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【成才之路】2014-2015学年高中数学(北师大版)选修2-2练习:综合测试1 第1章]


第一章综合测试
时间 120 分钟,满分 150 分.

一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想:“正四面体的内切球切于四 个面________.”( )

A.各正三角形内一点 B.各正三角形的某高线上的点 C.各正三角形的中心 D.各正三角形外的某点 [答案] C [解析] 正三角形的边对应正四面体的面,即正三角形表示的侧面,所以边的中点对应 的就是正三角形的中心.故选 C. a?2x+1?-2 2.已知 f(x)= 是奇函数,那么实数 a 的值等于( 2x+1 A.1 C.0 [答案] A 2a-2 [解析] 方法一:函数的定义域为 R,函数为奇函数,则 x=0 时 f(0)=0,即 =0, 2 ∴a=1. 方法二:根据奇函数的定义,f(-x)=-f(x)恒成立, 即 即 a?2 x+1?-2 a?2x+1?-2 =- 恒成立, - 2 x+1 2x+1


)

B.-1 D.± 1

a?1+2x?-21 x a?2x+1?-2 =- 恒成立, x 2 +1 2x+1
+ + +

即 2a+a· 2x 1=2x 1+2,∴a=1. 1 1 3.不等式 a>b 与 > 同时成立的充要条件为( a b A.a>b>0 1 1 C. < <0 b a [答案] B )

B.a>0>b 1 1 D. > >0 a b

a>b a>b ? ? ? ? ? ?a>b [解析] ?1 1 ??a-b ?? ?a>0>b,故选 B. ?ab<0 ? <0 ?a>b ? ? ab ? 4.否定结论“至多有两个解”的说法中,正确的是( A.有一个解 C.至少有三个解 [答案] C [解析] 至少有两个解包含:有两解,有一解,无解三种情况. 1 1 1 1 5.已知 f(n)= + + +?+ 2,则( n n+1 n+2 n 1 1 A.f(n)中共有 n 项,当 n=2 时,f(2)= + 2 3 1 1 1 B.f(n)中共有 n+1 项,当 n=2 时,f(2)= + + 2 3 4 1 1 C.f(n)中共有 n2-n 项,当 n=2 时,f(2)= + 2 3 1 1 1 D.f(n)中共有 n2-n+1 项,当 n=2 时,f(2)= + + 2 3 4 [答案] D 1 1 1 1 [解析] ∵f(n)= + + +?+ n+0 n+1 n+2 n+n2-n ∴f(n)中共有 n2-n+1 项. f(2)= 1 1 1 1 1 1 + + = + + 2+0 2+1 2+2 2 3 4 ) ) B.有两个解 D.至少有两个解 )

2 2 2 6.数列{an}中前四项分别为 2, , , ,则 an 与 an+1 之间的关系为( 7 13 19 1 1 A.an+1=an+6 B. = +3 an+1 an an C.an+1= 1+3an [答案] B [解析] 观察前四项知它们分子相同,分母相差 6, 1 ∴{ }为等差数列. an 1 D.an+1= an

7.(2014· 长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学一模)设△ABC 的三边 长分别为 a、b、c,△ABC 的面积为 S,内切圆半径为 r,则 r= 2S ;类比这个结论可 a+b+c

知:四面体 P-ABC 的四个面的面积分别为 S1、S2、S3、S4,内切球的半径为 r,四面体 P -ABC 的体积为 V,则 r=( )

V A. S1+S2+S3+S4 3V C. S1+S2+S3+S4 [答案] C

2V B. S1+S2+S3+S4 4V D. S1+S2+S3+S4

[解析] 将△ABC 的三条边长 a、b、c 类比到四面体 P-ABC 的四个面面积 S1、S2、S3、 1 1 S4,将三角形面积公式中系数 ,类比到三棱锥体积公式中系数 ,从而可知选 C. 2 3 1 证明如下: 以四面体各面为底, 内切球心 O 为顶点的各三棱锥体积的和为 V, ∴V= S1r 3 1 1 1 3V + S2r+ S3r+ S4r,∴r= . 3 3 3 S1+S2+S3+S4 a b c d 8.已知 a、b、c、d 为正数,S= + + + ,则( a+b+c a+b+d c+d+a c+d+b A.0<S<1 C.2<S<3 [答案] B [解析] S= a b c d a b c d + + + < + + + =2,又 a+b+c a+b+d c+d+a c+d+b a+b a+b c+d c+d B.1<S<2 D.3<S<4 )

a b c d S> + + + =1,所以 1<S<2,故选 B. a+b+c+d a+b+c+d a+b+c+d a+b+c+d 9.(2014· 银川模拟)用数学归纳法证明“当 n 为正奇数时,xn+yn 能被 x+y 整除”的第 二步是( )

A.假设 n=2k+1 时正确,再推 n=2k+3 时正确(k∈N+) B.假设 n=2k-1 时正确,再推 n=2k+1 时正确(k∈N+) C.假设 n=k 时正确,再推 n=k+1 时正确(k∈N+) D.假设 n≤k(k≥1)时正确,再推 n=k+2 时正确(k∈N+) [答案] B [解析] ∵n 为正奇数,根据数学归纳法证题的步骤,第二步应先假设第 k 个正奇数也 成立,即假设 n=2k-1 时正确,再推第 k+1 个正奇数,即 n=2k+1 时正确. 10. (2014· 北京理, 8)学生的语文、 数学成绩均被评定为三个等级, 依次为“优秀”“合 格”“不合格”.若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙,且其中至少有一门成绩高于 乙,则称“学生甲比学生乙成绩好”.如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好, 并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生,那么这组学生最多有( A.2 人 C.4 人 [答案] B B.3 人 D.5 人 )

[解析] 用 A,B,C 分别表示优秀,及格和不及格, 显然语文成绩得 A 的学生最多只有 1 个,语文成绩得 B 的也最多只有 1 个,得 C 的也 最多只有 1 个,因此学生最多只有 3 个, 显然,(AC)(BB)(CA)满足条件,故学生最多 3 个. 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11.(2014· 厦门六中高二期中)在平面上,我们用一直线去截正方形的一个角,那么截下 的一个直角三角形,按如图所标边长,由勾股定理有 c2=a2+b2.设想正方形换成正方体,把 截线换成如图截面,这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥 O-LMN,如果用 S1, S2,S3 表示三个侧面面积,S 表示截面面积,那么类比得到的结论是________.

2 2 [答案] S2=S2 1+S2+S3

[解析] 类比如下: 正方形?正方体; 截下直角三角形?截下三侧面两两垂直的三棱锥; 直角三角形斜边平 方?三棱锥底面面积的平方;直角三角形两直角边平方和?三棱锥三个侧面面积的平方和,
2 2 结论 S2=S2 1+S2+S3.

证明如下:如图,作 OE⊥平面 LMN,垂足为 E,连接 LE 并延长交 MN 于 F,

∵LO⊥OM,LO⊥ON,∴LO⊥平面 MON, ∵MN?平面 MON,∴LO⊥MN, 1 1 1 ∵OE⊥MN, ∴MN⊥平面 OFL, ∴S△OMN= MN· OF, S△MNE= MN· FE, S△MNL= MN· LF, 2 2 2 1 1 1 OF2=FE· FL,∴S2 OF)2=( MN· FE)· ( MN· FL)=S△MNE· S△MNL,同理 S2 △OMN = ( MN· △OML = S △ 2 2 2
2 2 S△MNL,S2 S△MNL,∴S2 S△MNL= △ONL= S△ NLE· △OMN + S△OML + S△ONL = (S △ MNE + S △MLE + S △ NLE)· MLE· 2 2 2 2 S2 △MNL,即 S1+S2+S3=S .

1 1 1 3 5 12.f(n)=1+ + +?+ (n∈N*),经计算得 f(2)= ,f(4)>2,f(8)> ,f(16)>3,f(32) 2 3 n 2 2 7 > .推测:当 n≥2 时,有____________. 2

n+2 [答案] f(2n)> 2 [解析] 由前几项的规律可得答案. 13.函数 y=loga(x+3)-1(a>0 且 a≠1)的图像恒过定点 A,若点 A 在直线 mx+ny+1 1 2 =0 上,其中 mn>0,则 + 的最小值为________. m n [答案] 8 [解析] y=loga(x+3)-1(a>0 且 a≠1)的图像恒过定点 A(-2,-1). 又∵点 A 在直线 mx+ny+1=0 上, ∴2m+n=1. 又∵mn>0,∴m>0,n>0. 1 ∴2m+n=1≥2 2mn,当且仅当 2m=n= , 2 1 1 即 m= ,n= 时取等号, 4 2 1 1 2 2m+n 1 ∴mn≤ .∴ + = = ≥8. 8 m n mn mn 1 1 1 14.(2014· 济南 3 月模拟,13)用数学归纳法证明 1+ + +?+ n <n(n∈N,且 n>1) 2 3 2 -1 时,第一步要证的不等式是________. 1 1 [答案] 1+ + <2 2 3 1 1 1 1 1 1 [解析] 当 n=2 时,左边=1+ + 2 =1+ + ,右边=2,故填 1+ + <2. 2 2 -1 2 3 2 3 x 15.(2014· 陕西文,14)已知 f(x)= ,x≥0,若 f1(x)=f(x),fn+1(x)=f(fn(x)),n∈N+, 1+x 则 f2014(x)的表达式为________. [答案] x 1+2014x x x 1 + x 1 + 2 x 1 f1(x)=f(x)= ,f2(x)=f(f1(x))= = ,f3(x)=f(f2(x))= = x x 1+x 1+2x 1+ 1+ 1+x 1+2x

[解析]

x x ,?,f2014(x)= .应寻求规律,找出解析式. 1+3x 1+2014x 三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分,前 4 题每题 12 分,20 题 13 分,21 题 14 分) 16.已知 a>0,b>0,求证: [解析] 证法一:(综合法) ∵a>0,b>0, a b + ≥ a+ b. b a



a b + b≥2 a,当且仅当 a=b 时取等号,同理: + a≥2 b,当且仅当 a=b 时 b a

取等号. ∴ 即 a b + b+ + a≥2 a+2 b, b a a b + ≥ a+ b. b a

证法二:(分析法) 要证 a b + ≥ a+ b, b a

只需证:a a+b b≥a b+b a, 只需证:a a+b b-a b-b a≥0, 而 a( a- b)-b( a- b)=( a+ b)( a- b)2≥0, 当且仅当 a=b 时取等号, 所以 a b + ≥ a+ b. b a

证法三:(反证法) 假设当 a>0,b>0 时, 由 得 即 = = a b + < a+ b, b a a b + - a- b<0, b a a a+b b-a b-b a a b a? a- b?-b? a- b? a b ? a+ b?? a- b?2 <0, a b a b + < a+ b. b a

当 a>0,b>0 时,显然不成立,∴假设不成立. 故 a b + ≥ a+ b. b a

[点评] 一题多解能训练我们灵活处理问题的能力,当然用多种方法去解同一道题,我 们要认真研究每种方法的闪光点,同时把“最好”的方法整理下来,你将受益匪浅. 17.

5-1 → → 如图,椭圆中心在坐标原点,F 为左焦点,当FB⊥AB时,其离心率为 ,此类椭圆 2 被称为“黄金椭圆”.类比“黄金椭圆”,算出“黄金双曲线”的离心率.

c [解析] 由图对直角△ABF 应用射影定理,得 b2=ac,又∵b2=c2-a2,e= , a 变形得 e2-e-1=0,且 e>1, ∴e= 5+1 . 2

18.(2013· 华池一中高二期中)在圆 x2+y2=r2(r>0)中,AB 为直径,C 为圆上异于 A,B x2 y2 的任意一点,则有 kAC· kBC=-1.你能用类比的方法得出椭圆 2+ 2=1(a>b>0)中有什么样的 a b 结论?并加以证明. x2 y2 [解析] 类比得到的结论是:在椭圆 2+ 2=1(a>b>0)中,A,B 分别是椭圆长轴的左右 a b b2 端点,点 C(x,y)是椭圆上不同于 A,B 的任意一点,则 kAC· kBC=- 2 a 证明如下:设 A(x0,y0)为椭圆上的任意一点,则 A 关于中心的对称点 B 的坐标为 B(- x0,-y0),点 P(x,y)为椭圆上异于 A,B 两点的任意一点,则 kAP· kBP= y-y0 y+y0 y2-y2 0 · = 2. x-x0 x+x0 x2-x0

?a +b =1, 由于 A,B,P 三点在椭圆上,∴? x y ?a +b =1.
2 2 2 0 2 2 0 2

x2

y2

x2-x2 y2-y2 0 0 两式相减得, 2 + 2 =0, a b y2-y2 b2 b2 0 ∴ 2 2=- 2,即 kAP· kBP=- 2. a a x -x0 x2 y2 故在椭圆 2+ 2=1(a>b>0)中,长轴两个端点为 A,B,P 为异于 A,B 的椭圆上的任意 a b b2 一点,则有 kAB· kBP=- 2. a 1 1 1 19. 在△ABC 中, AB⊥AC, AD⊥BC 于 D, 求证: 2= 2+ 2, 那么在四面体 ABCD AD AB AC 中,类比上述结论,你能得到怎样的猜想?并说明理由. [解析]

如图(1)所示,由射影定理 AD2=BD· DC,AB2=BD· BC,AC2=BC· DC, ∴ = 1 1 = AD2 BD· DC BC2 BC2 = 2 . BD· BC· DC· BC AB · AC2

又 BC2=AB2+AC2, ∴ ∴ AB2+AC2 1 1 1 . 2= 2 2 = 2+ AD AB · AC AB AC2 1 1 1 . 2= 2+ AD AB AC2

猜想:类比 AB⊥AC,AD⊥BC 猜想: 四面体 ABCD 中,AB、AC、AD 两两垂直, AE⊥平面 BCD.则 1 1 1 1 = + + . AE2 AB2 AC2 AD2

如图(2),连结 BE 交 CD 于 F,连结 AF.

∵AB⊥AC,AB⊥AD, ∴AB⊥平面 ACD. 而 AF 面 ACD, ∴AB⊥AF. 在 Rt△ABF 中,AE⊥BF, ∴ 1 1 1 = + . AE2 AB2 AF2

在 Rt△ACD 中,AF⊥CD, ∴ ∴ 1 1 1 = + AF2 AC2 AD2 1 1 1 1 = + + , AE2 AB2 AC2 AD2

故猜想正确. 20.已知数列{an},a1=5 且 Sn-1=an(n≥2,n∈N+).

(1)求 a2,a3,a4,并由此猜想 an 的表达式; (2)用数学归纳法证明{an}的通项公式. [分析] 利用不完全归纳法猜想归纳出 an,然后用数学归纳法证明.解题的关键是根据 已知条件和假设寻找 ak 与 ak+1 和 Sk 与 Sk+1 之间的关系. [解析] (1)由已知,得 a2=S1=a1=5,a3=S2=a1+a2=10,a4=S3=a1+a2+a3=5+5
?5?n=1? ? +10=20,an=? . n-2 ? ?5×2 ?n≥2?

(2)①当 n=2 时,a2=5×22 2=5,表达式成立.


当 n=1 时显然成立,下面用数学归纳法证明 n≥2 时结硫化亦成立. ②假设 n=k(k≥2,k∈N+)时表达式成立,即 ak=5×2k 2,


则当 n=k+1 时,由已知条件和假设有 ak+1=Sk=a1+a2+?+ak =5+5+10+?+5×2k 5?1-2k 1? =5+ 1-2
- -2

=5×2k

-1 +1)-2

=5×2(k

.故当 n=k+1 时,表达式也成立.


由①②可知,对一切 n(n≥2,n∈N+)都有 an=5×2n 2. [点评] 本题先用不完全归纳法猜想出通项,然后用数学归纳法证明,考查了由特殊到 一般的数学思想,也考查了数列知识,在高考中这类题往往是压轴题.解决方法是观察与分 析法, 也就是说解决这类题要注意观察数列中各项与其序号的变化关系, 归纳出构成数列的 规律,同时还要注意第一项与其他各项的差异,从而发现其中的规律. 21.(山东高考)等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知对任意的 n∈N+,点(n,Sn)均在函 数 y=bx+r(b>0 且 b≠1,b,r 均为常数)的图像上. (1)求 r 的值; (2) 当 b = 2 时 ,记 bn = 2(log2an + 1)(n ∈ N + ) , 证明 :对 任意 的 n ∈ N + ,不 等式 b1+1 b2+1 bn+1 · · ?· > n+1成立. b1 b2 bn [解析] (1)解:因为对任意 n∈N+,点(n,Sn)均在函数 y=bx+r(b>0 且 b≠1,b,r 均 为常数)的图像上,所以 Sn=bn+r.当 n=1 时,a1=S1=b+r, 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=bn+r-(bn 1+r)=bn-bn 1=(b-1)bn 1,
- - -

又因为{an}为等比数列,所以 r=-1,公比为 b,an=(b-1)bn 1.


(2)证明:当 b=2 时,an=(b-1)bn 1=2n 1,
- -

bn=2(log2an+1)=2(log22n 1+1)=2n,




bn+1 2n+1 b1+1 b2+1 bn+1 3 5 7 2n+1 = ,所以 · · ?· = ··· ?· . bn 2n b1 b2 bn 246 2n

3 5 7 2n+1 下面用数学归纳法证明不等式: ··?· > n+1. 246 2n 3 3 ①当 n=1 时,左边= ,右边= 2,因为 > 2,所以不等式成立. 2 2 ②假设当 n=k(k∈N+)时,不等式成立, 2k+1 357 即 ··· ?· > k+1.则当 n=k+1 时, 246 2k 2k+1 2k+3 357 左边= ··· ?· · 246 2k 2k+2 2k+3 > k+1· = 2k+2 = = ?2k+3?2 4?k+1?

4?k+1?2+4?k+1?+1 4?k+1? ?k+1?+1+ 1 > ?k+1?+1, 4?k+1?

所以当 n=k+1 时,不等式也成立. 由①②可得,不等式对任何 n∈N+都成立, 即 b1+1 b2+1 bn+1 · · ?· > n+1恒成立. b1 b2 bn



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