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广东省肇庆市2012-2013学年高二数学上学期期末考试试题 理 新人教A版


试卷类型:A

肇庆市中小学教学质量评估 2012—2013 学年第一学期统一检测题 高二数学(理科)

注意事项:1. 答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的班别、姓名、考号填 写在答题卷的密封线内. 2. 选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑; 如需要改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,答案不能写在试卷上. 3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在另发的答题卷 各题目指定区域内相应的位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写 上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 参考公式:球的体积公式: V ?

4 3 ?R ,球的表面积公式: S ? 4?R 2 ,其中 R 为球的半径 3

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分. 在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.命题“若 x>5,则 x>0”的否命题是 A.若 x≤5,则 x≤0 C.若 x>5,则 x≤0 B.若 x≤0,则 x≤5 D.若 x>0,则 x>5

2.若 a∈R,则“a=1”是“ a-1) a+3)=0”的 ( ( A.充要条件 C.必要而不充分条件 B.充分而不必要条件 D.既不充分又不必要条件

x2 y2 3.双曲线 ? ? 1 的渐近线方程是 4 25
A. y ? ?

25 x 4

B. y ? ?

4 x 25

C. y ? ?

5 x 2

D. y ? ?

2 x 5

4.已知直线 l1 经过两点(-1,-2)(-1,4) 、 ,直线 l2 经过两点(2,1)(x,6) 、 ,且 l1// l2, 则 x= A.4 B.1 C.-2 D.2

5.已知 p、q 是两个命题,若“?(p?q) ”是真命题,则 A.p、q 都是真命题 C.p 是假命题且 q 是真命题 B.p、q 都是假命题 D.p 是真命题且 q 是假命题

1

x2 y2 x2 y2 2 6.若椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,则双曲线 2 ? 2 ? 1 的离心率为 2 a b a b
A.

6 2

B.

2 3 3

C. 2

D.

3

7.将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如图所示,则该几何体的侧视图为
侧视 侧视 A B C D

8.已知 M 是抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 上的点,若 M 到此抛物线的准线和对称轴的距离分别
2

为 5 和 4,则点 M 的横坐标为 A.1 B.1 或 4 C.1 或 5 D.4 或 5

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. 9.已知命题 p:?x∈R, x ? 2 x ? 3 ,则?P 是 ▲ .
2

10.空间四边形 OABC 中, OA ? a , OB ? b , OC ? c ,点 M 在 OA 上,且 OM=2MA,N 为

BC 的中点,则 MN ?
2

▲ .

11.抛物线 y ? ?4x ,则它的焦点坐标为 ▲ . 12.圆锥轴截面是等腰直角三角形,其底面积为 10,则它的侧面积为 ▲ . 13.直线 y ? k ( x ? 1) 与双曲线 x ? y ? 4 没有公共点,则 k 的取值范围是 ▲
2 2

.

14.如图,半径为 2 的圆 O 中,?AOB=90?,

D 为 OB 的中点,AD 的延长线交圆 O 于
点 E,则线段 DE 的长为 ▲ .
A

0 D B E

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15. (本小题满分 12 分) 三角形的三个顶点是 A(4,0) B(6,7) C(0,3). , , (1)求 BC 边上的高所在直线的方程;
2

(2)求 BC 边上的中线所在直线的方程; (3)求 BC 边的垂直平分线的方程.

16. (本小题满分 13 分) 一个长、宽、高分别是 80cm、60cm、55cm 的水槽中有水 200000cm ,现放入一个直径为 50cm 的木球,且木球的三分之二在水中,三分之一在水上,那么水是否会从水槽中流出?
3

17. (本小题满分 13 分) 如图,四棱锥 P—ABCD 的底面为正方形,侧棱 PA⊥平面 ABCD,且 PA=AD=2,E、F、H 分别是线段 PA、PD、AB 的中点. (1)求证:PD⊥平面 AHF; (2)求证:平面 PBC//平面 EFH.
B P E A H C F D

18. (本小题满分 14 分) 设方程 x ? y ? 2(m ? 3) x ? 2(1 ? 4m ) y ? 16 m ? 9 ? 0 表示一个圆.
2 2 2 4

(1)求 m 的取值范围; (2)m 取何值时,圆的半径最大?并求出最大半径; (3)求圆心的轨迹方程.

3

19. (本小题满分 14 分)

AA 如图, 在三棱柱 ABC—A1B1C1 中, 是正方形 AA1B1B 的中心, 1 ? 2 2 ,1H?平面 AA1B1B, H C
且 C1 H ?

5.

(1)求异面直线 AC 与 A1B1 所成角的余弦值; (2)求二面角 A—A1C1—B1 的正弦值; (3)设 N 为棱 B1C1 的中点,点 M 在平面 AA1B1B 内, 且 MN?平面 A1B1C1,求线段 BM 的长.

20. (本小题满分 14 分) 已知点 P 是圆 F 1 : ( x ? 3 ) 2 ? y 2 ? 16 上任意一点,点 F 2 与点 F 1 关于原点对称. 线 段 PF 2 的中垂线与 PF 1 交于 M 点. (1)求点 M 的轨迹 C 的方程; (2)设轨迹 C 与 x 轴的 两 个左右交点分别 为 A , B ,点 K 是轨迹 C 上异于 A , B 的任意 一点, KH ⊥ x 轴, H 为垂 足,延长 HK 到点 Q 使得 HK = KQ ,连结 AQ 延长交过 B 且垂直于 x 轴 的直线 l 于点 D , N 为 DB 的中点.试判断直线 QN 与以 AB 为直径的圆 O 的位置关系.

2012—2013 学年第一学期统一检测题
4

高二数学(理科)参考答案及评分标准

一、选择题 题号 答案 1 A 2 B 3 C 4 D 5 B 6 A 7 D 8 B

二、填空题 9.?x∈R, x 2 ? 2 x ? 3 12. 10 2 三、解答题 15. (本小题满分 12 分) 解: (1)BC 边所在的直线的斜率 k ? 10. ?

2 1 1 a? b? c 3 2 2 2 3 2 3 13. (??,? )?( ,??) 3 3

11. (0, ? 14.

1 ) 16

3 5 5

7?3 2 ? , 6?0 3

(2 分)

因为 BC 边上的高与 BC 垂直,所以 BC 边上的高所在直线的斜率为 ?

3 . (3 分) 2
(5 分) (7 分)

又 BC 边上的高经过点 A(4,0) ,所以 BC 边上的高所在的直线方程为

3 y ? 0 ? ? ( x ? 4) ,即 3x ? 2 y ? 12 ? 0 . 2
(2)由已知得,BC 边中点 E 的坐标是(3,5). 又 A(4,0) ,所以直线 AE 的方程为

y ?0 5?0 ,即 5x ? y ? 20 ? 0 . (9 分) ? x ?4 3?4 2 (3)由(1)得,BC 边所在的直线的斜率 k ? , 3 3 所以 BC 边的垂直平分线的斜率为 ? , (10 分) 2
由(2)得,BC 边中点 E 的坐标是(3,5) ,所以 BC 边的垂直平分线的方程是

3 y ? 5 ? ? ( x ? 3) ,即 3x ? 2 y ? 19 ? 0 . 2
16. (本小题满分 13 分) 3 解:水槽的容积为 V水槽 ? 80 ? 60 ? 55 ? 264000 (cm ) (4 分) 因为木球的三分之二在水中,所以木球在水中部分的体积为

(12 分)

V1 ?

2 4 3 8 50 125000 , ? ?R ? ? ? ( ) 3 ? ? (cm3) 3 3 9 2 9

(8 分)

所以水槽中水的体积与木球在水中部分的体积之和为

V ? 200000 ?

125000 125000 , ? ? 200000 ? ? 4 ? 260000 (cm3) (12 分) 9 9
(13 分)

所以 V<V 水槽,故水不会从水槽中流出.

5

17. (本小题满分 13 分) 证明: (1)因为 AP=AD,且 F 为 PD 的中点,所以 PD?AF. (1 分) 因为 PA?平面 ABCD,且 AH?平面 ABCD,所以 AH?PA; 分) (2 因为 ABCD 为正方形,所以 AH?AD; 又 PA∩AD=A,所以 AH?平面 PAD. 因为 PD?平面 PAD,所以 AH?PD. 又 AH∩AF=A,所以 PD?平面 AHF. (3 分) (4 分) (5 分) (6 分) (8 分) (9 分) (10 分) (11 分)
B

P E A H C F D

(2)因为 E、H 分别是线段 PA、AB 的中点,所以 EH//PB. (7 分) 又 PB?平面 PBC,EH?平面 PBC,所以 EH//平面 PBC. 因为 E、F 分别是线段 PA、PD 的中点,所以 EF//AD, 因为 ABCD 为正方形,所以 AD//BC,所以 EF//BC, 又 BC?平面 PBC,EF?平面 PBC,所以 EF//平面 PBC.

因为 EF∩EH=E,且 EF?平面 EFH,EH?平面 EFH,所以平面 PBC//平面 EFH. (13 分) 18. (本小题满分 14 分) 解: (1)由 D ? E ? 4F ? 0 得: 4(m ? 3) ? 4(1 ? 4m ) ? 4(16 m ? 9) ? 0 , 分) (2
2 2
2 2 2 4

化简得: 7m ? 6m ? 1 ? 0 ,解得 ?
2

1 ? m ? 1. 7

(4 分) (5 分)

所以 m 的取值范围是( ? (2)因为圆的半径 r ? 分)

1 ,1) 7

1 3 16 D 2 ? E 2 ? 4 F ? ? 7 m 2 ? 6m ? 1 ? ? 7( m ? ) 2 ? , (7 2 7 7

4 7 3 时,圆的半径最大,最大半径为 rmax ? . (9 分) 7 7 ? x ? m ? 3, 2 (3)设圆心 C(x,y) ,则 ? 消去 m 得, y ? 4( x ? 3) ? 1 . (12 分) 2 ? y ? 4m ? 1, 1 20 因为 ? ? m ? 1 ,所以 (13 分) ? x ? 4. 7 7 20 2 故圆心的轨迹方程为 y ? 4( x ? 3) ? 1 ( ? x ? 4 ). (14 分) 7
所以,当 m ? 19. (本小题满分 14 分) 解:如图所示,以 B 为原点,建立空间直角坐标 系,依题意得,A( 2 2 ,0,0) B(0,0,0) , ,
z C B H A x M A1

C1 N B1 y

C( 2 , ? 2 , 5 ) A1 (2 2 ,2 2 ,0) , ,

B1 (0,2 2 ,0) , C1 ( 2 , 2 , 5 ) .

(2 分)

(1)易得, AC ? (? 2 ,? 2 , 5 ) , A1 B1 ? (?2 2 ,0,0) , 分)



3

6

所以 cos ? AC , A1 B1 ??

AC ? A1 B1 | AC | ? | A1 B1 |

?

4 3? 2 2

?

2 , 3
(5 分) (6 分)

2 . 3 (2)易得, AA1 ? (0,2 2 ,0) , A1C1 ? (? 2 ,? 2 , 5 ) .
即异面直线 AC 与 A1B1 所成角的余弦值为 设平面 AA1C1 的法向量 m ? ( x, y, z ) ,则 ?

?m ? AA1 ? 0, ? ?m ? A1C1 ? 0. ?
(7 分)

即?

?2 2 y ? 0, ? ?? 2 x ? 2 y ? 5 z ? 0. ?

不妨令 x ? 5 ,可得 m ? ( 5 ,0, 2 ) .

设平面 A1B1C1 的法向量 n ? ( x, y, z ) ,则 ?

?n ? A1C1 ? 0, ? ?n ? A1 B1 ? 0. ?
5 ,可得 n ? (0, 5 , 2 ) .
? 2 , 7
(8 分)

即?

?? 2 x ? 2 y ? 5 z ? 0, ? ?? 2 2 x ? 0. ?
m?n

不妨令 y ?

于是, cos ? m, n ?? 从而 sin ? m, n ??

| m |?| n |

?

2 7? 7

(9 分)

3 5 3 5 ,所以二面角 A—A1C1—B1 的正弦值为 . (10 分) 7 7 2 3 2 5 , , ). (3)由 N 为棱 B1C1 的中点得, N ( 2 2 2 2 3 2 5 ? a, ? b, ), 设 M(a,b,0) ,则 MN ? ( (11 分) 2 2 2 ?MN ? A1 B1 ? 0, ? 由 MN?平面 A1B1C1,得 ? ?MN ? A1C1 ? 0. ?
? ?( ? 即? ?( ? ? 2 ? a ) ? (?2 2 ) ? 0, 2 2 3 2 5 ? a ) ? ( ?2 2 ) ? ( ? b) ? ( ? 2 ) ? ? 5 ? 0. 2 2 2 ? 2 , ?a ? 2 2 ? 2 , ,0) 解得 ? 故M( 2 4 2 ?b ? . ? 4 ?
因此 | BM |? (12 分)

(13 分)

1 1 10 10 ? ?0 ? ,即线段 BM 的长为 . 2 8 4 4

(14 分)

20. (本小题满分 14 分)

解: (1)由题意得, F1 ? 3, 0 , F2

?

? ?

3, 0

?

(1分)
7

圆 F1 的半径为4,且 | MF2 |?| MP | 从而 | MF1 | ? | MF2 |?| MF1 | ? | MP |? 4 ?| F1 F2 |? 2 3 所以点M的轨迹是以 F1 , F2 为焦点的椭圆,其中长轴 2a ? 4 ,焦距 2c ? 2 3 , 则短半轴 b ? a 2 ? c 2 ? 4 ? 3 ? 1 , 椭圆方程为:
x ? y2 ? 1 4 x0 2
2

(2分) (3分) (4分) (5分)

(2)设 K ? x0 , y0 ? ,则

4

? y0 2 ? 1 .

因为 HK ? KQ ,所以 Q ? x0 , 2 y0 ? ,所以 OQ ? x0 2 ? ? 2 y0 2 ? ? 2 ,

(6 分)

所以 Q 点在以 O 为圆心,2 为半径的的圆上.即 Q 点在以 AB 为直径的圆 O 上. (7 分) 2 y0 又 A ? ?2,0 ? ,所以直线 AQ 的方程为 y ? (8 分) ? x ? 2? . x0 ? 2
? 8 y0 ? 令 x ? 2 ,得 D ? 2, ?. x0 ? 2 ? ?
? 4 y0 ? 又 B ? 2,0 ? , N 为 DB 的中点,所以 N ? 2, ?. ? x0 ? 2 ? ???? ? ???? 2x y ? 所以 OQ ? ? x0 , 2 y0 ? , NQ ? ? x0 ? 2, 0 0 ? . x0 ? 2 ? ?

(9 分) (10 分) (11 分)

???? ???? x0 ? 4 ? x0 2 ? 2x y 4x y 2 所以 OQ ? NQ ? x0 ? x0 ? 2 ? ? 2 y0 ? 0 0 ? x0 ? x0 ? 2 ? ? 0 0 ? x0 ? x0 ? 2 ? ? x0 ? 2 x0 ? 2 x0 ? 2

? x0 ? x0 ? 2? ? x0 ? 2 ? x0 ? ? 0 . ???? ???? 所以 OQ ? NQ .故直线 QN 与圆 O 相切.

(13 分) (14 分)

8


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