x 的焦 点为 F, 点 Q 是该抛物线上的一动点, 则|MQ|-|QF|的最小值是( 7 5 A. B.3 C. D.2 2 2 小课堂 1.忽略圆锥曲线的焦点位置致误 )

x2 y2 4 例 1. 已知双曲线 - =1 的一条渐近线方程为 y= x,则该双 m n 3
曲线的离心率为________. 解: 分两种情况讨论:

①m>0,n>0;

n 4 n b2 16 = , = = , m 3 m a2 9
16 5 1+ = . 9 3

e=

1+? ?2=
?a?

?b?

②m<0,n<0;

m 4 m a2 16 = , = = , n 3 n b2 9
9 5 1+ = . 16 4

e=

1+? ?2=
?a?

?b?

5 5 所以双曲线的离心率为 或 . 3 4

x2 y2 10 练 1.已知椭圆 + =1 的离心率 e= , 则实数 k 的值为 ( 5 k 5
A.3 B.3 或 25 3 C. 5 D. 15或 15 3

)

2.利用几何性质解决解析几何中的范围问题

x2 y2 例 2 已知点 F 是双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左焦点,点 E 是 a b
该双曲线的右顶点,过点 F 且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A,B 两点,△ABE 是锐角三角形,则该双曲线的离心率 e 的取值范围是 ( ) A.(1,+∞) B.(1,2) C.(1,1+ 2) D.(2,1+ 2)

解:由 AB⊥x 轴,可知△ABE 为等腰三角形,又△ABE 是锐角三 1 角形,所以∠AEB 为锐角,即∠AEF= ∠AEB<45°,则|AF|<|EF|.由 2

b2 b2 题意, 可求得|AF|= , |EF|=a+c, 所以 <a+c, 即 c2-a2<a2+ac, a a
即 e2-e-2<0,解得-1<e<2.又双曲线的离心率 e>1,从而 1<e<2. 故选 B.

答题模板: 根据题设条件,画出对应的几何图形; 分析几何图形的形状,从中发现不等关系; 将目标参数变换到上述不等关系中,并求解此不等式; 根据不等式的解集,并结合圆锥曲线中几何量的限制条 件,得到所求参数的取值范围; 根据圆锥曲线隐含的几何性质建立不等式是圆锥曲线 问题中最常见的一类题型, 解题时要能够根据求解目标和圆锥曲线的 几何性质找到问题的突破口. 练 2 如图,椭圆的中心在坐标原点 O,顶点分别是 A1,A2,B1,

B2,焦点分别为 F1,F2,延长 B1F2 与 A2B2 交于 P 点,若∠B1PA2 为钝角,
则此椭圆的离心率的取值范围为( )

A.? ?0,
?

?

5+1? ? 4 ? ?

B.? ?
?

? 5+1

4

,1? ?
?

?

C.? ?0,
?

?

5-1? ? 2 ? ?

D.? ?
?

? 5-1

2

,1? ?
?

?


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