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姜旭东1.4.2正弦函数、余弦函数的性质(1)教案


1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(第一 课时)

兰州市第九中学 姜旭东 2015/5/14

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1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(第一课时)
教学目标 1.知识与技能: (1)理解解周期函数与周期性的概念. (2)知道正弦函数及余弦函数是周期函数,并能说出 y=sinx, ,y=cosx, 的周期和最小正周期. (3)归纳出函数 y=Asin(ωx+φ),x∈R 和 y=Acos(ωx+φ),x∈R (其中 A、ω、φ为常数且 A≠0,ω>0)的周期,且能用它直接写出函数的周 期. (4)掌握求函数周期的三种方法. 2.过程与方法:渗透数形结合思想,与学生一起体会从感性到理性、从特殊到 一般的思维过程,提升学生探究问题的能力. 3.情感态度价值观: 使学生体会事物周期变化的奥秘, 让学生感受数学的严谨 性. 教学重点:函数的周期性 教学难点:正、余弦函数周期性的理解与应用 授课类型:新授课 教学模式:讲授,合作探究. 教 具:多媒体 【教学过程】 复习回顾

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观察正弦曲线与余弦曲线,可以得出以下结论: (1)定义域为 R,所以正弦函数的图象向左右两边无限延伸; (横看) (2)从图象的最高点和最低点的纵坐标发现的值域为[-1,1]; (纵看) (3)正弦函数、余弦函数的图象是有规律不断重复出现的; 提出问题:为什么会有如此的规律呢?其理论依据是什么呢? 一、新知探究 观察图表及正弦函数的图象

思考 1:观察图表,表中的哪些正弦值是重复出现的?每相隔多少个单位重复 出现一次? 思考 2:观察函数图像,只有这几个函数值重复出现,还是定义域中每一个自 变量 x 对应的函数值都会重复出现?
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思考 3:你的理论依据是什么? 思考 4:设 f(x)=sinx,则 sin(x+2kπ )=sinx 可以怎样表示?这个式子的意 义是什么? f(x+2kπ )=f(x) 即当自变量 x 的值增加 2π 的整数倍时,函数值重复出现. 思考 5:当 K=0 时这个式子还能反映函数值重复出现的规律吗? 从正弦、余弦函数周期性归纳出一般函数的周期性? 二、函数的周期性 1、周期函数的定义:一般地,对于函数 f(x),若存在一个非零常数T,使得 当 x 取定义域内的每一个值时,都有 f(x+T)=f(x),那么函数 f(x)就叫做周 期函数.非零常数 T 叫做这个函数的周期. 思考 1:T (T≠0)是 f(x) 的周期,kT (k∈Z 且 k≠0)是 f(x) 的周期吗? 周期函数的周期不唯一, kT (k∈Z 且 k≠0)都是周期 2.最小正周期:对于一个周期函数 f(x),如果在它所有的周期中存在一个最小 的正数,那么这个最小的正数就叫做 f(x)的最小正周期. 3.正弦函数、余弦函数的周期性 正弦函数是周期函数,2kπ (k∈Z 且 k≠0)都是它的周期。最小正周期是 2π 。 余弦函数是周期函数,2kπ (k∈Z 且 k≠0)都是它的周期。最小正周期是 2π 。 今后本书中所涉及到的周期,如果不加特别说明,一般是指函数的最小正周期.
思考2:对于函数y ? sin x , x ? R是否有 sin( 如果成立,能否说

?
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?

?
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) ? sin

?
4

成立?

?
2

是y ? sin x的周期 ?

思考3:常函数f(x)=c(x ? R)是否为周期函数 ? 若是, 有无最小正周期?
x x x 思考4:由cos( ? 2? ) ? cos ,能否得出y ? cos (x ? R)的周期为2?? 3 3 3 练习:根据周期函数的定义判断下列说法是否正确
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①函数 f(x)=sinx(x≥0)是周期函数( ②函数 f(x)=sinx(x<0)是周期函数( ③函数 f(x)=sinx(x≠3kπ )是周期函数(

) ) )

④函数 f(x)=sinx,x∈[0,10π ]是周期函数( ) 思考 5:周期函数的定义域有什么特点? 例 2 求下列函数的周期:

(1)y=3cosx,x∈R (2)y=sin2x,x∈R

? 例如:求下列三个函数的周期: 探究:若1 ? ? 0, (3) y ? 2sin( x ? ),x ? R 2 ? 6x ), x ? R (1)y ? 3sin(
(2) y ? sin( ?3 x ), x ? R (3) y ? sin( ? x ?

?
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), x ? R

一般地,函数y ? A sin(? x ? ? ), x ? R及函数y ? A cos(? x ? ? ), x ? R(其中A, ?, ?为常 2? 数, 且A ? 0, ? ? 0)的周期为 : T ? . |?|

例3:求函数y ? |sin x|, x ? R的周期? 练习:求函数y ? cos|x|, x ? R的周期?
周期求法:

1.定义法: 2.公式法: 3.图象法: 小结 1.周期函数的定义. 2.正弦函数、余弦函数的. 3.周期的求法.
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作业 课后反思

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