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2011高考数学总复习课件2.3 函数的奇偶性


§2.3

函数的奇偶性

基础知识 自主学习
要点梳理
1.奇函数、 1.奇函数、偶函数的概念 奇函数 一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都 一般地,如果对于函数f 的定义域内任意一个x f(-x)=f(x) 有_______________,那么函数f(x)就叫做偶函数. _______________,那么函数f 就叫做偶函数. 一般地,如果对于函数f 的定义域内任意一个x 一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都 f(-x)=-f(x) _______________,那么函数f 就叫做奇函数. 有_______________,那么函数f(x)就叫做奇函数. 奇函数的图象关于原点对称;偶函数的图象关于y 奇函数的图象关于原点对称;偶函数的图象关于y轴 对称. 对称.

2.判断函数的奇偶性 2.判断函数的奇偶性 判断函数的奇偶性,一般都按照定义严格进行, 判断函数的奇偶性,一般都按照定义严格进行,一般 步骤是: 步骤是: (1)考查定义域是否关于______对称; 考查定义域是否关于______对称; ______对称 原点 (2)考查表达式f(-x)是否等于f(x)或-f(x): 考查表达式f 是否等于f -f (x) 若f(-x)=_______,则f(x)为奇函数; =_______, 为奇函数; 若f(-x)=________,则f(x)为偶函数; =________, 为偶函数; f (x) -f (x) 若f(-x)=_______且f(-x)=________,则f(x)既是 =_______且 =________,则 f (x) 奇函数又是偶函数; 奇函数又是偶函数; 若f(-x)≠-f(x)且f(-x)≠f(x),则f(x)既 ),则 不是奇函数又不是偶函数,即非奇非偶函数. 不是奇函数又不是偶函数,即非奇非偶函数.

3.奇 3.奇、偶函数的性质 (1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性______, (1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性______, 奇函数在关于原点对称的区间上的单调性 相同 偶函数在关于原点对称的区间上的单调性______(填 偶函数在关于原点对称的区间上的单调性______(填 ______( 相反 “相同”、“相反”). 相同” 相反” (2)在公共定义域内 (2)在公共定义域内 ①两个奇函数的和是________,两个奇函数的积是偶 两个奇函数的和是________,两个奇函数的积是偶 ________, 奇函数 函数; 函数; ②两个偶函数的和、积是_________; 两个偶函数的和、积是_________; _________ 偶函数 ③一个奇函数,一个偶函数的积是_________. 一个奇函数,一个偶函数的积是_________. 奇函数

基础自测
1.对任意实数x,下列函数为奇函数的是 1.对任意实数x 对任意实数 A.y=2x A.y=2x-3 C.y C.y=ln 5x 解析 B.y B.y=-3x2 D.y D.y=-|x|cos x (C )

A为非奇非偶函数,B、D为偶函数,C为奇函数. 为非奇非偶函数,B、 为偶函数,C为奇函数. ,B ,C为奇函数

设y=f(x)=ln 5x=xln 5,∴f(-x)=-xln 5=-f(x). 5,∴f 5=-

1 2.(2008·全国Ⅱ理)函数 f ( x) = ? x 的图象关于 2.(2008·全国Ⅱ 全国 x (C)

A.y A.y轴对称 C.坐标原点对称 C.坐标原点对称

B.直线y B.直线y=-x对称 直线 D.直线y D.直线y=x对称 直线

1 解析 ∵ f ( x ) = ? x, x 1 1 ∴ f (? x) = ? + x = ?( ? x) = ? f ( x). x x 是奇函数.∴ .∴f 的图象关于原点对称. ∴f(x)是奇函数.∴f(x)的图象关于原点对称.

3.下列函数中既是奇函数,又在区间[ 1,1]上单调递 3.下列函数中既是奇函数,又在区间[-1,1]上单调递 下列函数中既是奇函数 减的函数是 A.f A.f(x)=sin x B.f )=B.f(x)=-|x-1| 1 C. f ( x) = (a x + a ? x ) 2 D. f ( x) = ln 2 ? x 2+ x 函数是奇函数,排除B 解析 ∵函数是奇函数,排除B、C(B中函数是非奇 非偶函数, 中是偶函数), 非偶函数,C中是偶函数), ∵[-1,1] 1,1]上是增函数 排除A,故选D. 上是增函数, A,故选 ∴f(x)=sin x在[-1,1]上是增函数,排除A,故选D.
π π [? , ], 2 2

( D )

4.已知f bx是定义在 是定义在[ 上的偶函数, 4.已知f(x)=ax2+bx是定义在[a-1,2a]上的偶函数, 已知 那么a+b的值是 那么a A. ? 1 B. 1 3 3 解析 (B) C. 1 2 D. ? 1 2

1 ? ?a ? 1 = ?2a ?a = 依题意得 ? ,∴ ? 3, ?b = 0 ?b = 0 ?

1 1 ∴a + b = + 0 = . 3 3

5.(2008·福建理)函数f(x)=x3+sin x+1 (x∈R), 5.(2008·福建理)函数f (x 福建理 若f(a)=2,则f(-a)的值为 =2, A.3 解析 B.0 C.C.-1 D.D.-2 (B )

很明显g 是一个奇函数. 设g(x)=x3+sin x,很明显g(x)是一个奇函数. )=x

∴f(x)=g(x)+1.∵f(a)=g(a)+1=2, +1.∵f +1=2, ∴g(a)=1, =1, ∴g(-a)=-1,∴f(-a)=g(-a)+1=-1+1=0. +1=-

题型分类 深度剖析
题型一 函数奇偶性的判断 判断下列函数的奇偶性: 【例1】 判断下列函数的奇偶性:
1? x (1) f ( x) = lg ; 1+ x (2)f ( x ) = ( x ? 1) 1 + x . 1? x

判断函数的奇偶性, 思维启迪 判断函数的奇偶性,应先检查定义域是否 关于原点对称,然后再比较f 关于原点对称,然后再比较f(x)与f(-x)之间是否相等 或相反. 或相反.



定义域关于原点对称. (1) 1 ? x > 0 ? ?1 < x < 1, 定义域关于原点对称. 1+ x

1+ x 1 ? x ?1 又f (? x) = lg = lg( ) 1? x 1+ x 1? x = ? lg = ? f ( x), 1+ x 故原函数是奇函数. 故原函数是奇函数. 1+ x (2) ≥0且1-x≠0? -1≤x<1, ≥0且 ≠0? 1≤x ? 1? x 定义域关于原点不对称,故原函数是非奇非偶函数. 定义域关于原点不对称,故原函数是非奇非偶函数.

探究提高 件:

判断函数的奇偶性, 判断函数的奇偶性,其中包括两个必备条

一是定义域关于原点对称, 一是定义域关于原点对称,这是函数具有奇偶性的 必要不充分条件,所以首先考虑定义域对解决问题是 必要不充分条件, 有利的; 有利的; 二是判断f 二是判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系.在判断奇 是否具有等量关系. 偶性的运算中, 偶性的运算中,可以转化为判断奇偶性的等价等量关 系式( )+f )=0(奇函数) 系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函 奇函数 )=0(偶函 数))是否成立. ))是否成立. 是否成立

知能迁移1 知能迁移1 解

∴-2≤x≤2且x≠0, 2≤x≤2且 ∴函数f(x)的定义域关于原点对称. 函数f 的定义域关于原点对称.
4 ? x2 4 ? x2 = f ( x) = . x + 3? 3 x 4 ? (? x )2 4 ? x2 , 又f ( ? x ) = =? x ?x

?4-x2≥0 ∵? ?|x+3|≠3,

4 ? x2 判断函数f 的奇偶性. 判断函数f(x)= 的奇偶性. | x + 3 | ?3

∴f(-x)=-f(x),即函数f(x)是奇函数. )=- ),即函数f 是奇函数. 即函数

题型二

函数奇偶性的应用

【例2】判断下面函数的奇偶性,并求函数的单调区间. 判断下面函数的奇偶性,并求函数的单调区间. 1 1+ x f ( x ) = ? log 2 . x 1? x 求定义域→判断奇偶性→研究在(0,1) 思维启迪 求定义域→判断奇偶性→研究在(0,1) 上的单调性. 上的单调性. 解
? x ≠ 0, 1+ x ? x须满足 ?1 + x 由 > 0, 得 ? 1 < x < 1. > 0, 1 ? x ? ?1 ? x

所以函数f 的定义域为( 所以函数f(x)的定义域为(-1,0)∪(0,1). 意x,
有f ( ? x ) = ?

∵f(x)的定义域关于原点对称,且对定义域内的任 的定义域关于原点对称,
1 1? x 1 1+ x ) = ? f ( x ), ? log 2 = ?( ? log 2 x 1+ x x 1? x

所以f 是奇函数. 所以f(x)是奇函数.

任取x ∈(0,1),且设 且设x 任取x1,x2∈(0,1),且设x1<x2,则
f ( x1 ) ? f ( x 2 ) = 1 1 + x1 1 1 + x2 ? log 2 ? + log 2 x1 1 ? x1 x 2 1 ? x2

1 1 2 2 = ( ? ) + [log 2 ( ? 1) ? log 2 ( ? 1)]. x1 x 2 1 ? x1 1 ? x2 1 1 2 2 由于 ? > 0,1 < ?1 < ? 1, x1 x 2 1 ? x1 1 ? x2 2 2 所以 log 2 ( ? 1) ? log 2 ( ? 1) > 0, 1 ? x2 1 ? x1

)>0, (0,1)内单调递减 内单调递减. 得f(x1)-f(x2)>0,即f(x)在(0,1)内单调递减. 由于f 是奇函数,所以f 由于f(x)是奇函数,所以f(x)在(-1,0)内单调递减. 1,0)内单调递减. 内单调递减 ∴f(x)的单调递减区间为(-1,0)和(0,1). 的单调递减区间为( 1,0)和

根据函数的奇偶性, 探究提高 根据函数的奇偶性,讨论函数的单调区间 是常用的方法.奇函数在对称区间上的单调性相同; 是常用的方法.奇函数在对称区间上的单调性相同; 偶函数在对称区间上的单调性相反. 偶函数在对称区间上的单调性相反.所以对具有奇偶 性的函数的单调性的研究,只需研究对称区间上的单 性的函数的单调性的研究, 调性即可. 调性即可.

知能迁移2 知能迁移2

是奇函数. 是奇函数.

? 2x + b 已知定义域为R的函数f 已知定义域为R的函数f(x)= x +1 2 +a

(1)求 (1)求a,b的值; 的值; (2)若对任意的t )+f(2t )<0恒 (2)若对任意的t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒 若对任意的 不等式f 成立, 的取值范围. 成立,求k的取值范围. 解 (1)因为f(x)是奇函数,所以f(0)=0, (1)因为f 是奇函数,所以f(0)=0, 因为
?1+ b ? 2x + 1 即 = 0, 解得b = 1.从而有 f ( x ) = x +1 . 2+ a 2 +a 1 ? +1 ? 2 +1 , 解得a = 2. 又由f (1) = ? f ( ?1)知 =? 2 4+a 1+ a

1 1 ? 2x +1 (2)由(1)知 (2)由(1)知 f ( x ) = . =? + x x +1 2 +2 2 2 +1 由上式易知f ∞,+∞)上为减函数 上为减函数. 由上式易知f(x)在(-∞,+∞)上为减函数.
又因f 是奇函数,从而不等式f )+f(2t 又因f(x)是奇函数,从而不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0 )<- (2t )=f 等价于f 等价于f(t2-2t)<-f(2t2-k)=f(-2t2+k). 因f(x)是减函数,由上式推得t2-2t>-2t2+k. 是减函数,由上式推得t 即对一切t 即对一切t∈R有3t2-2t-k>0.
1 ? . 从而判别式Δ=4+12 <0,解得 Δ=4+12k 解得k 从而判别式Δ=4+12k<0,解得k< 3

题型三

抽象函数的奇偶性与单调性

【例3】(12分)已知函数f(x),当x,y∈R时,恒有f(x+y) (12分 已知函数f ),当 恒有f =f(x)+f(y). )+f (1)求证: (1)求证:f(x)是奇函数; 求证 是奇函数;

1 (2)如果x为正实数, (2)如果x为正实数,f(x)<0,并且f(1)= ? , 试 如果 <0,并且f 并且 2 在区间[ 上的最值. 求f(x)在区间[-2,6]上的最值.
(1)根据函数的奇偶性的定义进行证明 根据函数的奇偶性的定义进行证明, 思维启迪 (1)根据函数的奇偶性的定义进行证明, 只需证f )+f 只需证f(x)+f(-x)=0; (2)根据函数的单调性定义进行证明, (2)根据函数的单调性定义进行证明,并注意函数奇 根据函数的单调性定义进行证明 偶性的应用. 偶性的应用.

(1)证明 函数定义域为R 其定义域关于原点对称. (1)证明 ∵函数定义域为R,其定义域关于原点对称. ∵f(x+y)=f(x)+f(y),令y=-x, ),令 ∴f(0)=f(x)+f(-x).令x=y=0, (0)=f )+f ).令 ∴f(0)=f(0)+f(0),得f(0)=0. (0)=f(0)+f(0),得 ∴f(x)+f(-x)=0,得f(-x)=-f(x), =0, )=∴f(x)为奇函数. 为奇函数. (2)解 方法一 设x,y∈R+, ∵f(x+y)=f(x)+f(y), ∴f(x+y)-f(x)=f(y). ∵x∈R+,f(x)<0, ∴f(x+y)-f(x)<0, 4分 4分

∴f(x+y)<f(x). )<f ∵ x + y > x, ∴f(x)在(0,+∞)上是减函数. +∞)上是减函数. 又∵f(x)为奇函数,f(0)=0, 为奇函数, =0, ∴f(x)在(-∞,+∞)上是减函数. ∞,+∞)上是减函数. ∴f(-2)为最大值,f(6)为最小值. 为最大值, (6)为最小值. 为最小值 1 ∴f 2)=- (2)=∵f(1)= ? , ∴f(-2)=-f(2)=-2f(1)=1, 2 (6)=2f(3)=2[f ]=f(6)=2f(3)=2[f(1)+f(2)]=-3. 为-3.

6分 6分 8分 8分

10分 10分

∴所求f(x)在区间[-2,6]上的最大值为1,最小值 所求f 在区间[ 上的最大值为1 12分 12分

方法二

设 x 1 < x 2 , 且 x1 , x2 ∈ R .

)=f +()+f 则f(x2-x1)=f[x2+(-x1)]=f(x2)+f(-x1) =f(x2)-f(x1). >0,∴f )<0.∴f ∵x2-x1>0,∴f(x2-x1)<0.∴f(x2)-f(x1)<0. 即f(x)在R上单调递减. 上单调递减. ∴f(-2)为最大值,f(6)为最小值. 10分 为最大值, 为最小值. 10分 1 ∴f ∵f(1)= ? , ∴f(-2)=-f(2)=-2f(1)=1 2 =2f =2[f ]=f(6)=2f(3)=2[f(1)+f(2)]=-3. ∴所求f(x)在区间[-2,6]上的最大值为1,最小值 所求f 在区间[ 上的最大值为1 为-3. 12分 12分

探究提高

(1)满足f(a+b)=f(a)+f(b)的函数,只 满足f )=f )+f 的函数,

要定义域是关于原点对称的,它就是奇函数. 要定义域是关于原点对称的,它就是奇函数. (2)运用函数的单调性是求最值(或值域)的常用 运用函数的单调性是求最值(或值域) 方法之一,特别对于抽象函数,更值得关注. 方法之一,特别对于抽象函数,更值得关注.

知能迁移3 函数f(x)的定义域为D={x|x≠0},且满足 知能迁移3 函数f 的定义域为D={x ≠0},且满足 对于任意x )=f )+f 对于任意x1,x2∈D,有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2). (1)求f(1)的值; (1)的值; 的值 (2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论; 判断f 的奇偶性并证明你的结论; (3)如果f(4)=1,f(3x+1)+f(2x-6)≤3,且f(x)在 如果f(4)=1,f(3x+1)+f(2x 6)≤3,且 (0,+∞)上是增函数, 的取值范围. (0,+∞)上是增函数,求x的取值范围. 上是增函数 解 (1)∵对于任意x1,x2∈D, 对于任意x )=f )+f 有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2), =1,得 (1)=2f(1),∴f ∴令x1=x2=1,得f(1)=2f(1),∴f(1)=0.

(2)令 1,有 (1)=f 1)+f (2)令x1=x2=-1,有f(1)=f(-1)+f(-1). 1 ∴f(-1)= f(1)=0. 2 1,x )=f 1)+f 令x1=-1,x2=x有f(-x)=f(-1)+f(x), ∴f(-x)=f(x),∴f(x)为偶函数. )=f ),∴f 为偶函数. (3)依题设有f(4×4)=f(4)+f(4)=2, 依题设有f(4×4)=f(4)+f f(16×4)=f(16)+f(4)=3, 16× 16) =3, ∵f(3x+1)+f(2x-6)≤3, (3x+1)+f(2x ∴f((3x+1)(2x-6))≤f(64) ((3x+1)(2x 6))≤f (*)

∵f(x)在(0,+∞)上是增函数, +∞)上是增函数, ∴(*)等价于不等式组 (*)等价于不等式组 ?(3 x + 1)( 2 x ? 6) > 0 ?(3 x + 1)( 2 x ? 6) < 0 ? ? , 或? ? ?(3 x + 1)( 2 x ? 6) ≤ 64 ? ? (3 x + 1)( 2 x ? 6) ≤ 64 ? ?
1 ? ? x > 3或x < ? 3 ? ? 1 < x < 3 ? ? . 即? 或? 3 ?? 7 ≤ x ≤ 5 ?x ∈ R ? ? 3 ? 7 1 1 ≤ x < ? 或 ? < x < 3. 3 3 3 ∴x的取值范围为 ∴ 3 < x ≤ 5或 ?

7 1 1 {x | ? ≤ x < ? 或 ? < x < 3或3 < x ≤ 5}. 3 3 3

思想方法 感悟提高
方法与技巧
1.正确理解奇函数和偶函数的定义, 1.正确理解奇函数和偶函数的定义,必须把握好两个 正确理解奇函数和偶函数的定义 问题: 问题: (1)定义域在数轴上关于原点对称是函数f (1)定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函 定义域在数轴上关于原点对称是函数 数或偶函数的必要非充分条件; 数或偶函数的必要非充分条件; (2)f )=(2)f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是定义域上的恒等式. )=f 是定义域上的恒等式. 2.奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据. 2.奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据.为 奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据 了便于判断函数的奇偶性, 了便于判断函数的奇偶性,有时需要先将函数进行化 简,或应用定义的等价形式:f(-x)=±f(x)? f(-x)± 或应用定义的等价形式: )=± ? f (? x) )=0? 1(f f(x)=0? =±1(f(x)≠0). ? f ( x)

3.奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴 3.奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y 奇函数的图象关于原点对称 对称,反之也真. 对称,反之也真.利用这一性质可简化一些函数图象 的画法,也可以利用它去判断函数的奇偶性. 的画法,也可以利用它去判断函数的奇偶性.

失误与防范
1.判断函数的奇偶性,首先应该判断函数定义域是否 1.判断函数的奇偶性, 判断函数的奇偶性 关于原点对称. 关于原点对称.定义域关于原点对称是函数具有奇偶 性的一个必要条件. 性的一个必要条件.

2.判断函数f 是奇函数,必须对定义域内的每一个x 2.判断函数f(x)是奇函数,必须对定义域内的每一个x, 判断函数 均有f(-x)=-f(x).而不能说存在x0使f(-x0)=-f(x0).对 均有f )=- ).而不能说存在x )=).对 而不能说存在 于偶函数的判断以此类推. 于偶函数的判断以此类推.

定时检测
一、选择题 1.已知f )=ax bx是定义在 是定义在[ 上的偶函数, 1.已知f(x)=ax2+bx是定义在[a-1,2a]上的偶函数, 已知 那么a 那么a+b的值是 A. ?
1 3
1 B. 3 1 C. 2 1 D. ? 2

( B

)

1 ? 解析 依题意得 ?a ? 1 = ?2a ,∴ ?a = 3 , ?b = 0 ? ? ?b = 0 ? 1 1 ∴a + b = + 0 = . 3 3

2.若函数f 2.若函数f(x)是定义在R上的偶函数,在(-∞,0] 若函数 是定义在R上的偶函数, 上是减函数,且f(2)=0,则使得f(x)<0的取值范围 上是减函数, (2)=0,则使得f )<0的取值范围 是 A.(A.(-∞,2) B.(2,+∞) C.(-∞,C.(-∞,-2)∪(2,+∞) D.(D.(-2,2) 解析 ∵f(x)是偶函数且在 (-∞,0]上是减函数,且f(2) ∞,0]上是减函数, 上是减函数 =f(-2)=0,可画示意图如图所 =0, 示,由图知f(x)<0的解集为(-2,2). 由图知f )<0的解集为( 的解集为 ( D )

3.(2009·辽宁理, 3.(2009·辽宁理,9)已知偶函数f(x)在区间[0, 辽宁理 已知偶函数f 在区间[ +∞)上单调递增, +∞)上单调递增,则满足 f (2 x ? 1) < f ( 1 ) 的x的取 3 值范围是 ( ) A. ( 1 , 2 ) 3 3 B. [ 1 , 2 ) 3 3

1 2 C. ( , ) 2 3

1 2 D. [ , ) 2 3

1 解析 方法一 当2x-1≥0,即x≥ 1≥0,即 时,因为f(x)在 因为f 2
[0,+∞)上单调递增,故需满足 2 x ? 1 < 1 , 即x < 2 , +∞)上单调递增, 3 3 1 2 所以 ≤ x < . 2 3 1 1<0,即 由于f 是偶函数, 当2x-1<0,即x< 时,由于f(x)是偶函数,故f(x)在

1 1 ∞,0]上单调递减, (-∞,0]上单调递减,f ( ) = f (? ), 此时需满足 3 3 1 1 1 1 2 2 x ? 1 > ? , 即 < x < , 综上可得 < x < . 3 3 2 3 3

2

方法二

∵f(x)为偶函数,∴f(2x-1)=f(|2x-1|) 为偶函数,∴f(2x 1)=f(|2x ,∴

又∵f(x)在区间(0,+∞)上为增函数, 在区间( +∞)上为增函数,
1 1 ∴不等式 f (2 x ? 1) < f ( ) 等价于 | 2 x ? 1 |< . 3 3 1 1 ∴ ? < 2x ?1 < , 3 3 1 2 ∴ < x< . 3 3

4.(2009·陕西文,10)定义在R上的偶函数f(x),对 4.(2009·陕西文,10)定义在R上的偶函数f (2009·陕西文 定义在
f ( x2 ) ? f ( x1 ) 任意x ∈[0,+∞)(x ),有 任意x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2),有 < 0, x2 ? x1 则 ( )

A.f(3)<f 2)<f A.f(3)<f(-2)<f(1) B.f(1)<f(-2)<f(3) B.f(1)<f 2)<f C.f 2)<f(1)<f C.f(-2)<f(1)<f(3) D.f(3)<f(1)<f D.f(3)<f(1)<f(-2)

解析

对任意x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2),有 对任意x 0,+∞)(x ),有

f ( x2 ) ? f ( x1 ) 异号, < 0, 则x2-x1与f(x2)-f(x1)异号,因此函 x2 ? x1 +∞)上是减函数. 数f(x)在[0,+∞)上是减函数.又f(x)在R上是偶函

2)=f(2),由于3>2>1,故有f(3)<f 2)<f 由于3>2>1,故有 数,故f(-2)=f(2),由于3>2>1,故有f(3)<f(-2)<f(1). 答案 A

5.函数y 5.函数y=f(x)与y=g(x)有相同的定义域,且都不是常 函数 有相同的定义域, 数函数,对定义域中任意x,有f(x)+f(-x)=0, 数函数,对定义域中任意x )+f )=0, g(x)g(-x)=1,且x≠0,g(x)≠1,则F(x)= )=1,且 ≠0,g )≠1,则 2 f ( x) + f ( x) g ( x) ? 1 A.是奇函数但不是偶函数 A.是奇函数但不是偶函数 B.是偶函数但不是奇函数 B.是偶函数但不是奇函数 C.既是奇函数又是偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.既不是奇函数也不是偶函数 D.既不是奇函数也不是偶函数 ( )

1 , 由条件知f )=解析 由条件知f(-x)=-f(x), g (? x) = g ( x)
? 2 f ( x) 2 f (? x) ∴ F (? x) = + f (? x) = ? f ( x) 1 g (? x) ? 1 ?1 g ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? f ( x) f ( x) g ( x) + f ( x) = = = F ( x). 1 ? g ( x) g ( x) ? 1

答案

B

6.已知函数f 是定义在R上的奇函数, >0时 6.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时, 已知函数 1 )=1则不等式f f(x)=1-2-x,则不等式f(x)< ? 的解集是 ( ) 2 A.(-∞,B.( A.(-∞,-1) B.(-∞,-1] C.( C.(1,+∞) +∞) D.[ D.[1,+∞) +∞)

解析

当x>0时,1-2-x= >0时

当x<0时,-x>0,∴f(-x)=1-2x, <0时 >0, =1又∵f(x)为R上的奇函数, 上的奇函数, ∴f(-x)=-f(x),

1 1? x >0与题意不符, >0与题意不符, 与题意不符 2

∴-f(x)=1-2x,∴f(x)=2x-1, =11 x-1< ? ,∴2x< 1 ∴x<-1, ∴f(x)=2 , ∴x 2 2 1 的解集是( ∴不等式 f(x)< ? 的解集是(-∞,-1). 2 答案 A

二、填空题 7.已知函数y 7.已知函数y=f(x)为奇函数,若f(3)-f(2)=1,则f(-2)已知函数 为奇函数, (3)- (2)=1,则 2)f(-3)=____. 1 解析 ∵f(x)为奇函数且f(3)-f(2)=1, 为奇函数且f(3)- (2)=1, ∴f(-2)-f(-3)=f(3)-f(2)=1. 2)- 3)=f(3)-

8.设奇函数f 的定义域为[ 5,5],当 ∈[0,5]时 8.设奇函数f(x)的定义域为[-5,5],当x∈[0,5]时, 设奇函数 函数y 函数y=f(x)的图象如图所示,则使函数值y<0的x的 的图象如图所示,则使函数值y<0的 (-2,0)∪(2,5) 取值集合为______________. 取值集合为______________.

解析

由原函数是奇函数, 由原函数是奇函数,所以

y=f(x)在[-5,5]上的图象关于坐 5,5]上的图象关于坐 标原点对称, 标原点对称,由y=f(x)在[0,5]上 [0,5]上 的图象,得它在[ 的图象,得它在[-5,0]上的图 0]上的图 象,如图所示.由图象知,使函数值y<0的x的取值集 如图所示.由图象知,使函数值y<0的 合为( 合为(-2,0)∪(2,5).

9.(2009·山东理,16)已知定义在R上的奇函数f 9.(2009·山东理,16)已知定义在R上的奇函数f(x) 山东理 满足f 4)=满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数, 且在区间[ 上是增函数, 若方程f )=m >0),在区间[ 8,8] 若方程f(x)=m(m>0),在区间[-8,8]上有四个不同 的根x 的根x1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+x4=________. 解析 因为定义在R上的奇函数,满足f 4)=因为定义在R上的奇函数,满足f(x-4)=-f(x), 所以f(4- )=f ).因此,函数图象关于直线x=2对称 所以f(4-x)=f(x).因此,函数图象关于直线x=2对称 因此 且f(0)=0,由f(x-4)=-f(x)知f(x-8)=f(x).又因为f(x) (0)=0,由 4)=8)=f ).又因为f 又因为 在区间[0,2]上是增函数,所以f 在区间[ 2,0] 在区间[0,2]上是增函数,所以f(x)在区间[-2,0] [0,2]上是增函数 上也是增函数, 上也是增函数,

如图所示,那么方程f(x)=m(m>0)在区间[-8,8]上 如图所示,那么方程f )=m >0)在区间[ 在区间 有四个不同的根x 不妨设x 有四个不同的根x1,x2,x3,x4,不妨设x1<x2<x3<x4.由对称 性知x 12,x =4,所以 所以x 12+4=性知x1+x2=-12,x3+x4=4,所以x1+x2+x3+x4=-12+4=-8.

答案

-8

三、解答题 10.设函数f )=x 2|x 1(-3≤x 10.设函数f(x)=x2-2|x|-1(-3≤x≤3), 设函数 (1)证明f 是偶函数; (1)证明f(x)是偶函数; 证明 (2)画出这个函数的图象; (2)画出这个函数的图象; 画出这个函数的图象 (3)指出函数f 的单调区间, (3)指出函数f(x)的单调区间,并说明在各个单调区 指出函数 间上f 是增函数还是减函数; 间上f(x)是增函数还是减函数; (4)求函数的值域. (4)求函数的值域. 求函数的值域 (1)证明 (1)证明 ∵x∈[-3,3], ∴f(x)的定义域关于原点对称。 的定义域关于原点对称。 2|f(-x)=(-x)2-2|-x|-1 )=(2|x 1=f =x2-2|x|-1=f(x), 即f(-x)=f(x),∴f(x)是偶函数. )=f ),∴f 是偶函数.

(2)解 (2)解

1=(x 当x≥0时,f(x)=x2-2x-1=(x-1)2-2, ≥0时 )=x

当x<0时,f(x)=x2+2x-1 <0时 )=x +2x =(x =(x+1)2-2, 即f(x)= (x-1)2-2 ? (0≤x≤3) (0≤x (-3≤x (-3≤x<0).

? ? (x+1)2-2

根据二次函数的作图方法,可得函数图象如图. 根据二次函数的作图方法,可得函数图象如图.

(3)解 (3)解

函数f 函数f(x)的单调区间为

[-3,-1),[-1,0),[0,1),[1,3]. 3,-1),[f(x)在区间[-3,-1)和[0,1)上为减函数, 在区间[ 3,-1)和[0,1)上为减函数, 上为减函数 在[-1,0),[1,3]上为增函数. 1,0),[1,3]上为增函数. 上为增函数 (4)解 (4)解 的最小值为当x≥0时,函数f(x)=(x-1)2-2的最小值为-2, ≥0时 函数f )=(x 最大值为f(3)=2; 最大值为f(3)=2; 的最小值为当x<0时,函数f(x)=(x+1)2-2的最小值为-2,最大值 <0时 函数f )=(x 为f(-3)=2.故函数f(x)的值域为[-2,2]. 3)=2.故函数f 的值域为[ 故函数

11.已知f 11.已知f(x)是R上的奇函数,且当x∈(-∞,0)时, 已知 上的奇函数,且当x∈(-∞,0)时 f(x)=-xlg(2-x),求f(x)的解析式. )=- lg(2- ),求 的解析式. 解 ∵f(x)是奇函数,可得f(0)=-f(0),∴f(0)=0. 是奇函数,可得f(0)=- (0),∴f 当x>0时,-x<0,由已知f(-x)=xlg(2+x), >0时 <0,由已知f )=xlg(2+x 由已知 ∴-f(x)=xlg(2+x), lg(2+x 即f(x)=-xlg(2+x) (x>0). >0) lg(2+x

?? x lg(2 ? x) ∴f(x)= ? ?? x lg(2 + x)

即f(x)=-xlg(2+|x|) (x∈R). )=- lg(2+|x (x

( x < 0), ( x ≥ 0).

a 12.已知函数 ≠0,常数 常数a 12.已知函数 f ( x) = x 2 + (x≠0,常数a∈R). x (1)讨论函数 讨论函数f 的奇偶性,并说明理由; (1)讨论函数f(x)的奇偶性,并说明理由;
(2)若函数f(x)在[2,+∞)上为增函数,求实数a 若函数f +∞)上为增函数,求实数a 的取值范围. 的取值范围.

=0时 解 (1)当a=0时,f(x)=x2对任意 x∈(-∞,0)∪(0,+∞), ∈(-∞,0)∪(0,+∞), ),∴f 为偶函数. 有f(-x)=(-x)2=x2=f(x),∴f(x)为偶函数. )=(a ≠0时 ≠0,常数 常数a 当a≠0时,f ( x) = x 2 + (x≠0,常数a∈R), x 1)+f(1)=2≠0; 若x=±1,则f(-1)+f(1)=2≠0; ∴f(-1)≠-f(1),f(-1)≠f(1). 1)≠- (1),f 1)≠f ∴函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数. 函数f 既不是奇函数也不是偶函数. 综上所述, 综上所述,当a=0时,f(x)为偶函数; =0时 为偶函数; 当a≠0时,f(x)为非奇非偶函数. ≠0时 为非奇非偶函数.

(2)设2≤x1<x2, 2≤x

a a 2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) = x + ? x2 ? x1 x2
2 1

x1 ? x2 [ x1 x2 ( x1 + x2 ) ? a ], = x1 x2 要使函数f 2,+∞)上为增函数, 要使函数f(x)在x∈[2,+∞)上为增函数,
必须f(x1)-f(x2)<0恒成立. )<0恒成立 恒成立. 必须f <0,x ∵x1-x2<0,x1x2>4, 恒成立. 即a<x1x2(x1+x2)恒成立. >4,∴x 又∵x1+x2>4,∴x1x2(x1+x2)>16, ∴a的取值范围是(-∞,16]. 的取值范围是( 16]
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