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文科双曲线(教师)


高三数学?双曲线

教师:邓老师

温馨提醒:成功不是凭梦想和希望,而是凭努力和实践
一、旧知回顾
椭圆 1.到两定点 F1,F2 的距离之和为 定义 定值 2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹 2.与定点和直线的距离之比为 定值 e 的点的轨迹.(0<e<1) 双曲线 1.到两定点 F1,F2 的距离

之差的绝对 值为定值 2a(0<2a<|F1F2|)的点的轨 迹 2. 与定点和直线的距离之比为定值 e 的点的轨迹.(e>1)

轨迹条件

点集:({M||MF1+|MF2| =2a,|F 1F2|<2a=

点集:{M||MF1|-|MF2|. =±2a,|F2F2|>2a}.

图形



标准 方程

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b >0) a2 b2

x2 y2 ? ? 1 (a>0,b>0) a2 b2



参数 方程

? x ? a cos? ? y ? b sin ? ? (参数?为离心角)

? x ? a sec? ? y ? b tan? ? (参数?为离心角)

范围

─a?x?a,─b?y?b

|x| ? a,y?R

中心

原点 O(0,0) (a,0), (─a,0), (0,─b) (0,b) ,

原点 O(0,0)

顶点

(a,0),

(─a,0)

细节决定成败,态度决定命运,勤奋改变未来,智慧缔造神话。
第 1 页,共 6 页

高三数学?双曲线
对称轴 x 轴,y 轴; 长轴长 2a,短轴长 2b

教师:邓老师
x 轴,y 轴; 实轴长 2a, 虚轴长 2b.

焦点

F1(c,0), F2(─c,0)

F1(c,0), F2(─c,0)



线

x=±

a c

2

a2 x=± c
准线垂直于实轴,且在两顶点的内 侧.

准线垂直于长轴,且在椭圆外.

焦距

2c

(c=

a 2 ? b2



2c

(c=

a 2 ? b2
c (e ? 1) a



离心率 【备注 1】双曲线:

e?

c (0 ? e ? 1) a

e?

1、等轴双曲线:双曲线 x 2 ? y 2 ? ?a 2 称为等轴双曲线,其渐近线方程为 y ? ? x ,离心率 e ? 2 . 2、 共轭双曲线: 以已知双曲线的虚轴为实轴, 实轴为虚轴的双曲线, 叫做已知双曲线的共轭双曲线. 为共轭双曲线,它们具有共同的渐近线: 3、共渐近线的双曲线系方程: 方程可设为

x2 y2 x2 y2 ? 2 ? ? 与 2 ? 2 ? ?? 互 a2 b a b

x2 a
2

?

y2 b2

? 0. x2 a2 ? y2 b2 ? 0 如果双曲线的渐近线为

x2 a2

?

y2 b2

? ? (? ? 0) 的渐近线方程为

x y ? ? 0 时,它的双曲线 a b

x2 a2

?

y2 b2

? ? (? ? 0) .

4、若 P ( x0 , y0 ) 在双曲线 0

xx y y x2 y 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)上,则过 P 的双曲线的切线方程是 02 ? 02 ? 1 . 0 2 a b a b
,则过 Po 作双曲线的两条切线切点为 P1、P2,则切点弦 P1P2 的直线方程是

x2 y 2 5、若 P (x0 , y0 ) 在双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)外 0 a b
x0 x y0 y ? 2 ? 1. a2 b
6、双曲线

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>o)的左右焦点分别为 F ,F a 2 b2
1

2

,点 P 为双曲线上任意一点 ?F PF2 1

? ? ,则双曲线的焦点角形的

面积为 S ?F PF
1

2

? b 2 co t

?
2

.

x2 y 2 7、双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>o)的焦半径公式:( F (?c,0) 1 a b

,

F2 (c,0) )当 M ( x0 , y0 ) 在右支上时,

| MF1 |? ex0 ? a , | MF2 |? ex0 ? a ;当 M ( x0 , y0 ) 在左支上时, | MF1 |? ?ex0 ? a , | MF2 |? ?ex0 ? a 。
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高三数学?双曲线
8、已知双曲线

教师:邓老师
? OQ .

x2 y 2 ? ? 1 (b>a a 2 b2

>0) 为坐标原点,P、Q 为双曲线上两动点,且 OP ,O

(1)

1 1 1 1 ? ? 2? 2 2 2 | OP | | OQ | a b

;(2)|OP| +|OQ| 的最小值为

2

2

4a 2b 2 a 2b 2 ;(3) S ?OPQ 的最小值是 2 . b2 ? a2 b ? a2
,则

9、设 P 点是双曲线

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)上异于实轴端点的任一点,F 、F 为其焦点记 ?F1PF2 ? ? a 2 b2
1 2

(1) | PF || PF2 1

|?

2b2 1 ? cos ?

.(2)

S?PF1F2 ? b 2 cot

?
2

.

二、典型例题
x2 y2 ? ? 1(b ? 0) 的左、右焦点分别是 F1 、 F2 ,其一条渐近线方程为 y ? x ,点 2 b2

3(四川卷文)已知双曲线

P( 3, y0 ) 在双曲线上.则 PF · PF2 = 1
A. -12 【答案】C B. -2 C. 0 D. 4

2 2 【解析】由渐近线方程为 y ? x 知双曲线是等轴双曲线, ∴双曲线方程是 x ? y ? 2 ,于是两焦点坐标分别是 (-

2,0)和(2,0) ,且 P( 3,1) 或 P( 3,?1) .不妨去 P( 3,1) ,则 PF ? (?2 ? 3,?1) , 1

PF2 ? (2 ? 3,?1) ∴ PF2 PF = (?2 ? 3,?1)(2 ? 3,?1) ? ?(2 ? 3)(2 ? 3) ? 1 ? 0 1
4(全国卷Ⅰ文)已知椭圆 C : 则 AF = (A)

??? ? ??? ? x2 ? y 2 ? 1 的右焦点为 F,右准线 l ,点 A ? l ,线段 AF 交 C 于点 B。若 FA ? 3FB , 2

??? ?

2

(B) 2

(C)

3

(D) 3

【解析】本小题考查椭圆的准线、向量的运用、椭圆的定义,基础题。 解:过点 B 作 BM ? l 于 M,并设右准线 l 与 X 轴的交点为 N, 易知 FN=1.由题意 FA ? 3FB ,故 | BM |? 第二定义,得 | BF |?

??? ?

??? ?

2 .又由椭圆的 3

2 2 2 ? ? ? AF |? 2 .故选 A | 2 3 3
x2 y2 x2 y2 ? ? 1的准线经过椭圆 ? 2 ? 1 (b>0)的焦点,则 b=( 2 2 4 b

3(湖北卷文)已知双曲线

)

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高三数学?双曲线
A.3 B. 5 C. 3

教师:邓老师
D. 2

【解析】可得双曲线的准线为 x ? ?

a2 ? ? 1 ,又因为椭圆焦点为 (? 4 ? b2 ,0) 所以有 4 ? b2 ? 1 .即 b2=3 故 c

b= 3 .故 C.
【答案】C.

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的右顶点 A 作斜率为 ?1 的直线,该直线与双曲线的两条渐近线的 a 2 b2 ??? 1 ??? ? ? 交点分别为 B, C .若 AB ? BC ,则双曲线的离心率是 ( ) 2
3.(浙江理)过双曲线
21 世纪教育网

A. 2 答案:C

B. 3

C. 5

D. 10

【 解 析 】 对 于 A? a,0? , 则 直 线 方 程 为 x ? y ? a ? 0 , 直 线 与 两 渐 近 线 的 交 点 为 B , C ,

? a2 ab ? a2 ab B? , , C( ,? ) ? a ?b a ?b ? a?b a?b ? ??? ??? ? ? 2 AB ? BC,?4a2 ? b2 ,?e ? 5 .







??? ? ? 2a 2b 2a 2b ??? ? ab ab ? BC ? ( 2 2 , ? 2 2 ), AB ? ? ? , ? a ?b a ?b ? a ?b a ?b ?





前面三道题考察的是向量和双曲线的综合运用 4(湖北卷理)已知双曲线 充要条件是( ) B. K ? ? ??, ? ? 2 D. K ? ? ??, ?

x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1 的准线过椭圆 ? 2 ? 1 的焦点, 则直线 y ? kx ? 2 与椭圆至多有一个交点的 2 2 4 b

A. K ? ? ? , ? 2 2 C. K ? ? ?

? 1 1? ? ?
2 2? , ? 2 2 ?

? ?

1?

? ? , ?? ? ? ? ?2

?1

?

? ?

? ? ?

? 2? ? 2 , ?? ? ??? ? 2 ? ? 2 ?

【解析】易得准线方程是 x ? ?

a2 2 ? ? ? ?1 b 2 x2 y 2 ? ?1 4 3

所以 c 2 ? a 2 ? b2 ? 4 ? b2 ? 1 即 b 2 ? 3 所以方程是

联立 y ? kx ? 2 可得 3x2 +(4k 2 +16k)x ? 4 ? 0 由 ? ? 0 可解得 A.

5. ( 江西 卷理 )过 椭圆

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的 左 焦点 F1 作 x 轴 的垂 线交椭 圆 于点 P , F2 为 右焦 点,若 a 2 b2

?F1PF2 ? 60? ,则椭圆的离心率为

细节决定成败,态度决定命运,勤奋改变未来,智慧缔造神话。
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高三数学?双曲线
A.

教师:邓老师
C.

2 2

B.

3 3

1 2

D.

1 3

【解析】因为 P(?c, ? 【答案】B

b2 3b 2 c 3 ) ,再由 ?F1PF2 ? 60? 有 ? 2a, 从而可得 e ? ? ,故选 B a a a 3

6(年广东卷文)(本小题满分 14 分) 已知椭圆 G 的中心在坐标原点,长轴在 x 轴上,离心率为

3 ,两个焦点分别为 F1 和 F2 ,椭圆 G 上一点到 F1 和 F2 的距 2

离之和为 12.圆 Ck : x 2 ? y 2 ? 2kx ? 4 y ? 21 ? 0 (k ? R) 的圆心为点 Ak . (1)求椭圆 G 的方程 (2)求 ?Ak F1 F2 的面积 (3)问是否存在圆 Ck 包围椭圆 G?请说明理由.

解(1)设椭圆 G 的方程为:

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )半焦距为 c; a 2 b2

? 2a ? 12 ? a?6 ? ? 则?c , ?b2 ? a 2 ? c 2 ? 36 ? 27 ? 9 3 , 解得 ? ?c ? 3 3 ? ? ? 2 ?a
所求椭圆 G 的方程为: (2 )点 AK 的坐标为 ? ?K ,2?

x2 y 2 ? ?1. 36 9

1 1 SV AK F1F2 ? ? F1 F2 ? 2 ? ? 6 3 ? 2 ? 6 3 2 2
2 2 (3)若 k ? 0 ,由 6 ? 0 ? 12? ? 0 ? 21 ? 15 ? 12? ? 0 可知点(6,0)在圆 Ck 外,

2 2 若 k ? 0 ,由 (?6) ? 0 ? 12? ? 0 ? 21 ? 15 ? 12? ? 0 可知点(-6,0)在圆 Ck 外;

? 不论 K 为何值圆 Ck 都不能包围椭圆 G.
7.(北京文) (本小题共 14 分) 已知双曲线 C :

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率为 3 ,右准线方程为 x ? 。 2 a b 3

(Ⅰ)求双曲线 C 的方程;

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高三数学?双曲线

教师:邓老师

(Ⅱ)已知直线 x ? y ? m ? 0 与双曲线 C 交于不同的两点 A,B,且线段 AB 的中点在圆 x2 ? y 2 ? 5 上,求 m 的值. 【解析】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识,考查曲线和方程 的关系等解析几何的基本思想方法,考查推理、运算能力.

? a2 3 ? ? ?c 3 ,解得 a ? 1, c ? 3 , 解(Ⅰ)由题意,得 ? ?c ? 3 ?a ?
∴ b2 ? c 2 ? a 2 ? 2 ,∴所求双曲线 C 的方程为 x ?
2

y2 ? 1. 2

(Ⅱ)设 A、B 两点的坐标分别为 ? x1 , y1 ? , ? x2 , y2 ? ,线段 AB 的中点为 M ? x0 , y0 ? ,

? 2 y2 ?1 ?x ? 2 2 由? 得 x ? 2mx ? m ? 2 ? 0 (判别式 ? ? 0 ), 2 ?x ? y ? m ? 0 ?
∴ x0 ?

x1 ? x2 ? m, y0 ? x0 ? m ? 2m , 2

∵点 M ? x0 , y0 ? 在圆 x2 ? y 2 ? 5 上,
2 ∴ m ? ? 2m ? ? 5 ,∴ m ? ?1 . 2

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