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2013-2014年高二理科数学第二学期期末质量检测试题1


2013-2014 年高二理科数学第二学期期末质量检测试题 1 参考公式: 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p ,那么 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率
k k n ?k P (k ? 01, ,2, ,n) n (k ) ? Cn p (1 ? p)

临界值表:

P( K 2 ? k )
k

/>
0.50 0.455

0.40 0.708

0.25 1.323
n

0.15 2.072
i i

0.10 2.706

0.05 3.874

0.025 5.024

0.01 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

线性回归直线方程: a ? ? y ? bx , b?

? ( x ? x) ? ( y ? y )
i ?1

? ( x ? x)
i ?1 i

n

K2 ?

2

n(ad ? bc) 2 (a ? b)(a ? c)(c ? d )(b ? d )

一、选择题:共 12 题,每题 5 分,共 60 分。给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1. 在复数范围内,方程 x 2 ? ?3 的解是 A. ? 3 B.-3 C. ? 3i D. ? 3i

2. 人都会犯错误,老王是人,所以老王也会犯错误.这个推理属于 A.合情推理 B.演绎推理 C.类比推理 D.归纳推理
y

3. 如右图所示, 图中有 5 组数据 (用字母代表) , 现准备去掉其中一组,
H

I

使剩下的 4 组数据的线性相关性最高,那么应该去掉的一组是 A.E B.F
2

C. G

D.H

E o

F

G x

4. f ( x) ? x ? ln x, 则f ?( x)等于 A. x ? 1 B. 2 x ? 1 C. x ?
1 x

(第3题图)

D. 2 x ?

1 x
y

5. 函数 f ( x) 的导函数 f ?( x ) 的图像如图所示,则 A.
1 为 f ( x) 的极大值点 2
?2

B. ? 2 为 f ( x) 的极大值点 C. 2 为 f ( x) 的极大值点

1 2
O

2

x

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D. 0 为 f ( x) 的极小值点 6. 高二年级计划从 3 名男生和 4 名女生中选 3 人参加某项会议,则选出的 3 人中既有男生又有女生 的选法种数为 A. 24 B. 30 C. 60 D. 90

7.若 6 名学生排成一列,则学生甲、乙、丙三人互不相邻的排位方法种数为 A. 24 B.36 C.72 D.144

8.从 1,2,3...9 这 9 个数中,取出 4 个数,其和为奇数的取法有 A.20 种 B.40 种 C.60 种 D.80 种

9.离散型随机变量的分布列为: ζ P 则 x 的值为 A.
1 6

0
1 6

1
1 6

2
1 3

3 x

B.

1 3

C.

1 2

D.

1 4

10.若随机变量 X 服从正态分布 X ~ N (1, ? 2 ) ,且 P(3 ? X ) ? 0.4 ,则 P(?1 ? X ? 1) = A.0.1 B.0.2 C.0.3 D. 0.4

11.用数学归纳法证明 (n ? 1)(n ? 2)(n ? 3)?(n ? n) ? 2 n ? 1? 3 ? 5?(2n ? 1) (n∈N*)时,从 n=k 到 n=k +1,左端需要增加的代数式为 A.2k+1 B.2(2k+1) C.
2k ? 1 k ?1

D.

2k ? 3 k ?1

12.已知 a1 ? 1 , a 2 ? ? A.-2 B. ?

1 1 1 , a3 ? ? ,?, an?1 ? ? ,?.那么 a2014 ? 1 ? a1 1 ? a2 1 ? an

1 2

C.1

D. 2

二、填空题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,请将正确答案填在答题卡上。

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13. 14.

1 3 4 ? ________. ? i 3 ? 4i 25 25

? 3x
1

2

2

dx ?

7

(用数字作答) . .10 . x ? y ? 1 ? 0 (或 y ? x ? 1 )
a , a 为常数, k ? 1,2,3,4 ,则 a ? 2k

1 15.在 ( x ? ) 5 展开式中,含 x 项的系数为 x

16.函数 f ( x) ? e x 在 x ? 0 处的切线方程为 17.设随机变量 ? 的概率分布为 P(? ? k ) ?



16 15

18.为了考察某种药物预防疾病的效果,进行动物实验,得到如下列联表: 患病 服用药 没服用药 总计 10 20 30 未患病 45 30 75 总计 55 50 105

经计算得 K 2 ? 6.1 ,则在犯错概率不超过________的前提下认为药物有效.2.5_% 19.一个街区有南北走向 6 条街和东西走向 5 条街,某人从街道的西北角 A 点走到东南角 B 点,最短 的走法有____________种. 126 20 .设集合 A ? ?( x1 , x2 , x3 , x4 ) | xi ? ?0,1,?1?, i ? 1,2,3,4? ,则 A 中满足条件 “ x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? 3 ”的元素个数为 .8

A

B
三、解答题:本大题共 5 小题,每小题 10 分,共 50 分.请将详细解答过程写在答题卡上. 21.某研究性学习小组有 6 名同学. (1)这 6 名同学排成一排照相,则同学甲与同学乙相邻的排法有多少种? (2)从 6 名同学中选 4 人参加班级 4 ? 100 接力比赛,则同学丙不跑第一棒 的安排方法有多少种? .....
5 解: (1)第一步:将甲乙两人看成一个元素,与另外四个同学构成五个元素,全排列为 A5 ;

2 第二步:甲乙两人的全排列数为 A2 根据分步计数原理: 5 2 P ? A5 ? A2 ? 240 ??5 分
1 (2)第一步:先确定跑第一棒的人选,共有 C5 种选法;

第二步:从剩下的五名同学中选出三名,安排后三棒的人选,有 A5 种选法, 根据分步计数原理:
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3

1 3 . P ? C5 A5 ? 300 ??10 分

22.已知 f ( x) ? x 3 ? 2x 2 ? x , x ? R . (1)求函数 f ( x) 的单调减区间; (2)当 x ? [?1,1] 时,求 f ( x) 的值域. 2 解: (1) f ?( x) ? 3x ? 4x ? 1 ??1 分 令 f ?( x) ? 0得 x1 ? ?1, x 2 ? ?
1 ??2 分 3

1 当 x ? ( ?1,? ) 时, f ?( x) ? 0 ??4 分 3 1 所以函数 f(x)的单调减区间是 (?1,? ) ??5 分 3

1 1 (2)由(1)易得, f ( x) 在 (?1,? ) 单调递减,在 ( ? ,1) 单调递增, ??6 分 3 3 1 4 f (?1) ? 0, f (? ) ? ? , f (1) ? 4 ?8 分 3 27 4 ,4 ]??10 分 所以 f(x)的值域为[ ? 27

23.某人身高 176 cm,他爷爷、父亲和儿子的身高分别是 173 cm、170 cm 和 182 cm.根据统计学的 有关研究,儿子的身高与父亲的身高有关。按下列步骤,请用线性回归分析的方法完成下列各小题: (1) 分别用变量 x、y 表示父亲身高和儿子身高,列出父亲身高和儿子身高的数据对比表: x y (2)写出线性回归方程必定经过的点; (3)求出线性回归方程,并预测此人孙子的身高. 23. 解: (1)

x y

173 170

170 176

176 182

??2 分 :??5 分 (2)因为 x =173, y =176,故线性回归方程必定经过的点(173,176)
0 ? (-6)+(-3) ? 0+3 ? 6 =1,??7 分 02+9+9

(3) b =

a= y-b

??8 分
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x =176-1×173=3,
∴ y =x+3, ??9 分 当 x=182 时, y =185. 即此人孙子的预测身高为 185cm. ??10 分

24.NBA(美国职业篮球联赛)决赛实行 7 局制,比赛先胜 4 局者获得比赛的胜利(每局比赛都必须 1 分出胜负,没有平局) ,比赛随即结束.除第七局甲队获胜的概率是 外,其余每局比赛甲队获胜的概 2 2 率都是 ,假设各局比赛结果相互独立. 3 (1)求甲队以 4:0 获得胜利的概率; (2)若每局比赛胜利方得 1 分,对方得 0 分,求乙队最终比赛总得分 X 的分布列及数学期望. 解: (1)记“甲队以 4∶0 胜利”为事件 A,由题意,各局比赛结果相互独立,
16 ?2? 故 P(A)= ? ? = , 81 ?3?
4

所以甲队以 4∶0 胜利的概率是

16 .??2 分 81

(2)由题意知,甲赢则乙输,可得 X 的取值可能为 0,1,2,3,4.
16 ?2? P(X=0)= ? ? = 4 , 3 ?3?
4

64 1? 2? 2 P(X=1)= C4 ? ? . = 5 ,??3 分 3 3? 3? 3
1

3

160 1 ?2? 2 P(X=2)= C5 ( ) 2 ? ? . = 6 ,??4 分 3 3 ?3? 3
2

3

1 2 ? 1 80 P(X=3)= C63 ( )3 ? ? ? . = ,??5 分 3 ? 3 ? 2 36
1 3 ( )1 ( )3 ( ) + C 52 ( ) 2 ( ) 3 ( ) + C6 ( )3 ( )3 ( ) = P(X=4)= ( ) 4 + C4

3

1 3

2 3

1 3

1 3

2 3

1 3

1 3

2 3

1 3

1 2

153 ??9 分 36

故 X 的分布列为

X P
所以 E(X)=0×

0
144 36

1
192 36

2
160 36

3
80 36

4
153 36

144 192 160 80 153 2604 1364 +1× 6 +2× 6 +3× 6 +4× 6 = 7 = . ??10 分 6 3 3 3 3 3 729 3
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25.当 x ? 0 时,求证: e x ? ln x ? 2 . 证明:设函数 F ( x) ? e x ? ln x ? 2( x ? 0) ,
1 F ?( x ) ? e x ? ??1 分 x

当 x ? 10 时, F ?(10) ? e10 ?
1

1 1 ? 1 ? ? 0 ??2 分 10 10
1

当x ?

1 1 1 ? e10 ? 10 ? e ? 10 ? 0 ??3 分 时, F ?( ) ? e10 ? 1 10 10 10

1 1 y ? e x 和 y ? ? 都是 R ? 上的增函数, F ?( x ) ? e x ? 也是 R ? 上的增函数,??4 分 x x

1 根据零点存在定理,必存在常数 t ? 0 ,使得方程 et ? ? 0 成立,且解是唯一的??5 分 t

当 x ? (0, t ) 时, F ?( x) ? 0 , F ( x) 是减函数; 当 x ? (t ,??) 时, F ?( x) ? 0 , F ( x) 是增函数; 所以函数 F ( x) 的最小值为 F (t ) ,即 Fmin ( x) ? F (t ) ? et ? ln t ? 2 , t ? 1 ??7 分
1 因为 et ? ? 0 t

所以 t ?

1 , ln t ? ?t et

1 所以 Fmin ( x) ? F (t ) ? t ? ? 2 ? 0 (当 t ? 1 时,不等式等号成立) ,??9 分 t

t ? 1 ,所以当 x ? 0 时,不等式 e x ? ln x ? 2 恒成立.??10 分

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