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2012-2013高代A答案


2012-2013 学年 第一学期
一、判断题。 1、√ 2、√ 二、单项选择题 1、D 2、A 三、填空题

高等代数与解析几何 3

3、√

4、√

5、 ?

3、A

4、B

5、B

1、

/>
?0 0 1? ? ? ?0 1 0? ?1 0 0? ? ?
136

2、 0、1

3、

0、5、-4

4、

5、

1+2i

6、

? 4 ? ? ? ,0 ? ? 5 ?

7、

a ? 1, b ? ?2

四、计算题 1、解:

? ? 1 ?2 ? ? ?2 2 ? ? 4? ? ? 2 2 ?? ?1 ? ? ? ? ? ?3 ? ?3 ?6 ? ?? ?3 ? ?3 ?6 ? ?? 0 ? ? ? ?2 ? 2 ? ? 4? 1 ?2 ? ? ? ?? ?1 ? ? ? 0 ? ? ? ? ?? 2 0 ?? 0 ? ? ? ? 0 ? ? ? ? ? ? ? ?? 2 0 ??? 0 ? ? ? 2 ? ? 1 ? (? ? 5) ? ? 0 0 2 ? ?

? ? ? ?4 ? 3 ? ? ? ? 2 ? 1 ? (? ? 5) ? 2 ?

? ?4 3 ? ?

? ? 1 0 0 ? ? ? ? ? ? ? ?0 ? 0 ? ? ? ? ? ? 0 0 ? (? ? 2) ? 1 ? (? ? 2) ? 2 ? 0 3 ? ? 2

不变因子:1, ? , ? (? ? 2) 行列式因子: D1 (? ) ? 1, D2 (? ) ? ?, D3 (? ) ? ? (? ? 2)
2

初等因子为: ? , ? , ? (? ? 2) 极小多项式: ? (? ? 2)

?0 0 0? ? ? 若尔当典范性为: ? 0 0 0 ? ?0 0 2? ? ?
2、解: a4 ? 4, a0 ? ?1 ,且 a4 的因子有 ? 1,?2,?4 , a0 的因子有 ? 1 所以,可能有的有理根为: 所以,用综合除法:

?1 ?1 ?1 1 1 , , ,即: ? 1 , ? , ? ?1 ? 2 ? 4 2 4

1

4

0 4

-7 4

-5 -3

-1 -8

4 所以, f (1) ? ?9

4

-3

-8

-9

-1

4

0 -4

-7 4

-5 3

-1 2

4 所以, f (?1) ? 1 同理可得

-4

-3

-2

1

1 1 1 117 1 11 f ( ) ? ?5 , f ( ? ) ? 0 , f ( ) ? ? , f (? ) ? ? 2 2 4 64 4 64 1 2

所以, f ( x) 的全部有理根为: ?

2 2 3、解: (1)原式= ( x1 ? 2x2 ) 2 ? 2x2 ? 3x3 ? 4x2 x3

?t1 ? x1 ? 2 x 2 ? x1 ? t1 ? 2t 2 ? ? 令 ?t 2 ? x 2 即作非奇异线性替换 ? x 2 ? t 2 ?t ? x ?x ? t 3 ?3 ? 3 3
2 2 所以,原式= t1 ? 2(t 2 ? t3 ) 2 ? 5t3

? y1 ? t1 ?t1 ? y1 ? ? 令 ? y 2 ? t 2 ? t 3 即作非奇异线性替换 ?t 2 ? y 2 ? y 3 ?y ? t ?t ? y 3 ? 3 3 ?3

2 2 2 所以,原式= y1 ? 2 y2 ? 5 y3

? x1 ? y1 ? 2 y 2 ? 2 y 3 ? 所以,相应的非奇异线性替换 ? x 2 ? y 2 ? y 3 ?x ? y 3 ? 3
2 2 2 (2)因为 f ( x1 , x2 , x3 ) ? y1 ? 2 y2 ? 5 y3

?1 0 0? ? ? 其度量矩阵为 B ? ? 0 ? 2 0 ? ?1 0 5? ? ?
但 B ? ?10 ? 0.? f ( x1 , x2 , x3 ) 不是正定二次型 它的正惯性指数为 2;付惯性指数为:1 ;符号差为: 1 4、解: (1)证明:? ?1 ? ?1 , ? 2 ? ?1 ? ? 2 , ? 3 ? ?1 ? ? 2 ? ? 3

?1 ? ? ( ? 1 , ? 2 , ? 3 ) ? (? 1 , ? 2 , ? 3 )? 0 ?0 ?

1 1? ? 1 1? 0 1? ?

所以,存在从 ?1 , ? 2 , ? 3 到 ?1 , ? 2 , ? 3 的矩阵 B

?1 ? ?0 ?0 ?

1 11 1 10 0 10

0 1 0

?1 0? ? ? 0? ? ? 0 ?0 1? ? ?

0 1 0

01 10 10

?1 ?1 0? ? ? 1 0? ? ?0 ?0 0 1? ? ?

0 1 0

01 00 10

?1 0 0

0 ? ? ? 1? 1 ? ?

?T

?1

?1 ? ? ?0 ?0 ?

?1 0 0

0 ? ? ? 1? 1 ? ?

?B ? T

?1

?1 ? AT ? ? 0 ?0 ?

?1 0 0

0 ?? 1 ?? ? 1?? 0 ? 1 ? ?? 0

0 1 0

0 ?? 1 ?? 2 ?? 0 ? 1? ?? 0 0 0 0

1 1? ? 1 ? ? 1 1? ? ? 0 ? 0 1? ? ?0 ? 2? ? ?1? 1 ? ?

? 1 ? 2 ?? 1 ?? 0 ? 1 ?? 0 ? 0 1 ? ?? 0

1 1? ? 1 ? ? 1 1? ? ? 0 ? 0 1? ? ?0

0 0 0

? 2? ? ?1? 1 ? ?

?1 ? 所以 ? 关于基 ?1 , ? 2 , ? 3 的矩阵为? B ? ? 0 ?0 ?

5、解:

? ?1
(1)由 ?E ? A ? ? 1

1

?1 1 ? (? ? 1)(? ? 2) 2 ? ?1

? ?3
?1

?1

所以, ?1 ? 1, ?2 ? 2(2重) 为特征值 当 ?1 ? 1 时,由 (?1 E ? A) ? 0

1 ? 1?? x1 ? ? 0 ? ?0 ? ?? ? ? ? ? x1 ? ? x3 ? ? ? 1 ? 2 1 ?? x 2 ? ? ? 0 ? ? ? ? ? 1 ? 1 0 ?? x ? ? 0 ? ? x 2 ? x3 ? ?? 3 ? ? ?
当 ?2 ? 1 时,由 (?1 E ? A) ? 0

? ? 1? ? ? 取 x1 ? ? 1 ? ?1? ? ?

1 ? 1?? x1 ? ? 0 ? ?1 ? ?? ? ? ? ? ? ? 1 ? 1 1 ?? x 2 ? ? ? 0 ? ? x1 ? ? x 2 ? x3 ? ? 1 ? 1 1 ?? x ? ? 0 ? ? ?? 3 ? ? ? ?1? ? ? 1? ? ? ? ? x1 ? ? 0 ? , x 3 ? ? 1 ? ?1? ? 0? ? ? ? ?
所以,特征向量为: k 2 (1,0,1) ? k3 (?1,1,0) , k 2 , k 3 是任意实数 (2)因为 A 的全部特征子空间的为数 dimV=3 所以 A 是可对角化的

?,? 2 ? ,?3 ? ) ? (?1 ,? 2 ,?3 )T ? ,? 2 ? ,? 3 ? 使 (?1 因为,取新的基向量?1
? ? 1 1 ? 1? ? ? ? T ? ? 1 0 1 ? ,且 T ? ?1 ? 0 ?1 1 0? ? ? ? ? 1 ? 1 1 ??1 ? 1 1 ?? ? 1 1 ? 1? ? ? 1 ? 1 1 ?? ? 1 1 ? 1? ? 1 0 0 ? ? ?? ?? ? ? ?? ? ? ? ?T ? ? 1 1 0 ??1 3 ? 1?? 2 0 1 ? ? ? 2 2 0 ?? 1 0 1 ? ? ? 0 2 0 ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ? 1? 1? 2 ? 2? ? ??1 1 ?? 2 1 0 ? ? 2 ?? 1 1 0 ? ? 0 0 2 ?
=diag(1,2,2) 6、解:

2 ? 12? ? 5 ? ? ? 5 2? ? ? 12? A?? 2 ?6 ? ? 2 2? ?, B ? ? ? ?6 ? ?, c ? 12,? M ? ? 2 ? ? ? ? ? ? 12 ? 6 12 ? ? ?

? I1 ? 5 ? 2 ? 7, I 2 ? A ? 6, I 3 ? M ? ?108 ? 0
? I 2 ? 0 , I 1 与 I 3 异号 则该曲线为椭圆
所以由 ?E ? A ?

? ?5
?2

?2 ? ?? ? 1??? ? 6? ? 0 ? ?1 ? 1, ?2 ? 6 ? ?2

当 ?1 ? 1 时, (?1 E ? A) E ? ? ?? 2 ?

? ? 4 ? 2 ?? x1 ? 1 ? ? ? ? 0 ? x1 ? ? x2 ? ? ? ? 1 ?? x2 ? 2

? 5 ? ? ? 1 ? ? 5 ? ? ? ? ? 取 ?1 ? ? ? ? 2? ? ,单位化: 1 ? 2 5 ? ? ? ?? ? 5 ? ?
当 ?2 ? 6 时, (?2 E ? A) E ? ? ?? 2 ?

? 1

? 2 ?? x1 ? ?? ? ? ? ? 0 ? x1 ? 2 x2 4 ? ?? x2 ?

?2 5? ? ? ? 2? 5 ? ? ?? 取?2 ? ? ?1? ? ,单位化: ? 2 ? ? 5 ? ? ? ? ? 5 ? ? 5 ? ?T ? ? 5 ? 2 5 ?? 5 ?
又 AE0 ? B ? ? ?

2 5? ? 5 ? ,且 T ? 1 5 ? ? 5 ?

? 5 2 ?? x0 ? ? ? 12? ? 0 ? ? x0 ? ? 2 ? ? ? ?? ? ??? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ??? ? ? ??? ? 2 2 ?? y 0 ? ? ? 6 ? ? 0 ? ? y 0 ? ? 1 ?
? E ? ?T ? ??? ? ?1? ?0 E0 ?? E ? ? ?? ? ? ? 1? ?? 1 ?

因为坐标变换公式: ? ?

? 5 ? x ? ? ? 5 ? ? ??2 5 ?? y ? ? ? ?1? ? 5 ? ? ? 0 ? ?

2 5 5 5 5 1

? 2? ? 5 2 5 ?? x ? ? ?? x ? x y? ? 2 ? ?? ? ? 5 5 为坐标变换公式 1 ?? y ? ?, 即 ? ?? 1 ? ? y ? ? 2 5 x? ? 5 y ? ? 1 1 ?? ? ? 5 5 ? ? ?

? ?1 x? 2 ? ?2 y ? 2 ?
即 x? ? 6 y ? ?
2 2

I3 ?0 I2
即: x? 2 ? 6 y ? 2 ? 18

108 ?0 6

? 二次曲线可化为:

x? 2 y ? 2 ? ?1 18 3

五、证明题

1、证明:令 x ? y ? 1 所以

f ( y ? 1) ? ( y ? 1) 6 ? ( y ?!) 3 ? 1 ? ( y 6 ? 6 y 5 ? 15y 4 ? 20 y 3 ? 15y 2 ? 6 y ? 1) ? ( y 3 ? 3 y 2 ? 3 y ? 1) ? 1 ? y 6 ? 6 y 5 ? 15y 4 ? 21y 3 ? 18y 2 ? 9 y ? 3
取素数 p=3,满足 p a0 , a1 , a2 , a3 , a4 , a5 且 p ? q ,q 不整除 a0
2



p 不整除 a6

所以,由爱森斯坦因判别法, f ( x) ? x ? x ? 1 在有理数域上不可约
6 3

2、证明: B ? ?E ? A A, B ? (?E ? A A) ? ?E ? A A ? B
T T T T T

因为 B 为实对称矩阵

? x1 ? ? 0 ? ? ? ? ? ?x ? ? ? ? ? ? ? ? ? x ? ?0? ? n? ? ?

X T BX ? X T (?E ? AT A) X ? ?X T X ? ( AX )T AX

? x1 ? ? ? 2 2 因为 X X ? ( x1 , ? , x n )? ? ? ? x1 ? ? ? x n ? 0 ?x ? ? n?
T

又令 AX ? (t1 ,?, t m )T
2 2 所以 ( AX )TAX ? t1 ? ?? tm ?0

因为 ? ? 0

所以 X T BX ? 0, B ? 0 所以,当 ? ? 0 时,B 为正定矩阵


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