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高中物理竞赛辅导-物理光学


物 理 光 学 § 2.1 光的波动性 2.1.1 光的电磁理论 19 世纪 60 年代,美国物理学家麦克斯韦发展了电磁理论,指出光是一种电磁波,使波 动说发展到了相当完美的地步。 2.1.2 光的干涉 1、干涉现象是波动的特性 凡有强弱按一定分布的干涉花样出现的现象,都可作为该现象具有波动本性的最可靠最 有力的实验证据。 2、光的相干迭加 两列波的迭加问题可以归结为讨论空间任一

点电磁振动的力迭加,所以,合振动平均强 度为
2 I = A12 + A2 + 2 A1 A2 cos( 2 1 ) 其中 A1 、 A2 为振幅, 1 、 2 为振动初相位。

= 2 jπ , j = 0,1,2, = (2 j + 1)π , j = 0,1,2, ( )为其他值且A = A
2 1 2 1 2 1 2 1

I = ( A1 + A2 ) 2 干涉相加 I = ( A1 A2 ) 2 干涉相消 I = 4 A 2 cos 2


2

1

2

3、光的干涉 (1)双缝干涉 在暗室里,托马斯杨利用壁上的小孔得到一束阳光。在 这束光里,在垂直光束方向里放置了两条靠得很近的狭缝的黑 屏,在屏在那边再放一块白屏,如图 2-1-1 所示, 于是得到了与缝平行的彩色条纹;如果在双缝前放一块滤 光片,就得到明暗相同的条纹。 A、B 为双缝,相距为 d,M 为白屏与双缝相距为 l,DO 为 AB 的中垂线。屏上距离 O 为 x 的一点 P 到双缝的距离

阳光

图 2-1-1

xd 2 x+d 2 ) , PB 2 = l 2 + ( ) 2 2 ( PB PA) ( PB + PA) = 2dx PA 2 = l 2 + (
由于 d、x 均远小于 l ,因此 PB+PA=2l ,所以 P 点到 A、 B 的光程差为: S M

δ = PB PA =

d x l

d α L2 N

若 A 、B 是同位相光源,当δ为波长的整数倍时,两列波 波峰与波峰或波谷与波谷相遇, P 为加强点(亮点) ;当δ为 半波长的奇数倍时,两列波波峰与波谷相遇,P 为减弱点(暗 点) 。因此,白屏上干涉明条纹对应位置为

图 2-1-2

x = ±k

l λ ( k = 0,1,2 ) d 暗条纹对应位置为
S L

1 d x = ± ( k ) λ ( k = 0,1,2 ) 2 l 。其中 k=0 的明条纹为中
央明条纹,称为零级明条纹;k=1,2…时,分别为中央明 条纹两侧的第 1 条、第 2 条…明(或暗)条纹,称为一级、

S′
图 2-1-3

二级…明(或暗)条纹。 相邻两明(或暗)条纹间的距离 离是均匀的,在 d 、l 一定的条件下,所用的光波波

x =

l λ d 。该式表明,双缝干涉所得到干涉条纹间的距
幕 幕

d λ = x l 长越长,其干涉条纹间距离越宽。 可用来
测定光波的波长。 (2)类双缝干涉 双缝干涉实验说明,把一个光源变成“两相干 光源”即可实现光的干涉。类似装置还有 ①菲涅耳双面镜: 如图 2-1-2 所示,夹角α很小的两个平面镜构 成一个双面镜(图中α已经被夸大了) 。点光源 S 经 W

α
L

θ θ

l

W

L0

图 2-1-4

双面镜生成的像 S1 和 S 2 就是两个相干光源。 ②埃洛镜 如图 2-1-3 所示,一个与平面镜 L 距离 d 很小(数量级 0.1mm)的点光源 S,它的一部分 光线掠入射到平面镜,其反射光线与未经反射的光线叠加在屏上产生干涉条纹。 因此 S 和 S ′ 就是相干光源。但应当注意,光线从光疏介质射入光密介质,反射光与入射

λ
光相位差π,即发生“并波损失” ,因此计算光程差时,反身光应有 2 的附加光程差。 ③双棱镜 如图 2-1-4 所示,波长 λ = 632.8nm 的平行激光束垂直入射到双棱镜上,双棱镜的顶角

α = 3′30′′ ,宽度 w=4.0cm,折射率 n=1.5.问:当幕与双棱镜的距离分别为多大时,在幕上
观察到的干涉条纹的总数最少和最多?最多时能看到几条干涉条纹? 平行光垂直入射,经双棱镜上、下两半折射后,成为两束倾角均为θ的相干平行光。当 幕与双棱镜的距离等于或大于 L0 时, 两束光在幕上的 区域为零,干涉条纹数为零,最少,当幕与双棱镜的 为 L 时,两束光在幕上的重叠区域最大,为 L ,干 纹数最多。利用折射定律求出倾角θ,再利用干涉条 距的公式及几何 关系,即可求解. 重叠 距离 涉条 纹间

S1 d S2 D

θ = ( n 1)α
式中α是双 棱镜顶角,θ是入射的平行光束 棱镜上、下两半折射后,射出的两束平行光的倾角。 2-1-5 所示,相当于杨氏光涉, d D,

θ θ

经双 如图

x =

D λ d ,而

图 2-1-5

sin θ ≈ tgθ =
条纹间距

d 2D =

x =

λ
2 sin θ

λ
2(n 1)a

= 0.62mm

可见干涉条纹的间距与幕的位置无关。 当幕与双棱镜的距离大于等于 L0 时,重叠区域为零,条纹总数为零

L0 =

W W = = 39.3m 2θ 2(n 1)α

当屏与双棱镜相距为 L 时,重叠区域最大,条纹总数最多

L=

相应的两束光的重叠区域为 L = 2 Lθ = 2 L( n 1)α = ( n 1)αL0 = 9.98mm .其中的干涉 条纹总数 ④对切双透镜 如图 2-1-6 所示,过光心将透镜对切,拉开一小段距离,中间加挡光板(图 a) ;或错开 一段距离(图 b) ;或两片切口各磨去一些再胶合(图 c) 。置于透镜原主轴上的各点光源或平 行于主光轴的平行光线,经过对切透镜折射后,在叠加区也可以发生干涉。 (3)薄膜干涉 当 透明薄 膜的厚 d 度与光 波波长 可以相 比时, (a) (a) (b) 入射薄 膜表面 图 2-1-6 的光线 薄满前 后两个表面反射的光线发生干涉。 ①等倾干涉条纹 如图 2-1-7 所示, 光线 a 入射到厚度为 h, 折射率为 n1 的薄膜的上表面, 其反射光线是 a1 , 折射光线是 b;光线 b 在下表面发生反射和折射,反射线图是 b1 ,折射线是 c1 ;光线 b1 再经 过上、下表面的反射和折射,依次得到 b2 、 a 2 、 c2 等光线。其中之一两束光叠加, a1 、 a 2 两 束光叠加都能产生干涉现象。 a、 b 光线的光程差

L0 = 19.65m 2
N =

L = 16 x 条。

δ = n2 ( AC + CB) n1 AD
= 2 n2
=

a
i
A

a1
D

a2
B

h 2n1 htgγ sin i cos γ

n1 h

b

2n2 h 2 (1 sin 2 γ ) = 2n 2 h cos γ = 2h n 2 n12 sin 2 i cos γ 如果 i=0,则上式化简为 δ = 2n2 h 。
由于光线在界面上发生反射时可能出现“半波损

r
c

b1 b2 n2
n3

c1
图 2-1-7

c2

2 是否 失” ,因此可能还必须有“附加光程差” , 需要增加此项,应当根据界面两侧的介质的折射率来决定。

δ′=

λ

当 n1 > n2 > n3 时, 反射线 a1 、b1 都是从光密介质到光疏介质, 没有 “半波损失” 对于 a1 、 ,

a 2 ,不需增加 δ ′ ;但反射线 b2 是从光疏介质到光密介质,有“半波损失” ,因此对于 c1 、 c2 ,
需要增加 δ ′ 。当 n1 < n 2 < n3 时,反射线 a1 、 b1 都有“半波损失” ,对于 a1 、 a 2 仍然不需要 增加 δ ′ ;而反射线 b2 没有“半波损失” ,对于 c1 、 c2 仍然必须增加 δ ′ 。同理,当 n1 > n2 > n3 或 n1 < n 2 < n3 时,对于 a1 、 a 2 需要增加 δ ′ ;对于 c1 、 c2 不需要增加 δ ′ 。 在发生薄膜干涉时,如果总光程等于波长的整数倍时,增强干涉;如果总光程差等于半 波长的奇数倍时,削弱干涉。 入射角 i 越小,光程差 δ + δ ′ 越小,干涉级也越低。在等倾环纹中,半径越大的圆环对应 的 i 也越大,所以中心处的干涉级最高,越向外的圆环纹干涉级越低。此外,从中央外各相邻 明或相邻暗环间的距离也不相同。中央的环纹间的距离较大,环纹较稀疏,越向外,环纹间 的距离越小,环纹越密集。 ②等厚干涉条纹 当一束平行光入射到厚度不均匀的透明介质薄膜 b1 a1 a b 上,在薄膜表面上也可以产生干涉现象。由于薄膜上 n 下表面的不平行,从上表面反射的光线 b1 和从下面表 反射并透出上表面的光线 a1 也不平行,如图 2-1-8 所 示,两光线 a1 和 b1 的光程差的精确计算比较困难,但
1

A

B

n2
n3

h

c
图 2-1-8

在膜很薄的情况下,A 点和 B 点距离很近,因而可认 为 AC 近似等于 BC,并在这一区域的薄膜的厚度可看作相等设为 h,其光程差近似为
2 2n 2 h cos r + δ ′ = 2h n 2 n12 sin 2 i + δ ′

当 i 保持不变时,光程差仅与膜的厚度有 关,凡厚度相同的地方,光程差相同,从而对 应同一条干涉条纹,将此类干涉条纹称为等厚 干涉条纹。 当 i 很小时,光程差公式可简化为

b1

a b

a1

N

2n 2 h + δ ′ 。
③劈尖膜

M Q C

图 2-1-9

如图 2-1-9 所示,两块平面玻璃片,一端互相叠合,另一端夹一薄纸片(为了便于说明问 题和易于作图,图中纸片的厚度特别予以放大) ,这时,在两玻璃片之间形成的空气薄膜称为 空气劈尖。两玻璃片的交线称为棱边,在平行于棱边的线上,劈尖的厚道度是相等的。 当平行单色光垂直( i = 0 )入射于这样的两玻璃片时,在空气劈尖( n 2 = 1 )的上下两 表面所引起的反射光线将形成相干光。如图 1-2-9 所示,劈尖在 C 点处的厚度为 h,在劈尖上 下表面反射的两光线之间的光程差是

2h +

λ
2 。由于从空气劈尖的上表面(即玻璃与空气分界

面)和从空气劈尖的下表面(即空气与玻璃分界面)反射的情况不同,所以在式中仍有附加 的半波长光程差。由此

2h + 2h +

λ
2

= kλ

k = 1,2,3 ……明纹

λ
2

= ( 2k + 1)

λ

2 k = 1,2,3 ……暗纹

干涉条纹为平行于劈尖棱边的直线条纹。每一明、暗条纹都与一定的 k 做相当,也就是 与劈尖的一定厚度 h 相当。 任何两个相邻的明纹或暗纹之间的距离 l 由下式决定:

l sin θ = hk +1 hk =

式中 θ 为劈尖的夹角。显然,干涉条纹是等间距的,而且θ愈小,干涉条纹愈疏;θ愈 大,干涉条纹愈密。如果劈尖的夹角θ相当大,干涉条纹就将密得无法分开。因此,干涉条 纹只能在很尖的劈尖上看到。 ④牛顿环 在一块光平的玻璃片 B 上,放曲率半径 R 很大的平凸透镜 A,在 A 、B 之间形成一劈尖形 空气薄层。当平行光束垂直地射向平凸透镜时,可以观察到在透镜表面出现一组干涉条纹, 这些干涉条纹是以接触点 O 为中心的同心圆环,称为牛 顿环。 C 牛顿环是由透镜下表面反射的光和平面玻璃上表面 R 反射的光发生干涉而形成的,这也是一种等厚条纹。明 A r 暗条纹处所对应的空气层厚度 h 应该满足: h O B λ

1 1 λ ( k + 1)λ kλ = 2 2 2

2h + 2h +

λ

2 2

= kλ , k = 1,2,3 明环 = ( 2k + 1)

λ
2

k = 1,2,3暗环

图 2-1-10

从图 2-1-10 中的直角三角形得

r 2 = R 2 ( R h) 2 = 2 Rh h 2 2 因 Rh,所以 h <<2Rh,得 h= r2 2R

上式说明 h 与 r 的平方成正比,所以离开中心愈远,光程差增加愈快,所看到的牛顿环 也变得愈来愈密。由以上两式,可求得在反射光中的明环和暗环的半径分别为:

r=

(2k 1) Rλ , k = 1,2,3明环 2 r = k R λ , k = 0,1,2 暗环
2

随着级数 k 的增大。干涉条纹变密。对于第 k 级和第 k+m 级的暗环

rk = kRλ
rk2+ m = ( k + m) Rλ rk2+ m r 2 = mRλ
由此得透镜的且率半径

R=

1 1 2 (rk2+ m γ k ) = (γ k + m γ k ) (γ k + m + γ k ) mλ mλ

牛顿环中心处相应的空气层厚度 h=0, 而实验观察到是一暗斑,这是因为光疏介质 到光密介质界面反射时有相位突变的缘故。 例 1 在杨氏双缝干涉的实验装置中,

A S1 S M S2 L 图 2-1-11

r1′ r1 r2

r2′
O N

S 2 缝上盖厚度为 h、 折射率为 n 的透明介质,
问原来的零级明条纹移向何处?若观察到 零级明条纹移到原来第 k 明条纹处,求该透 明介质的厚度 h,设入射光的波长为λ。 解:设从 S1 、 S 2 到屏上 P 点的距离分 别为 r1 、 r2 ,则到 P 点的光程差为

B

δ = (r2 h nh) r1 当 δ = 0 时,的应零级条纹的位置应满足
(r2 r1 ) = (n 1)h
原来两光路中没有介质时,零级条纹的位置满足 r2 r1 = 0 ,与有介质时相比

(r2 r1 ) = (n 1)h < 0 ,可见零级明条纹应该向着盖介质的小孔一侧偏移。
原来没有透明介质时,第 k 级明条纹满足

xd / L = r2 r1 = kλ (k = 0,±1,±2, )
当有介质时,零级明条纹移到原来的第 k 级明条 置,则必同时满足

M1

S

A

P 纹位



r
O M2

r2 r1 = (n 1)h
和 从而 显然,k 应为负整数。

r2 r1 = kλ
h= kλ n 1

θ

图 2-1-12

例2 菲涅耳双面镜。如图 2-1-12 所示,平面镜 M 1 和 M 2 之间的夹角θ很小,两镜面 的交线 O 与纸面垂直,S 为光阑上的细缝(也垂直于图面) ,用强烈的单色光源来照明,使 S 成为线状的单色光源,S 与 O 相距为 r。A 为一挡光板,防止光源所发的光没有经过反射而直 接照射光屏 P. (1)若图中∠ SOM1 = ,为在 P 上观察干涉条纹,光屏 P 与平面镜 M 2 的夹角最好为多 少? (2)设 P 与 M 2 的夹角取(1)中所得的最佳值时,光屏 P ′ 与 O 相距为 L,此时在 P 上观察到 间距均匀的干涉条纹,求条纹间距 △ x。 (3)如果以激光器作为光源,(2)的结果又如何? 解:(1)如图 2-1-13,S 通过 M 1 、 M 2 两平面镜分别成像 S1 和 S 2 ,在光屏 P 上看来, S1 和

S 2 则相当于两个相干光源,故在光屏 P 上会出现干涉
象。为在 P 上观察干涉条纹,光屏 P 的最好取向是使 S1 S M1 S1 d S2
2θ O

现 A P 和

S 2 与它等距离,即 P 与 S1 S 2 的连线平行。
图 2-1-13 图中 S1 和 S 关于平面镜 M 1 对称, S 2 和 S 于平面镜 M 2 对称,所以,O S1 S 2 为顶角为 2θ腰长为 r 等腰三角形,故光屏 P 的最佳取向是 P 的法线(通过 O

θ

r



关 M2 L 的 点)

θ
r0

图 2-1-13

与平面镜 M 2 的夹角等于 ,或光屏 P 与平面镜 M 2 的夹角为 90°— . (2)由图可看出, S1 和 S 2 之间的距离为 d = 2r sin θ , S1 和 S 2 到光屏 P 的距离为

r0 = r cosθ + L ≈ r + L ,由此,屏上的干涉条纹间距为
x = (r + l ) λ 2r sin θ
S d
S′

A B C D b l M 当S

(3)如果以徼光器作为光源,由于激光近于平行,即相 位于无穷远处。上式简化为

x =

λ
2 sin θ

若用两相干光束的夹角 a = 2θ 表示,上式可写成

x =

λ
a 2 sin( ) 2

图 2-1-14

例3 如图 2-1-14 所示的洛埃镜镜长 l=7.5cm,点光 源S 到镜面的距离 d=0.15mm,到镜面左端的距离 b=4.5cm,光屏 M 垂直于平面镜且与点光源 S 相距 L=1.2m。如果光源发出长 λ = 6 × 10 m 的单色光,求: (1)在光屏上什么范围内有干涉的条纹? (2)相邻的明条纹之间距离多大? (3)在该范围内第一条暗条纹位于何处? 分析:洛埃镜是一个类似双缝干涉的装置,分析它的干涉现象,主要是找出点光源 S 和 分析
7

它在平面镜中的像 S ′ ,这两个就是相干光源,然后就可利用杨氏双缝干涉的结论来求解,但 注意在计算光程差时,应考虑光线从光疏媒质入射到光密媒质时,反射光与入射光相位差 。 180 ,即发生“半波损失” 。 解 : (1)如图 2-1-14 所示,S 点光源发出的光一部分直接射到光屏上,另一部分经平面镜 反射后再射到光屏,这部分的光线好像从像点 S ′ 发出,因为到达光屏这两部分都是由 S 点光 源发出的,所以是相干光源。这两部分光束在光屏中的相交范围 AB 就是干涉条纹的范围.由 图中的几何关系可以得到:

b L = d AD ` b+l L = d BD
由①、②两式解得

① ②

Ld = 4(cm) b Ld BD = = 1.5(cm) b+l AD =
由图中可知

AC = AD d = 3.85(cm ) BC = BD d = 1.35(cm )
由③、 ④两式可知在距离光屏与平面镜延长线交点 C 相距 1.35~3.85cm 之间出现干涉条 纹。 (2)相邻干涉条纹的距离为

x =

(3)由于从平面镜反射的光线出现半波损失,暗条纹所在位置 S 和 S ′ 的光程差应当满足

L λ = 2.4 × 10 4 (m) = 0.024(cm) 2d

δ =

2dx λ k + 1 + = λ l 2 2

S
klλ x= 2d
P A M

即 ⑤ 又因为条纹必须出现在干涉区,从①解可知,第一条暗纹还 应当满足

x ≥ BC = 1.35cm
由⑤、⑥式解得



S′
图 2-1-15

k =6 x = 1.44cm
即在距离 C 点 1.44cm 处出现第一条暗条纹。 点评:这是一个光的干涉问题,它利用平面镜成点光源的 像 S`,形成有两个相干点光源 S 和 S ′ ,在光屏上出现干涉条 纹。但需要注意光线由光疏媒质入射到光密媒质时会发生半 波损失现象.

β

γ

δ

例 4 一圆锥透镜如图图 2-1-15 所示,S, S ′ 为锥面,M 为底面;通过锥顶 A 垂直于底面的直线为光轴。平行光垂直 图 2-1-16 入射于底面,现在把一垂直于光轴的平面屏 P 从透镜顶点 A 向右方移动,不计光的干涉与衍射。 S 1、用示意图画出在屏上看到的图像,当屏远一时图 像怎样变化? 2、设圆锥底面半径为 R,锥面母线与底面的夹角为 。 。 β(3 ~5 ) ,透镜材料的折射率为 n。令屏离锥顶 A 的 A 距离为 x, 求出为描述图像变化需给出的屏的几个特殊位 置。 B C 解 :1.入射光线进入透镜底面时,方向不变,只要在 S′ 镜面上发生折射,如图 1-3-6 所示,由图可见,过锥面的 折射角γ满足折射定律

D

n sin β = sin γ
而光线的偏向角,即折射线与轴的夹角δ=γ-β。 行光线的偏向角。 图 2-1-16 画出在图面上的入射光线经透镜后 的折射光束的范围。通这也是所有入射的平过锥 面 S 处和 S ′ 处的折射分别相互平行,构成两个平 (a)

图 2-1-17

(b)

(c)

(d)

图 2-1-18 面光束,交角为 2δ 。把图图 2-1-17 绕光轴旋转 。 180 就得到经过透镜后的全部出射光线的空间分 布。 下面分析在屏上看到的图像及屏向远处移动时图像的变化。 (1)当屏在 A 处时,照到屏上的光束不重叠,屏上是一个明亮程度均匀的圆盘,半径略小 于 R。 (2)屏在 A 、 B 之间时,照到屏上的光束有部分重叠,在光束重叠处屏上亮度较不重叠处 大,特别是在屏与光轴的交点,即屏上图像中央处,会聚了透镜底面上一个极细的圆环上的

全部入射光的折射线,因此这一点最亮。在这点周围是一个以这点为中心的弱光圆盘,再外 面是更弱的光圆环,如图 2-1-18(a) 。 (3)在屏从 A 到 B 远移过程中,屏上图像中央的亮点越远越亮(这是因为会聚在这里的入 射光细圆环半径增大,面积增大) ;外围光圆盘越远越大,再外的弱光圆环则外径减小,宽度 减小,直到屏在 B 点时弱光环消失。 (4)屏在 B 点时,在中央亮点之外有一亮度均匀的光圆盘,如图 2-1-18(b) 。 (5)屏继续远移时,图像又一般地如图图 2-1-18(a)形状,只是屏越远中央亮点越亮,亮 点周围光圆盘越小,再外弱光环越宽、越大。 (6)当屏移到 C 点时,图像中亮点达到最大亮度。外围是一个由弱光圆环扩大而成的光圆 盘。如图 2-1-18(c) 。 (7)屏移过 C 点后到达光束缚不重叠的区域,这时屏上图像为中央一个暗圆盘,外围一个 弱光圆环,不再有中央亮点。如图 2-1-18(d) 。 (8)屏继续远移,图像形状仍如图 2-1-18 (d)只是越远暗盘半径越大,外围弱光环也扩大, 但环的宽度不变。 2.在β较小时,γ也小,有 sin β ≈ β , sin γ ≈ γ , γ = nβ ,故 δ = ( n 1) β 。略去透镜厚 度,则 B , C 处距 A 的距离分别为

xC = R / δ ≈ R /[(n 1) β ] x B = xC / 2 ≈ R /[2(n 1) β ]
因此在第 1 问解答中, (1),(2),(3),(4)所述的变化过程对 应于 a D

0 ≤ x ≤ xB
(5),(6)所述的图像变化过程对应于 (a) (b) (c) 屏

x B < x ≤ xC
(7),(8)所述的图像变化过程对应于 图 2-1-19

x > xC
例 5 将焦距 f=20cm 的凸透镜从正中切去宽度为 a 的小部分,如图 2-1-19(a) ,再将剩 下两半粘接在一起,构成一个“粘合透镜” ,见图 2-1-19(b) 。图中 D=2cm,在粘合透镜一侧 的中心轴线上距镜 20cm 处,置一波长 λ = 500 A 的单色点光源 S,另一侧,垂直于中心轴线 放置屏幕,见图 2-1-19(c) 。屏幕上出现干涉条纹,条纹间距 △ x=0.2mm,试问 1.切去部分的宽度 a 是多少? 2.为获得最多的干涉条纹,屏幕应离透镜 多远? O 首先讨论粘合透镜的上半个透镜的成 解 :1、 a O’ 像。在图 2-1-20 中 OO 是 2 F 粘合透镜的中心轴线, OO 上方用实线画 在 θ 出了上半个透镜,在 OO 下方未画下半个透镜, 2 而是补足了未切割前整个透镜的其余部分, 用虚 图 2-1-20 线表示。整个透镜的光轴为 O ′O′ . 半个透镜产成像规律应与完整的透像相同。现在物点(即光源)S 在粘合透镜的中心轴
0

a 线上,即在图中透镜的光轴上方 2 处,离透镜光心的水平距离正好是透镜的焦距。根据几何
光学,光源 S 发出的光线,经透镜光心的水平距离正好是透镜的焦距。根据几何光学,光源 S 发出的光线,经透镜折射后成为一束平行光束,其传播方向稍偏向下方,与光轴 O ′O′ (对

O

θ = a OO 也是一样)成角为 2 2 f 。当透镜完整时光束的宽 θ × cos ≈ 2 透镜直径。对于上半个透就, 度为:透镜直径 1 D 光事宽度为 2 。

S d P

θ

图 2-1-21

θ 同理, 所发的光, S 经下半个透镜折射后, 形成稍偏向上方的平行光束, O ′O′ 轴成 2 角, 与
D 宽度也是 2 。
于是,在透镜右侧,成为夹角为θ的两束平行光束的干涉问题(见图 2-1-21) ,图中的两 平行光束的重叠区 (用阴影表示) 即为干涉区。 为作图清楚起见, 2-1-21, 图 特别是图 12-1-21 中的θ角,均远较实际角度为大。 图 2-1-22 表示的是两束平行光的干涉情况,其中θ是和图 2-1-21 中的θ相对应的。图 2-1-22 中实线和虚线分别表示某一时刻的 谷 波峰平面和波谷平面。在垂直于中心轴线 峰 A 屏幕上, A、B、C 表示相长干涉的亮纹位 θ 置, D、E 表示相消干涉的暗纹位置,相邻 D 2 波峰平面之间的垂直距离是波长λ。故干 B θ 涉条纹间距 △x 满足 E

2x sin(θ / 2) = λ

在θ很小的情况下,上式成为

x θ = λ 。
所以透镜切去的宽度



C 谷 图 2-1-22

λ

a = f θ = fλ / x

(0.2m) × (0.5 × 10 6 m) (0.2 × 10 3 m) =
= 0.5 × 10 3 m = 0.5mm a 0 .5 θ= = f 200
果然是一个很小的角度。 2、由以上的求 条纹间距 x 与屏 无关, 这正是两束平 但屏幕必须位于两 区才行。图 2-1-22 分表示这一相干叠 式知条纹是等距的, PQ 处可获得最多的 平面到透镜 L 的距离 L1 M F O 解过程可知,干涉 幕离透镜 L 的距离 行光干涉的特点。 束光的相干叠加 中以阴影菱形部 加区。因为由(1) 显然当屏幕位于 干涉条纹,而 PQ

F′

N L2

图 2-1-23

d=

D /θ = (10 2 m) /(0.5 / 200) = 4m 2

例 6.如图 2-1-23 所示,薄透镜的焦距 f =10 cm ,其光心为 O ,主轴为 MN ,现将特镜对半 切开,剖面通过主轴并与纸面垂直。 L1 1.将切开的二半透镜各沿垂直剖面 0.1mm 的方向拉开,使剖面与 MN 的距离均为 M N O 0.1 mm , 移开后的空隙用不透光的物质填 B F P F′ 充组成干涉装置,如图 2-1-24 所示,其 0.1mm L2 0 中 P 点为单色点光源 (λ = 5500 A) , PO=20cm , 为垂直于 MN 的屏, B OB=40cm 。 (1)用作图法画出干涉光路图。 (2)算出屏 B 上呈现的干涉条纹的间 距。 (3)如屏 B 向右移动,干涉条纹的间距 将怎样变化? 2.将切开的二半透镜沿主轴 MN 方向移 开一小段距离, 构成干涉装置, 如图 2-1-25

图 2-1-24
L1 O2 P F1 F2 O1 L2

F1′

F2′

N

图 2-1-25
L1 M P F1 F 2 O1 L2 O2

所示, P 为单色光源,位于半透镜 L1 的焦点

F1′ F2′

N

F1 外。
(1)用作图法画出干涉光路图。 (2)用斜学标出相干光束交叠区。 (3)在交叠区内放一观察屏,该屏 与 MN 垂直,画出所呈现的干涉条纹的 形状。 3.在本题第 2 问的情况下,使点 光源 P 沿主轴移到半透镜的焦点处,如 图 2-1-26 所示,试回答第 2 问中各问。 解 : 1.(1)如图 2-1-27,从点光源

L1
F2

图 2-1-26

o

o1 F1′ F2′ o2 L2

s1
B N

M P

F1

s2
D

P 引 PO1 和 PL1 两条光线, PO1 过 L1 光
心 O1 后沿原方向传播。 PO 轴助光线, 引 该光线与 L1 的主轴平行, 若经 L1 折射后 必通过焦点 F1′ ,沿 OF1′ 方向传播,与

图 2-1-27

PO1 相交于 S1 点, S1 为 P 经上半透镜 L1 成像得到的实像点。同理, S 3 是 P 经下半透镜 L2 所
成的实像点,连接 L1 S1 和 L2 S 2 ,所得 P 点发出的光束经两半透镜折射后的光束的范围。 S1 和

S 2 是二相干的实的点光源,像线所标的范围为相干光束交叠区。
(2)在交叠区放一竖直的接收屏,屏上呈现出与纸面垂直的明暗相间的条纹,其条纹间距 为

x =

λD
t

=

5500 × 10 2 × 0.2 = 2..75 × 10 4 (m) 4 4 × 10

(3)屏 B 向右移动时, D 增大,条纹间距增大。 2.(1)如图 2-1-28 (a),从点光 源 P 引 PL1 PO2 和 PL2 三条光线,

PO1 过光心 O1 和 O2 沿直线方向传

P M F1 F2 O1

O2

F1′ F2′

S1 S2

N (b)

(a)

图 2-1-28

播,过 O1 引平行于 PL1 的辅助光线经 L1 不发生折射沿原方向传播,与过 F1′ 的焦面交于 A1 点, 连接 L1 A1 直线与主轴交于 S1 点,该点为 P 经上半透镜 L1 成像所得的实像点;同理可得 P 经下 半透镜 L2 所成的实像点 S 2 ,此二实像点沿主轴方向移开。 (2)图 2-1-28 (a)中斜线标出的范围为二相干光束交叠区。 (3)在观察屏 B 上的干涉条纹为以主轴为中心的一簇明暗相间的同心半圆环,位于主轴下 方,如图 2-1-28(b)所示。 3. (1)如图 2-1-29(a), 点光源 P 移至 F1 , PO1 , PO2 光线经过透镜后方向仍不变, PL1 光 而

PL 线经上半透镜 L1 折射后变成与主轴平行的光线, 2 光线经下半透镜 L2 折射后与 PO2 交于 S 2
点, S 2 为 P 经下半透镜 L2 所成的实像点。 (2)图 2-1-29 (a)中斜线所标出的范围为这种情况下的相干光束重叠区域。 (3)这种情况在观察屏 B 上呈现出的干涉条纹也是以主轴为中心的一簇明暗相间的同心半 圆环, 但位于主轴上方, 如图 2-1-29 (b) L1 所示。 例 7、一束白光以 a 30 °角射在肥

B N 光显得特别明亮。 S1 1、试问薄膜最小厚度为多少? L2 (b) 2、从垂直方向观察,薄膜是什么颜 (a) 色? 图 2-1-29 肥皂膜液体的折射率 n=1.33 解 : 1、入射到 A 点的光束一部分被 反射,另一部分被折射并到达 B 点。在 B 点又有一部分再次被反射,并经折射后在 C 点出射。 光线 DC 也在 C 点反射。远方的观察者将同时观察到这两条光线。 在平面 AD 上,整个光束有相同的相位。我们必须计算直接从第一表面来的光线与第二面 来的光线之间的相位差。它取决于光程差,即取决于 薄膜 D 的厚度。无论发生干涉或相消干涉,白光中包含的各 种波 长的光线都会在观察的光中出现。 a a a 光线从 A 到 C 经第二表面反射的路程为 A C 2d

λ = 0.5m 的绿 皂膜上,反射光中波长 0

M

P F2 O2F ′ 1 O1 F1

F2′

cos β λ / n ,故在距离 AB+BC 上的波数 在媒质中波长为 0 2d λ 0 2nd : = cos β n λ0 cos β
光线从 D 到 C 经第一表面反射的路程为

AB + BC =

d

β ββ
B 图 2-1-30 为

DC = AC sin a = 2dtgβ sin a = 2d
在这段距离上,波长为

sin a sin β cos β

λ 0 ,故波数为

2d sin β sin a λ0 cos β
段的波数为

我们知道,当光从较大折射率的媒质反射时,光经历 180 相位差,故 DC



2d sin β sin a 1 + λ 0 cos β 2
如果波数差为整数 k ,则出现加强,即

2nd 2d sin β sin a 1 λ 0 cos β λ 0 cos β 2 2nd 1 = (1 sin 2 β ) λ 0 cos β 2 2nd cos β 1 2d 1 = = n 2 sin 2 a λ0 2 λ0 2 k=
经过一些变换后,得到下述形式的加强条件

4d

λ0

n 2 sin 2 a = 2k + 1

哪一种波长可得到极大加强,这只取决于几何路程和折射率。我们无法得到纯单色光。 这是由于邻近波长的光也要出现,虽然较弱。k 较大时,色彩就浅一些。所以如平板或膜太厚, 就看不到彩色,呈现出一片灰白。本题中提到的绿光明亮,且要求薄膜的最小厚度。因此我 们应取 k=0 ,得到膜层厚度为

d=

λ
4 n 2 sin 2 a

0.1m

2、对于垂直入射,若 k=0 ,呈现极大加强的波长为

λ 0 = 4d n 2 sin 2 D = 4dn
用以上的 d 值,得

λ0 = λ0

n n 2 sin 2 a

=

λ0
cos β

n1 n2 n3

对于任何厚度的膜层, 本题中

λb 可从 λ 0 用同样的方式算出。在

λb = 1.079λ0 = 0.540m
它稍带黄色的绿光相对应。 例 8、 在半导体元件的生产中, 为了测定 Si 片上的 SiO2 薄膜厚度,将 SiO2 薄膜磨成劈尖形状。如图 2-1-31 所示, 用波长λ=5461 A 的绿光照射,已知 SiO2 的折射率为 1.46, Si 的折射率了 3.42,若观察到劈尖上出现了 7 个条纹间距, 问 SiO2 薄膜的厚度是多少? 设图中从上到下依次为空气、SiO2 和 Si, 由于 SiO2 解: 的折射率 n 2 小于 Si 的折射率,所以光从空气射入 SiO2 劈尖
0

图 2-1-31

bQ
P

a

待测工件 图 2-1-32

的上、下表面反射时都有半波损失,因此在棱边(劈膜厚度 d =0 处)为明条纹。当劈膜厚度 d 等于光在膜层中半波长的奇数倍时(或者膜层厚度 d 的 2 倍等于光在膜层中波长的整数倍时) 都将出现明条纹。所以明条纹的位置应满足:

2d =

λ K ( K = 0,1,2 n2

因此相邻明条纹对应的劈膜厚度差为

d =

λ
2n 2

所以在劈膜开口处对应的膜层厚度为

D = 7×

λ
2n 2

= 7×

5461 × 10 10 = 1.31 × 10 6 m 2 × 1.46

例 9、利用劈尖状空气隙的薄膜干涉可以检测精密加工工件的表面质量,并能测量表面纹 路的深度。测量的方法是:把待测工件放在测微显微镜的工作台上,使待测表面向上,在工 件表面放一块具有标准光学平面的玻璃,使其光学平面向下,将一条细薄片垫在工件和玻璃 板之间,形成劈尖状空气隙,如图 2-1-32 所示,用单色平行光垂直照射到玻璃板上,通过显 微镜可以看到干涉条文。如果由于工件表面不平,观测中看到如图上部所示弯曲的干涉条纹。 ①请根据条纹的弯曲方向,说明工件表面的纹路是凸起还不下凹? ②证明维路凸起的高度(或下凹的深度)可以表示为 式中λ为入射单色光的波长, a、b 的意义如图。 分析 : 在劈尖膜中讲过,空气隙厚度 h 与 k 存在相应关系。若工作表面十分平整,则一 定观察到平行的干涉条纹。由于观察到的条纹向左弯曲,说明图中 P 点与 Q 点为同一 k 级明 纹或暗纹。且某一 k 值与厚度 h 有线性正比关系。故 P 点与 Q 点对应的 k 相等,工件必下凹。 解①单色光在空气隙薄膜的上下表面反射,在厚度 x 满足:

h=

aλ 2b ,

2x +

λ
2

= kλ x =

λ

2。 时出现明条纹,相邻明条纹所对应的空气隙的厚度差 可见,对应于空气隙相等厚度的地方同是明条纹,或同是暗条纹。从图中可以看出,越 向右方的条纹,所对应的空气隙厚度越大。故条纹左弯,工件必下凹。

λ
②由图中看出,干涉条纹间距为 b ,对应的空气隙厚度差为 2 。又因为条纹最大弯曲程 度为 a ,因此完所对应的纹路最大深度 h 应满足 h :

a=

λ
2

:b

所以 2.1.3 光的衍射 光绕过障碍物偏离直线传播而进入几何阴影,并在屏幕上出现光强不均匀分布的现象, 叫做光的衍射。 1、惠更斯—菲涅耳原理 (1)惠更斯原理 惠更斯指出,由光源发出的光波,在同一时 刻 t 时它所达到的各点的集合所构成的面,叫做 此时刻的波阵面(又称为波前) ,在同一波阵面 上各点的相位都相同,且波阵面上的各点又都作 为新的波源向外发射子波,子波相遇时可以互相 叠加,历时 △t 后,这些子波的包络面就是 t + △ t 时刻的新的波阵 面。波的传播方向与波阵面垂直,波阵面是 图 2-1-33 一个平面的波叫做平面波,其传播方向与此平面

h=

a λ 2b 。

垂直,波阵面是一个球面(或球面的一 部分)的波叫做球面波,其传播方向为沿球面的半径方向,如图 2-1-33 (2)菲涅耳对惠更斯原理的改进(惠—菲原理) 波面 S 上每个面积单元 ds 都可看作新的波源,它们均发出次波,波面前方空间某一点 P 的振动可以由 S 面上所有面积所发出的次波在该点迭加 后的 N ds 合振幅来表示。 θ r 面积元 ds 所发出各次波的振幅和位相符合下列四个 假 P 为 ds 设:在波动理论中,波面是一个等位相面,因而可以认 S 面上名点所发出的所有次波都有相同的初位相(可令

0 = 0 ) 。
②次波在 P 点处的振幅与 r 成反比。

图 2-1-34

③从面积元 ds 所发出的次波的振幅正比于 ds 的面积,且与倾角θ有关,其中θ为 ds 的 法线 N 与 ds 到 P 点的连线 r 之间的夹角,即从 ds 发出的次波到达 P 点时的振幅随θ的增大 而减小(倾斜因数) 。 ④次波在 P 点处的位相,由光程 = nr 决定

=



λ





I1 (3)泊松亮斑 当时法国著名的数学家泊松在阅读了菲涅耳的报告后指 出:按照菲涅耳的理论,如果让平行光垂直照射不透光的圆 O sin θ 1.22λ D 盘,那么在圆盘后面的光屏上所留下的黑影中央将会出现一 1.22 D λ 个亮斑。因为垂直于圆盘的平行光照到时,圆盘边缘将位于 图 2-1-37 同一波阵面上,各点的相位相同,它们所发生的子波到达黑 影中央的光程差为零,应当出现增强干涉。泊松原想不能观 察到这一亮斑来否定波动说,但菲涅耳勇敢地面对挑战,用实验得到了这个亮斑。 2、圆孔与圆屏的菲涅耳衍射 (1)圆孔衍射 将一束光(如激光)投射在一个小圆孔上,并在距孔 1~2 米处放置一玻璃屏,则在屏上 可看到小圆孔的衍射花样。 L1 其中波带改为 L2
k=

I

ρ2 1 1 ( + ) λ v0 R
v

S

线 其中由圆孔半径 P,光的波长λ,圆孔位置( 0 与 狭缝 光 R)确定。 f (2)圆屏衍射 不问圆屏大小和位置怎样,圆屏几何影子的中心永 图 2-1-35 远有光,泊松亮斑即典型。 3、单缝和圆孔的夫琅和费衍射 夫琅和费衍射又称远场衍射,使用的是平行光线,即可认为光源距离为无限远。它不同 于光源距离有限的菲涅耳衍射。在实验装置中更有价值。 夫琅和费衍射指用平行光照射障碍物时在无穷远处的衍射图像。由于无穷远与透镜的焦 平面上是一对共扼面,所以可以用透镜将无穷远处的衍射花样成像于焦平面上 单缝的夫琅和费衍射装置如图 2-1-35 所示, S 为与狭缝平行的线光源,置于 L1 的前半焦 平面上,由惠更斯—菲涅耳原理可计算出屏上任一点 P 的光强为

I (θ ) = I 0 (

sin β

式中, 中心点光强。 单缝的夫琅和费衍射图像和光强分布如图 2-1-36,在

β=

π b sin θ I λ ,λ为波长,b 为狭缝宽度,θ为 P 点对 L2 中心轴线所张的角, 0 为
I I1
衍 其

β

)2

mλ , m = ±1,±2, b 射光强分布中,可知 时,I=0 。 2λ 2λ f (f 为 中心条纹对应的夹角为 b ,屏上的宽度则为 b sin θ =
的焦距)。它表明,当狭缝官宽 b 变小时,中心衍射条纹变 若用点光源和圆孔分别代替图 2-1-35 中的线光源 S 狭缝,在屏便可得到小圆孔的衍射花样, 其光强分布如图

λb

sin θ λ b 2λ b

L2
宽。 和

图 2-1-36

2-1-37. D 为小圆孔的直径,中央亮圆斑称为爱里斑,爱里斑边缘对 L2 中心光轴的夹角为

θ ≈ 1.22

λ
D。

圆孔衍射是非常重要的,在光学仪强中,光学元件的边缘一般就是圆孔,对于一物点, 由于这元件边缘的衍射,所成的像不再是点,而是一个爱里斑,这将影响光学仪器的分辩相 邻物点的能力。根据瑞利判据,当两个爱里斑中心角距离为

1.22

λ
D 时,这两个像点刚好可以

D 就不可分辨了。 分辩,小于 4、衍射光栅 由大量等宽度等间距的平行狭缝所组成的光学元件称为衍射光栅,将衍射光栅放置在图 2-1-35 的狭缝位置上,在衍射屏上便可观察到瑞利的亮条纹,这些亮条纹所对应的角度θ应 满足
d sin θ = mλ , m = 0,±1,±2
d 为两狭缝之间的间距, m 称为衍射级数。上式称为光栅方程。从方程中可以看出。不同 的波长λ,其亮条纹所对应的θ不同,所以光栅可以用来作光谱仪器的色散元件。 例 1、一个由暗盒组成的针孔照相机,其小孔直径为 d ,暗盒中像成在小孔后距离为 D 的 感光胶片上如图 2-1-37,物体位于小孔前 L 处,所用波长为λ。 (1)估计成像清晰时小孔半 径的大小。 (2)若使用中算出的小孔,试问物体上两点之 间的最小距离是多少时?该两点的像是否可分辨? A (1)物体上一点在照像底片上成的像由两个因素 解: A′ d 决定的,一是小孔的几何投影,一是小孔的夫琅禾费衍射 (Dd) 。几何投影产生物点的像的直径是

1.22

λ

a ′ =

L+D d L 1.22λ D d L+D 2.44λD d+ L d

图 2-1-37

衍射效应扩大了几何投影区,所增加的直径大小为

a ′′ = 2 ×

总的像直径为

a = a ′ + a ′′ =

可见当小孔 d 小时,则第一项小,第二项大。当 d 大时,第二项小,第一项大。

2.44λDL L + D 时, a 最小,其值是 当 2.44 Dλ ( L + D) a = 2 D d=
(2)由(1)知,对小孔直径为 d 的针孔照像机,物上一几何点在底片上所成像的大小为

a = 2

2.44λD( L + D) L
A′B ′ ≥ 1 a 2 ,由

物上相邻两点 AB 在底片上要能分辨,根据瑞利判据,其像点中心距离 几何关系得

2.44λL( L + D) D 2.44λL( L + D) D 即物上两点间的距离要大于 AB = D A′B ′ = L
时,该两点的像是能分辨的。 例 2、用分波带矢量作图方法求出单缝的夫琅禾 费衍射分布。 解 : 将缝宽为 b 的狭缝分成 N 条宽度相等的极

b


θ

b N N

(a )
图 2-1-38

(b )

b 窄条,称为子缝,其宽为 N , N 很大,则每一子缝
可作为一几何线,这些子缝到屏上某一点 P 的距离想差很小,所以它们在 P 点引起的振幅 a 近似相等。至于位相,每一条子缝到 P 点是不同的,但相邻两子缝在屏上所引起的位相差为

λ N 为如图 2-1-38(b) b sin θ 所示的光程差,它等于 N ,第一

δ =



i , i =

ββ
A0 = N
a

条子缝与最后一条子缝总位相差 ,见图 2-1-38 (a) 。各子缝在 P 点产生的振动 E ;叠 加即为整个缝在 P 点的振动 。这振动叠加可借助其矢量 作图法来求出, 如图 2-1-39 为矢量量, 图中矢量图,图中矢量总长度是相同 的,都为 Na . 当β=0,即θ=0 对应的中心点上, 缝上各点波面到达时振动位相同, 则各 点振幅矢量合成如图 2-1-39(a) 。
i =1

2β =



β = 0, θ = 0

A

2b
Na

λ

, = b sin θ

(a )

0 < β < π ,0 < θ < λ b

(b )

E = ∑ Ei

N

β =π θ =λ b

(c)

π < β < 2π λ b < θ < 2λ b

β = 2π θ = 2λ b

(d )
图 2-1-39

(e)

A0 = Na 代表此点的合振动,这时光强最大(即主最大) .对任一β,缝上相邻各点的振动位

2β 2β 相相差 N ,对应的矢量将转动 N ,缝上两边缘的位相差为 2β,各矢量构成一圆心角为 2
β的弧如图(b) ,它们的合矢量 A 等于这段弧的弦。由几何关系可得

A = A0 =

sin β

β

,β =

π b sin θ λ

其强度

I = I0 (

sin β

β

2 ) 2 , I 0 = A0

当β=π,即 矢量曲线将越卷越小,合矢量也越来越小,对应的强度也随之减小。 2.1.4、 2.1.4 、 光的偏振 光波是横波,这可以用光的偏振实验来证明。 。 通过两块偏振片来观察某一普通发光源, 旋转其中一块偏振片, 我们会发现, 每旋转 360 , 观察到的光强会由暗变亮再变暗再变亮的交替变化两次,下面来解释这一现象。 普通光源是为数众多的分子或原子在发光,虽然每一个原子发出的光只有一个特定的振 动方向,但众多的原子发出光振动方向是杂乱的,没有哪一个方向比其他方向更特殊,这种 光称为自然光。而偏振片具有让一个方向的振动通过(称为透光方向) ,另一个垂直方向的振 动具有全部吸收的功能。这样, 自 然 v 光通过偏振片后,只有 一个方 向 振 动的及其他方向振动在 该方向 的 分 E Km 量通过从而形成只有一 个振动 方 向 的线偏振光。当该线偏 振光通 过 第 A V 二偏振片时,若第二偏 振片的 透 光 v v0 0 方向与线偏振方向(第 一偏振 片 的 透光方向)成α角,透 过第二 偏 振 片 的 振 动 时 为 E 2 = E1 cos a ,
。 强为 I 2 = I 1 cos a ,当α=90 、

θ=

λ b 时,振幅矢量卷成一圆,故 A=0 ,如图(c) 。随着β增大,即θ增大,

其 光

2

I

270 2 1



。 。 时, I 2 = 0 ;当α为 0 、180

I 2 = I 1 最大;其他角度在两者
变化。这种偏振现象只 有横波 有。

I m2 I m1

时 , 之 间 才

0

P

§2.2、

光的量子性

2.2.1、 2.2.1 、 光电效应 某些物质在光(包括不可见光)的照射下有电子发射出来,这就是光电效应的现象。利 用容易产生光电效应的物质制成阴极的电子管称为光电管。 图 2-2-1 所示的电来研究光电效应的规律。实验发现了光电效应的如下规律:
9 光电效应过程非常快,从光照到产生光电子不超过 10 s ,停止光照,光电效应也立即停

止。 各种材料都有一个产生光电效应的极限频率

v0 。入射光的效率必须高于 v0 才能产生光电

效应;频率低于 0 的入射光,无论其强度多大,照射时间多长,都不能产生光电效应。不同 的物质,一般极限频率都不同。 逸出的光电子的最大初动能可以这样测定,将滑动变阻器的滑片逐渐向左移动,直到光 电流截止,读出这时伏特表的读数即为截止电压 U 。根据动能定理,光电子克服反向电压作的 功等于动能的减小,即

v

eU =

1 2 mv m 2

实验结果表明,当入射光频率一定时,无论怎样改变入射光的强度,截止电压都不会改 变;入射光频率增大,截止电压也随着呈线性增大。这说明,逸出的光电子的 最大初动能只能随入射光频率增大而增大,与入射光强度无关。最大初动能与入射光频 率的关系如图 2-2-1 所示。 在入射光频率一定条件下,向右移动变阻器的滑动片,光电流的强度随着逐渐增大,但 当正向电压增大到某一值后继续再增大时,光电流维持一个固定图 2-3 值不变,此时光电流 达到饱和。增大入射光的强度 P,饱和光电流也随着成正比地增大。如图 2-2-1 所示。 2.2.2、 2.2.2 、 光子说 光电效应的四个特点中,只有第四个特点够用电磁来解释,其他特点都与电磁场理论推 出的结果相矛盾。爱因斯坦于 1905 年提出的光子说,完美地解释了这一现象。 光子说指出:空间传播的光(以及其他电磁波)都是不连续的,是一份一份的,每一份 叫做一个光子。光子的能量跟它的频率成正比即 E=hv 式中 h 为普朗克恒量。光子也是物质,它具有质量,其质量等于

m=

E hv = c2 c2 hv hv = c c

光子也具有动量,其动量等于

p = mc =

根据能量守恒定律得出:

1 2 mv m = hv W 2
上式称为爱因斯坦光电效应方程。式中 W 称为材料的逸出功,表示电子从物而中逸出所 需要的最小能量。某种物质产生光电效应的极限频率就由逸出功决定:

v0 =

W h v E

不同物质电子的逸出功不同,所对应的极限频率也不同。 在图 2-3 中,图线与 v 轴的交点 0 为极限频率,将图线反身延长与 km 轴的交点对应的 数值的绝对值就是 W 。图线的斜率表示普朗克恒量的数值,因此,图示电路还可以用来测定普 朗克恒量。 2.2.3、 2.2.3 、 康普顿效应 当用可见光或紫外线作为光电效应的光源时,入射的光子将全部被电子吸收。但如果用 X 射线照射物质,由于它的频率高,能量大,不会被电子全部吸收,只需交出部分能量,就可 以打出光电子,光子本身频率降低,波长变长。这种光电效应现象称为康普顿效应。 当 X 射线光子与静止的电子发生碰撞时,可以用 p 表示入射光子的动量,代表散射光子 的动量,mv 代表光电子的动量。则依据动量守恒定律,可以用图 2-2-4 表示三者的矢量关系。 由于

p=

hv c ,所以

mv
hγ p′
图 2-2-4

p

(mv) 2 = (

hv 2 hv ′ 2h 2 ) ( ) 2 2 vv ′ cos θ c c c

由能量守恒定律得出:

mc 2 + hv ′ = m0 c 2 + hv
式中 0 表示电们的静止质量, m 表示运动电子的质量,有图 2-4

m

m=

m0 v 1 ( )2 c

联立上述各式,并将

λ=

c v 代入整理得

λ = λ ′ λ =

h (1 cos θ ) m0 c

2.2.4、 2.2.4 、 光压 光压就是光子流产生的压强,从光子观点看,光压产生是由于光子把它的动量传给物体 的结果

p = (1 + ρ )

φ
c

Φ 为入射光强, ρ 为壁反射系数。
2.2.5、 2.2.5 、 波粒二象性 由理论和实验所得结果证明,描述粒子特征的物理量( E,p )与描述波动特征的物理量 ( v ,λ)之间存在如下关系。

E = hv

p=

h

λ

事实上,这种二象性是一切物质(包括实物和场)所共 特征。 例 1、图 5-1 中纵坐标为光电效应实验中所加电压( U ) , 标为光子的频率( v ) 。若某金属的极限频率为 0 ,普朗克恒 h ,电子电量为 e ,试在图中画出能产生光电流的区域(用斜 示) 。 分析: 分析 :在 U-v 图第一象限中能产生光电流的区域,可根

U

有的 横坐

v

O 图 2-2-5

v

量为 线表 据极 生光

限频率 0 很容易地作出。 关键在于如何确定第四象限中能产 电流的区域,但我们可以利用爱因斯坦的光电方程找出这一区域。

v

mv 2 = hv W . ① 解 : 爱因斯坦的光电方程 2 v W = hv 0 根据极限频率 0 可知 ② 2 mv 由于光电子具有最大初动能为 2 ,则它可克
向电压作功为 Ue ,故有图 5-1

U 服反 A

mv 2 = Ue 2
将②、③式代入①式可得



O

B v0 C 图 2-2-6

v

Ue = hv = hv0 Ue = h(v v0 )
U h = v v0 e
此即为图 2-2-5 中 BC 斜率的绝对值。据此可作出图 2-2-6,图中画有斜线区域即为能产 生光电流的区域。 发射光电子的遏止电压为 0.71V , 例 2、 一光电管阴极对于波长 λ = 4.91 × 10 m 的入射光,
7

当入射光的波长为多少时,其遏止电压变为 1.43V ?(电子电量 e = 1.6 × 10

19

C ,普朗克常量

h = 6.63 × 10

34

J s) 。

1 mv 2 = hv W ,可知,当加在光电管上的反向电压达 分析 : 根据爱因斯坦的光电方程 2
到一定值时可有 Ue=hv-W,此时光电管无光电流产生,这个电压 U 即为遏止电压。知道了遏止 电压 U 即可由光电方程求出逸出功 W 。对于一个光电管,它的阴极逸出功 W 是不变的,因而也 可利用 W 求出对应不同遏止电压的入射光的频率(或波长) 。

( hv W ) e ,式中 U a 为遏止电压,W 为阴极材料的逸出功,v 为入射 解 :光电方程为 光的频率。设所求入射光的波长为 λ ′ ,将 λ 和 λ ′ 两次代入光电方程,消去逸出功 W ,得 Ua = 1 1 0.71 1.43 = hc ( ) / e λ λ′ 7 λ ′ = 3.8 × 10 m

代入数据得 例 3、一波长为 波长为

λi 的光子与一运动的自由电子碰撞。碰撞的结果使电子变为静止,并且
0 的光子前进,其方向在碰撞后改变了 θ = 60 。计算第一

λ 0 的光子在与原先方向的夹角为 θ = 60 0 的方向上前进。 此光子员另一静止的自由电子

碰撞,然后以波长

λ j = 1.25 × 10 10 m

34 个电子在碰撞前的德布罗意波长。 (普朗克常数 h = 6.6 × 10 J s ,电子质量

me = 9.1× 10 31 kg ,光速 c = 3.0 × 10 8 m s 1 )
分析 : 此题需运用能量守恒与动量守恒求解,但必须应用相对论作必要的变换。 解 : 对第一次碰撞,能量守恒定律为

hv 0 = hvi + E e
式中 v 是光子的频率, e 是电子的能量。在波长为 直方向上写出动量守恒定律(见图 2-2-7)分别为



E

λ 0 的光子的出射方向,以及在与它垂

h

λ0

=

h

λi

cos θ + p e cos ,0 =

h

λi

sin θ p e sin

p 式 e 是电子的动量。 从上述两方程消去 ,并把λ写成 c/v,有 ( hv 0 ) 2 + ( hvi ) 2 2h 2 v 0 vi cos θ = p e2 c 2
② 利用相对论关系

λi θ
2-2-7

λ0

c 2 p e2 = E e ( E e + 2me c 2 )



以及方程①和②得

v0 =

vi hvi (1 cos θ ) 1 me c 2
h (1 cos θ ) me c h (1 cos θ ) me c


变换后得

λ0 λi =



对第二次碰撞可作同样的计算,得如下结果

λ0 λ f =



⑤⑥两式相减,得

λi = λ f
两次碰撞是类似的,利用⑤式得 0 分别利用①和③式,可算出电子的能量和动量为

λ = 1.238 × 10 10 m 。

E e = hv (

1

λ0



1

λi

) = 1.56 × 10 17 J , p e = 2.84 × 10 48 kg m / s

λe =

第一个电子的波长为 例 4、一台二氧化碳气体激光器发出的激光功率为 P=1000W ,射出的光束截面积为 A=1.00mm 2 。试问: (1)当该光束垂直入射到一物体平面上时,可能产生的光压的最大值为多少? (2)这束光垂直射到温度 T 为 273 K ,厚度 d 为 2.00 cm 的铁板上,如果有 80%的光束能量 被激光所照射到的那一部分铁板所吸收,并使其熔化成与光束等截面积的直圆柱孔,这需要 多少时间? 已知,对于波长为λ的光束,其每一个光子的动量为 k=h/λ ,式中 h 为普朗克恒量,铁
3 3 1 1 T = 1798 K , 的有关参数为: 热容量 c = 26.6 J mol K , 密度 ρ = 7.90 × 10 kg m , 熔点 m

h = 1.24 × 10 10 m pe 。

熔解热 m ,摩尔质量 = 56 × 10 kg 。 分析 : 光压即光对被照射物产生的压强,而求压强的关键在求出压力。利用动量定理, 可由光子的动量变化求出它对被照射物的压力。 解 : (1)当光束垂直入射到一个平面上时,如果光束被完全反射,且反射光垂直于平面, 则光子的动量改变达最大值
3

L = 1.49 × 10 4 J mol 1

① 此时该光束对被照射面的光压为最大。设单位时间内射到平面上的光子数为 n ,光压 p 的数值就等于这些光子对被照射面积 A 的冲量 (也就是光子动量的改变量) 的总和除以面积 A , 即

k = k ( k ) = 2 k =

2h

λ

p=

2h n λ A hv = hc



每个光子的能量为

λ ,这里 c 为真空中的光速, v 为光的频率,因而
n= P = Pλ /(hc ) hv

于是,由②式

p=(

2 h Pλ 2P )( ) / A = = 6.67 Pa λ hc cA

(2)激光所照射到的质量为 M 那一小部分铁板在熔化过程中所吸收的热量为

Q=

M



(c T + Lm ) = P t 80% t= M

所以



(cT + Lm ) /(80% P) =

Adρ



(cT + Lm ) /(80% P) = 0.192 s


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