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圆锥曲线和导数及测试题


高二数学选修 1-1 圆锥曲线方程检测题

5、线段∣AB∣=4,∣PA∣+∣PB∣=6,M 是 AB 的中点,当 P 点在同一平面 内运动时,PM 的长度的最小值是( (A)2 6、 若椭圆 (A)
2

(一) 题共 12 小题, 每小题 5 分, 共 60 分.在每小题给出的四个选项中,
只有一项是符合题目要求的.

1、 设定点

) (C)
5
1 2

(B)

2

(D)5 )

F1 ? 0, ?3? F2 ? 0,3 ?


, 动点

P ? x, y ?

PF1 ? PF2 ? a ?a 满足条件

x2 y2 ? ? 1 的焦点在 m?2 3

x 轴上, 且离心率 e= , 则 m 的值为 ( (C)-
2

> 0 ? ,则动点 P 的轨迹是( A. 椭圆 在 2、抛物线 B. 线段

(B)2

(D)±

2

). C. 不存在 D.椭圆或线段或不存

x2 y2 7、过原点的直线 l 与双曲线 4 - 3 =-1 有两个交点,则直线 l 的斜率的
取值范围是

y?

1 2 x m 的焦点坐标为(

) .

? 1 ? ,0 ? ? A. ? 4 m ?
2 2

? 1 ? ? 0, ? B. ? 4 m ?

?m ? ? ,0? C. ? 4 ?

? m? ? 0, ? D. ? 4 ?
).

3 3 A.(- 2 , 2 ) 3 3 C.[- 2 , 2 ]

3 3 B.(-∞,- 2 )∪( 2 ,+∞) 3 3 D.(-∞,- 2 ]∪[ 2 ,+∞)

3、双曲线 mx ? y ? 1 的虚轴长是实轴长的 2 倍,则 m 的值为(

1 A. 4 ?

B. ?4

C. 4

1 D. 4

9、已知椭圆 x2sinα -y2cosα =1(0<α <2π )的焦点在 x 轴上,则α 的取值范 围是( (A) (
3? 4

) ,π ) (B) (
2

4、设双曲线的焦点在 x 轴上,两条渐近线为 y=± 率 e 为( (A)5 ) (B) 5 (C)

1 x ,则该双曲线的离心 2

? 4



3? 4

) (C) (

? 2

,π ) (D) (

? 2



3? 4



10、 F1、F2 是双曲线 x

9

?

y2 ? 1 的两个焦点,点 P 在双曲线上且满足∣P F1∣·∣ 16

5 2

(D)

5 4

P F2∣=32,则∠F1PF2 是(



(A) 钝角 能 11、与椭圆 (A)

(B)直角

(C)锐角

(D)以上都有可

15.抛物线 焦点 间的距 离

上的一点 =______.



轴的距离为 12,则



x2 y 2 ? ? 1 共焦点,且过点(-2, 10 16 25

)的双曲线方程为( (D) x
2


y2 ?1 3

y 2 x2 ? ?1 5 4

(B)

x2 y 2 ? ?1 5 4

(C)

y 2 x2 ? ?1 5 3

5

?

12. 若点 到点 的距离比它到直线 则 点的轨迹方程是( ) A. C. B. D.

的距离小 1,

16、 椭圆具有这样的光学性质:从椭圆的一个焦点出发的光线,经椭圆反射 后,反射光线经过椭圆的另一个焦点.今有一个水平放置的椭圆形台球盘,点 A、B 是它的焦点,长轴长为 2a,焦距为 2c,静放在点 A 的小球(小球的半径忽 略不计)从点 A 沿直线出发,经椭圆壁反射后第一次回到点 A 时,小球经过的 路程是_____________. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 60 分,解答应写出文字说明,证明过程 或演算步骤. 17. (本小题满分 15 分) 椭圆短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形,焦点到椭圆长轴端点 的最短距离为 3 ,求此椭圆的标准方程。

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.

3 x 13 、 已知 双曲 线的 渐近线 方程 为 y= ± 4 , 则 此双曲 线的 离心 率为
________.

18. F1,F2 为双曲线

x2 y2 ? 2 ? 1( a ? 0, b ? 0) 2 a b 的焦点,过

F2 作垂直于 x 轴

的直线交双曲线与点 P 且∠P F1F2=300,求双曲线的渐近线方程。

14.在抛物线 上有一点 点的坐标是_________.

,它到焦点的距离是 20,则
x2

19.抛物线的顶点在原点,它的准线过双曲线 a

2

?

y2 ? 1( a ? 1, b ? 0) b2



一个焦点,并于双曲线的实轴垂直,已知抛物线与双曲线的交点为
( 3 , 2 6)

f ( x) ? x 4 ? 2
3、曲线 y ? A.30o

,求抛物线的方程和双曲线的方程。

1 3 7 x ? 2 在点 (?1,? ) 处的切线的倾斜角为( 3 3
B.45o
3 2



C.135o

D.-45o ) D.

4、若 f ( x) ? ax ? bx ? cx ? d (a ? 0) 为增函数,则(

20.已知抛物线的顶点在原点,对称轴是

轴,抛物线上的点 的值.

到焦点的距离等于 5,求抛物线的方程和

A. b ? 3ac ? 0
2

B. b ? 0, c ? 0

C. b ? 0, c ? 0

b 2 ? 3ac ? 0
5、函数 y ? x ? 2 x ? 5 的单调减区间为( )
4 2

A.

?? ?,?1?, [0, 1]

B. [?1,0], ?1,???

C.[-1 , 1]

数学导数练习
1、 设函数 f ( x) 是线性函数,已知 f (0) ? 1, f (1) ? ?3 ,则该函数的导数

D. (??,?1), ?1,?? ? 6、设 f ?( x) 是函数 f ( x) 的导函数, y ? f ?( x) 的 图象如右图所示,则 y ? f ( x) 的图象最有可能的是( ) .

f ?( x) 等于( )
A.4x B.-4 C.-2
3

D.6

2、若对任意的 x ? R , f ?( x) ? 4 x , f (1) ? ?1 则 f ( x) 是( ) A. f ( x) ? x
4

B.

f ( x) ? x 4 ? 2

C.

f ( x) ? 4 x 3 ? 5

D.

7、若函数 f ( x) ? x ? bx ? c 的图象的顶点在第四象限,则函数 f ?( x) 的
2

图象是(

) .

有极小值,则 a =_____, b ? ________ 15、已知曲线 y ? x 在点 P 处切线与直线 3x-y+1=0 的夹角为 45o,求 P 点坐
2

标。 16、已知函数 f ( x) ? x ? 3ax ? 2bx 在点 x=1 处有极小值-1,试确定 a,b
3 2

8、函数 y ? 2 x ? 3x ? 12 x ? 5 在[0,3]上的最大值和最小值依次是( )
3 2

的值,并求 f ( x) 出单调区间。

A.12, -15
3

B.5, -15
2

C.5, -4

D.-4, -15 17、设函数 f ( x) ? x ? ax ? bx 的两个极值点是 x ? ?2 与 x ? 4
3 2

9、方程 x ? 6 x ? 9 x ? 10 ? 0 的根实数个数是( ) A.3 B.2
3

C.1

D.0

10.已知函数 y ? x ? ax 的图象如右图所示,则 a 的取值范围是( ) . A(-∞,+∞) B. (0,∞) C. (l,+∞) D. (3,+∞) 11 、 曲 线 y ? x ? 3x ? 6 x ? 10 的 切 线 中 , 斜 率 最 小 是 切 线 方 程 是
3 2

(1) 求常数 a,b 的值; (2) 判断函数在处的值是函数极大值还是极小值,并说明理由。

18 某工厂生产某种产品,工厂生产某产品,已知该产品的月产量 x(吨) 与每吨产品的价格 p(元/吨)之间的关系式为 p ? 24200 ?

________ 12、函数 y ? x ? x 的单调区间为_________.
3

1 2 x ,且生产 5

x 吨的成本为 R= 50000+200x 元.问该厂每月生产多少吨产品才能使利 润达到最大?最大利润是多少?(利润=收入一成本)

13、面积为 S 的一切矩形中,其周长最小的是___________ 14、设函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? 12 在 x ? ?3 处有极大值,在 x ? 2 处
3 2

高二数学选修 1-1 质量检测试题(卷)2011.1 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 6 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的。 1. 命题“若 A ? B ,则 cos A ? cos B ”的否命题是 A. 若 A ? B ,则 cos A ? cos B 则 A? B C. 若 cos A ? cos B ,则 A ? B
cos A ? cos B

或 q” 、 “p 且 q” 、 “ 判断:

? p”形式的命题,给出以下

B. 若 cos A ? cos B ,

①“p 或 q”为真命题; ②“p 或 q”为假命 题; ③“p 且 q”为真命题; ④“p 且 q”为假命 题; ⑤“ ? p”为真命题; ⑥“ ? p”为假命题. 其中正确的判断是 A .①④⑥ B. ①③⑥ C. ②④⑥ D.②③⑤ 4.“ ? ?
5 ? 12

D. 若 A ? B ,则

”是“ cos2 ? ? sin 2 ? ? ? ”的 B. 必要不充分条件 D. 既不充分又不必

1 2

2. “直线 l 与平面 ? 平行”是“直线 l 与平面 ? 内 无数条直线都平行”的( )条件 A.充要 B.充分非必 要 C.必要非充分 D.既非充分 又非必要 3.已知命题 p: 2 ? 3 ,q: 2 ? 3 ,对由 p、q 构成的“p

A.充分不必要条件 C.充要条件 要条件

x2 y2 ? ? 1 表示双曲线, 5.若方程 则实数 k 的取值范 k ?1 k ? 3

围是 A. k ? 1 B.
1? k ? 3

C.

k?3

D.

k ? 1或 k ? 3
1 ( , 0) 8

D. 3 个 9.抛物线 y ? ? D. A.
a 4 y ? 4a y? 1 2 x ,(a ? 0) 的准线方程是 a

6. 抛物线 y ? 2 x 2 的焦点坐标是 1 1 A. (0,) B. (0,)
8 4 1 ( , 0) 4

C.

B.

y ? ?4a

C.

y??

a 4

7.设 f ( x) ? sin x cos x ,那么 f ?( x ) ? A. ? cos x sin x B. cos 2 x C. sin x ? cos x D. cos x ? sin x 8. 以下有四种说法,其中正确说法的个数为: (1) “ b2 ? ac ”是“ b 为 a 、 c 的等比中项”的充分 不必要条件;

D. 10.抛物线 y 2 标是( C. 4

? 12 x 上与焦点的距离等于 7 的点的横坐

) D.3

A. 6

B. 5

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。

把本大题答案填在第Ⅱ卷题中横线上。

11. 顶点在原点,且过点 (?2, 4) 的抛物线的标准方程 是 . (2) “ a ? b ”是“ a2 ? b2 ”的充要条件; 12.曲线 y ? x 3 ? 2 x ? 3 在点(1,2)处的切线的倾斜角 的度数是 . (3) “ A ? B ”是“ tan A ? tan B ”的充分不必要条件; 13.函数 y ? x ? sin x , x ? ? ? 14.设 F1 , F2 是椭圆 B. 1 个 C. 2 个
? , ? ? 的最大值是 ?2 ?

( 4) “ a ? b 是偶数”是“ a 、 b 都是偶数”的必要 不充分条件. A. 0 个

?

.

x2 ? y 2 ? 1 的两个焦点,点 P 在椭 4 圆上,且 F1 P ? PF2 ,则△ F1 PF2 的面积为 .

15.若 f ( x ) ? e x ? ln x ,则此函数的图像在点 (1, f (1)) 处 的切线的斜率为 . 16.一个边长为 12cm 的正方形铁片,铁片的四角截 去四个边长都为 x 的小正方形,然后做成一个无 盖方盒,要使方盒的容积最大, x 的值应 为 . 三、解答题:本大题共 4 小题,共 60 分。解答应写出文 字说明、证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 15 分) 判断下列命题是全称命题还是特称命题,写出这 些命题的否定,并说出这些否定的真假,不必 证明. (1)末尾数是偶数的数能被 4 整除; (2)对任意实数 x, 都有 x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 ; (3)方程 x 2 ? 5 x ? 6 ? 0 有一个根是奇数. 解: (1)

已知双曲线与椭圆
5

x2 y 2 它们的离 ? ? 1 的焦点重合, 25 9

心率之和为 14 ,求双曲线的方程.

19.(本小题满分 15 分) 在区间 (?2,1) 内,函数 f ( x ) ? ? x 3 ? ax 2 ? bx 在 x ? ?1 处 取得极小值,在 x ? 处取得极大值. (Ⅰ) 求 a , b 的值; (Ⅱ)讨论 f ( x ) 在 (??, ??) 上的单调性.
2 3

20. (本小题满分 15 分) 已知定义在(1,+ ? )上的函数 f ( x ) ?
1 3 1 2 x ? ax ? 1 . 3 2
f (3) ) 处的切线

18. (本小题满分 15 分)

(Ⅰ)讨论函数 f ( x) 的单调性; (Ⅱ) 当 a ? 2 时,求曲线 y ? f ( x ) 在点 ( 3, 方程。

改) 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。 11. x 2 ? y 或 y 2 ? ?8 x (十二厂中学司秦霞供题改); 12. 45? ; 13. ? ; 14.1 (教材复习题改) 15. e ? 1; 16.2cm 三、解答题:本大题共 4 小题,共 60 分。 17. (本小题满分 15 分) (教材例题改) 高二数学选修 1-1 试题参考答案 2011.1 命题: 吴晓英(区教研室) 检测:马 晶(区教研室) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 6 分,共 60 分。 1. D.(教材习题改) 2. B. 3.A. (教材例题 改) 4. A.(教材复习题改) 5. B.(西关中学牛 占林供题改) 6. A.(西关中学牛占林供题改) 7. B.(十二厂中学王海燕供题改) 8. C. 9. A.(实验 中学秦天武供题改) 10.C.(实验中学秦天武供题 解: (Ⅰ)该命题是全称命题, (2 分) 该命题的否定是:存在末尾数是偶数的数, 不能被 4 整除; (2 分) 该命题的否定是真命题. (1 分) (Ⅱ)该命题是全称命题, (2 分)
x
2

该 命 题 的 否 定 是 : 存 在 实 数 x, 使 得 (2 分) ? 2x ? 3 ? 0 ;

该命题的否定是真命题. (1 分) (Ⅲ)该命题是特称命题, (2 分) 该命题的否定是:方程 x 2 ? 5 x ? 6 ? 0 的两个根 都不是奇数; (2 分) 该命题的否定是假命题. (1 分) 18. (本小题满分 15 分) (教材复习题改) 解: 设双曲线的方程为 分) 椭圆
4 x y ? ? 1 的半焦距 c ? 25 ? 9 ? 4 , 离心率为 , 5 25 9
2 2







线









x2 y 2 ? ?1 4 12

(15 分) 19.(本小题满分 15 分) 解:(Ⅰ)∵ f ?( x ) ? ?3 x 2 ? 2ax ? b (2 分) 又由已知得 f ?(?1) ? 0 ,(4 分)
2 )? 0 (6 3 2 2 ∴ ?3(?1)2 ? 2a ? (?1) ? b ? 0 , ?3( )2 ? 2a ? ( ) ? b ? 0 3 3 1 联立求解得 a ? ? , b ? 2 (8 分) 2 f ?(
f ?( x ) ? ?3 x 2 ? x ? 2 ,f ( x ) ? ? x 3 ?

分)

x2 y2 ? ?1 a 2 b2

(3

(Ⅱ) 由 (Ⅰ) 知

x2 ? 2x , 2

(6 分) 两 个 焦 点 为( 4 , 0 ) 和( - 4 , 0 ) (9 分) ∴双曲线的两个焦点为(4,0)和(-4,0),离 心率 e ?
14 4 ? ?2 5 5
c 4 ∴ ? ?2 a a

当 x ? ? ?2 , ?1时, f ?( x ) , f ( x ) 的变化情况如下表: (12 分)
x
( ??, ?1)

?1

2 ( ?1, ) 3

2 3

2 ( , ?? ) 3

f / ( x)



0 极小值



0 极大值



∴a ? 2

(12 分)

∴ b2 ? c 2 ? a 2 ? 12

f ( x)

(14 分)

∴ f ( x ) 在 (??, ?1) , (

2 , ?? ) 上单调递减;(14 3

分)

2 f ( x ) 在 ( ?1, ) 上的单调递增. 3

(15 分)

20.(本小题满分 15 分) 解:(Ⅰ)由已知 f ( x) 的定义域为(1,+ ? ), f ?( x ) ? x 2 ? ax ? x( x ? a ) ?????? ??? 3 分 当 a ? 1 时,在(1,+ ? )上 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x) 在(1,+ ? )单调 递增; 当 a ? 1 时,在 (1, a) 上 f ?( x) ? 0 ,在 [a, ? ?) 上 f ?( x) ? 0 , 所 以 f ( x) 在 (1, a) 单 调 递 减 , 在 [a, ? ?) 上 单 调 递 增. ………8 分 (Ⅱ) 当
a?2

时 10 分



f ( x) ?

1 3 x ? x2 ? 1 3



f ?( x ) ? x 2 ? 2 x ???

∴ f ?(3) ? 32 ? 2 ? 3 ? 3 , f (3) ? 12 分 所以求曲线 y ?
3x ? y ? 8 ? 0

1 3 ? 3 ? 32 ? 1 ? 1 3

?????

f ( x ) 在点 ( 3, f (3) ) 处的切线方程为

y ? 1 ? 3( x ? 3)

即 15 分

选修系列 2-1 导数部分周练习题答案
1.B;2.B; 3.B;4.D;5.A;6.C;7.A;8.B;9.C;10.D;11.3x-y-11=0; 12.(-1,1);

?????????

13. S ;14 15

3 ,?18 2

16、

18 圆锥曲线参考答案 一、选择题: 1 D 2 D .3 A 4 C 5 C 6 B 7 C 8 B 9 B 10 A 11 C 二、填空题

12 B

5 5 13、 3 或 4 . 5 5 a 3 4 e? ? 3或4. 提示:据题意, b 4 或 3 ,∴
14、(18,12)或(18,-12) 17
1 (a ? p) 提示:当线段 AB 过焦点时,点 M 到准线的距离最小,其值为 2 . 15 13

16、4a 或 2(a-c)或 2(a+c) 提示:设靠近 A 的长轴端点为 M,另一长轴的端点为 N.若小球沿 AM 方向 运动,则路程应为 2(a-c);若小球沿 ANM 方向运动,则路程为 2(a+c);若小 球不沿 AM 与 AN 方向运动,则路程应为 4a. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程

或演算步骤.

y 2 ? 4x
所以所求双曲线的一个焦点为(1,0) ,所以 c=1,所以,设所求的双曲线

x2 y2 ? 2 ?1 2 b 17. 解:当焦点在 x 轴时,设椭圆方程为 a ,由题意知 a=2c,
a-c= 3

?
方程为

x2 y2 ? ?1 a2 1? a2

3 ( , 6) 而点 2 在双曲线上,所以 1 4
4 2 y ?1 3 .

x2 y2 ? ?1 9 解得 a= 2 3 ,c= 3 ,所以 b2=9,所求的椭圆方程为 12 x y ? ?1 同理,当焦点在 y 轴时,所求的椭圆方程为 9 12 .
18. 解: 设
2 2

3 2 ( )2 2 ? 6 ?1 a2 1? a2

a2 ?
解得

4x 2 ?
所以所求的双曲线方程为 =2a=m -

PF2

=m, 所以

PF1

=2m,

F1 F2

=2c= 3 m,

PF1 PF2

?e ?

2c ? 3 2a

?e2 ? 3 ?

a2 ? b2 b2 ? 1 ? a2 a2

?

b2 ?2 a2

20.据题意可知,抛物线方程应设为 焦点是 点 在抛物线上,且



),则

b ? ? 2 a

x2 y2 ? 2 ? 2 ?1 a b 的渐近线方程为 y= ? 2 x .

3 ( , 6) 19.解:由题意可知,抛物线的焦点在 x 轴,又由于过点 2 ,所以可
设其方程为

,故



y 2 ? 2 px( p? 0)

?6 ? 3 p

∴ p =2

所以 所求 的抛 物线 方程 为

解得



抛物线方程




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